Стереометрийн нийтлэг бэрхшээлүүдийн нэг бол шулуун ба хавтгайг гатлах, тэдгээрийн хоорондох өнцгийг тооцоолох даалгавар юм. Энэ нийтлэлд координатын арга гэж нэрлэгддэг ба шулуун ба хавтгай хоорондын өнцгийн талаар илүү дэлгэрэнгүй авч үзье.
Геометрийн шулуун ба хавтгай
Координатын арга болон шулуун ба хавтгай хоорондын өнцгийг авч үзэхээсээ өмнө нэрлэсэн геометрийн объектуудтай танилцах хэрэгтэй.
Шугаман гэдэг нь орон зай эсвэл хавтгай дээрх цэгүүдийн цуглуулга бөгөөд тэдгээр нь тус бүрийг өмнөхийг нь тодорхой вектор руу шугаман шилжүүлснээр олж авах боломжтой. Дараах зүйлд бид энэ векторыг u¯ тэмдгээр тэмдэглэнэ. Хэрэв энэ векторыг тэгтэй тэнцүү биш дурын тоогоор үржүүлбэл u¯-тай параллель векторыг авна. Шугаман нь шугаман хязгааргүй объект юм.
Хавтгай гэдэг нь мөн тэдгээрээс дурын векторуудыг үүсгэвэл тэдгээр нь бүгд n¯ векторт перпендикуляр байхаар байрласан цэгүүдийн цуглуулга юм. Сүүлийнх нь хэвийн эсвэл зүгээр л хэвийн гэж нэрлэгддэг. Хавтгай нь шулуун шугамаас ялгаатай нь хоёр хэмжээст хязгааргүй биет юм.
Геометрийн бодлого шийдвэрлэх координатын арга
Аргын нэр дээр үндэслэн бид аналитик дараалсан тооцооллын гүйцэтгэлд суурилсан асуудлыг шийдвэрлэх аргын тухай ярьж байна гэж дүгнэж болно. Өөрөөр хэлбэл, координатын арга нь гол нь тэгшитгэл болох бүх нийтийн алгебрийн хэрэгслийг ашиглан геометрийн асуудлыг шийдвэрлэх боломжийг олгодог.
Харин авч буй арга нь орчин үеийн геометр, алгебрийн эхэн үед гарч ирсэн гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Үүнийг хөгжүүлэхэд 17-18-р зуунд Рене Декарт, Пьер де Ферма, Исаак Ньютон, Лейбниц нар асар их хувь нэмэр оруулсан.
Аргын мөн чанар нь мэдэгдэж буй цэгүүдийн координат дээр үндэслэн геометрийн элементүүдийн зай, өнцөг, талбай, эзэлхүүнийг тооцоолох явдал юм. Олж авсан эцсийн тэгшитгэлийн хэлбэр нь координатын системээс хамаарна гэдгийг анхаарна уу. Ихэнх тохиолдолд тэгш өнцөгт декартын системийг асуудалд ашигладаг, учир нь энэ нь ажиллахад хамгийн тохиромжтой байдаг.
Шугаман тэгшитгэл
Координатын арга, шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийг авч үзвэл шулууны тэгшитгэлийг тохируулж эхэлцгээе. Шугамыг алгебр хэлбэрээр дүрслэх хэд хэдэн арга байдаг. Энд бид зөвхөн вектор тэгшитгэлийг авч үзэх болно, учир нь үүнийг өөр хэлбэрээр хялбархан олж авах боломжтой бөгөөд ажиллахад хялбар байдаг.
P ба Q гэсэн хоёр цэг байна гэж бодъё. Тэдгээрийг дундуур нь шугам татах боломжтой нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд энэ ньцорын ганц байх болно. Элементийн харгалзах математик дүрслэл дараах байдалтай байна:
(x, y, z)=P + λPQ¯.
Энд PQ¯ нь координатыг дараах байдлаар авсан вектор:
PQ¯=Q - P.
λ тэмдэг нь ямар ч тоо авч болох параметрийг илэрхийлнэ.
Бичсэн илэрхийлэлд та векторын чиглэлийг өөрчлөхөөс гадна P цэгийн оронд Q координатыг орлуулж болно. Эдгээр бүх хувиргалт нь шугамын геометрийн байрлалыг өөрчлөхөд хүргэхгүй.
Бодлого шийдвэрлэхдээ заримдаа бичсэн вектор тэгшитгэлийг тодорхой (параметр) хэлбэрээр илэрхийлэх шаардлагатайг анхаарна уу.
Онгоцыг сансарт тохируулах
Шулуун шугамаас гадна хавтгайд зориулсан математик тэгшитгэлийн хэд хэдэн хэлбэр байдаг. Тэдгээрийн дотроос бид вектор, сегмент дэх тэгшитгэл, ерөнхий хэлбэрийг тэмдэглэв. Энэ нийтлэлд бид сүүлийн хэлбэрт онцгой анхаарал хандуулах болно.
Дурын хавтгайд зориулсан ерөнхий тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно:
Ax + By + Cz + D=0.
Латин том үсэг нь хавтгайг тодорхойлох тодорхой тоо юм.
Энэ тэмдэглэгээний тав тухтай байдал нь хавтгайд хэвийн векторыг тодорхой агуулж байгаа явдал юм. Энэ нь тэнцүү байна:
n¯=(A, B, C).
Энэ векторыг мэдсэнээр онгоцны тэгшитгэлийг товч харвал координатын систем дэх сүүлчийнх нь байршлыг төсөөлөх боломжтой.
