"Хязгааргүй" гэдэг үгэнд хүн бүр өөрийн гэсэн холбоодтой байдаг. Олонхи нь тэнгэрийн хаяаг давсан далайг төсөөлөндөө зурдаг бол бусад хүмүүсийн нүдний өмнө төгсгөлгүй одтой тэнгэрийн зураг байдаг. Тоогоор ажиллаж дассан математикчид хязгааргүйг огт өөр байдлаар төсөөлдөг. Олон зууны турш тэд хэмжихэд шаардлагатай физик хэмжигдэхүүнүүдийн хамгийн томийг олохыг хичээж ирсэн. Тэдний нэг нь Грахамын тоо юм. Үүнд хэдэн