Харилцан зохицуулалтШугаман ба хавтгайн орон зай
Өгүүллийн дараагийн догол мөрөнд бид координатын арга ба шулуун ба хавтгайн хоорондох өнцгийг авч үзэх болно. Энд бид авч үзсэн геометрийн элементүүдийг орон зайд хэрхэн байрлуулах вэ гэсэн асуултанд хариулах болно. Гурван арга бий:
- Шулуун шугам нь онгоцыг огтолж байна. Координатын аргыг ашиглан шулуун ба хавтгай аль нэг цэгт огтлолцохыг тооцоолж болно.
- Шулуун шугамын хавтгай параллель байна. Энэ тохиолдолд геометрийн элементүүдийн тэгшитгэлийн систем шийдэлгүй болно. Зэрэгцээ байдлыг батлахын тулд шулуун шугамын чиглүүлэх векторын скаляр үржвэрийн шинж чанар ба хавтгайн нормийг ихэвчлэн ашигладаг.
- Онгоц нь шугамтай. Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн системийг шийдэж, бид λ параметрийн аль ч утгын хувьд зөв тэгшитгэлийг олж авна гэсэн дүгнэлтэд хүрнэ.
Хоёр ба гурав дахь тохиолдолд заасан геометрийн объектуудын хоорондох өнцөг тэгтэй тэнцүү байна. Эхний тохиолдолд энэ нь 0-ээс 90o хооронд байна.
Шугам ба хавтгай хоорондын өнцгийн тооцоо
Одоо нийтлэлийн сэдэв рүү шууд орцгооё. Шугаман ба хавтгайн огтлолцол ямар нэг өнцгөөр үүсдэг. Энэ өнцөг нь шулуун шугам өөрөө болон түүний хавтгай дээрх проекцоор үүсгэгддэг. Шулуун шугамын аль ч цэгээс перпендикулярыг хавтгайд буулгаж, дараа нь хавтгай ба перпендикуляр огтлолцлын цэг, хавтгай ба анхны шугамын огтлолцлын цэгээр дамжуулан проекцийг гаргаж авч болно. проекц байх шулуун шугам.
Шулуун ба хавтгай хоорондын өнцгийг тооцоолох нь тийм ч хэцүү ажил биш. Үүнийг шийдэхийн тулд харгалзах геометрийн объектуудын тэгшитгэлийг мэдэхэд хангалттай. Эдгээр тэгшитгэлүүд дараах байдалтай байна гэж бодъё:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c);
Ax + By + Cz + D=0.
У¯ ба n¯ скаляр векторуудын үржвэрийн шинж чанарыг ашиглан хүссэн өнцгийг хялбархан олно. Эцсийн томъёо дараах байдалтай байна:
θ=arcsin(|(u¯n¯)|/(|u¯||n¯|)).
Энэ томьёо нь шулуун ба хавтгай хоорондын өнцгийн синус нь тэмдэглэгдсэн векторуудын скаляр үржвэрийн модулийг тэдгээрийн уртын үржвэрт харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна. Косинусын оронд синус яагаад гарч ирснийг ойлгохын тулд доорх зургийг харцгаая.
Хэрэв бид косинусын функцийг ашиглавал u¯ ба n¯ векторуудын хоорондох өнцгийг олж авах нь харагдаж байна. Хүссэн θ өнцгийг (зураг дээрх α) дараах байдлаар авна:
θ=90o- β.
Бууруулах томъёог хэрэглэсний үр дүнд синус гарч ирнэ.
Жишээ асуудал
Эзэмшсэн мэдлэгээ практикт ашиглах тал руугаа орцгооё. Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцгийн ердийн бодлогыг шийдье. Дөрвөн цэгийн дараах координатууд өгөгдсөн:
P=(1, -1, 0);
Q=(-1, 2, 2);
M=(0, 3, -1);
N=(-2, -1, 1).
Цэгээр дамжуулан PQM гэдгийг мэддэгтүүгээр хавтгай, MN-ээр шулуун шугам өнгөрнө. Координатын аргыг ашиглан хавтгай ба шугамын хоорондох өнцгийг тооцоолох шаардлагатай.
Эхлээд шулуун ба хавтгайн тэгшитгэлийг бичье. Шулуун шугамын хувьд үүнийг зохиоход хялбар байдаг:
MN¯=(-2, -4, 2)=>
(x, y, z)=(0, 3, -1) + λ(-2, -4, 2).
Хавтгайн тэгшитгэлийг хийхийн тулд эхлээд түүний нормийг олно. Түүний координатууд нь өгөгдсөн хавтгайд байрлах хоёр векторын вектор үржвэртэй тэнцүү байна. Бидэнд:
PQ¯=(-2, 3, 2);
QM¯=(1, 1, -3)=>
n¯=[PQ¯QM¯]=(-11, -4, -5).
Одоо түүний дотор байрлах дурын цэгийн координатыг ерөнхий хавтгайн тэгшитгэлд орлуулж чөлөөт гишүүний D утгыг гаргая:
P=(1, -1, 0);
- (Ax + By + Cz)=D=>
D=- (-11 + 4 + 0)=7.
Хавтгай тэгшитгэл нь:
11x + 4y + 5z - 7=0.
Бодлогын хариултыг авахын тулд шулуун ба хавтгайн огтлолцол дээр үүссэн өнцгийн томъёог ашиглахад л үлддэг. Бидэнд:
(u¯n¯)=(11, 4, 5)(-2, -4, 2)=-28;
|u¯|=√24; |n¯|=√162;
θ=arcsin(28/√(16224))=26, 68o.
Энэ бодлогыг жишээ болгон бид геометрийн бодлого бодоход координатын аргыг хэрхэн ашиглахыг харуулсан.
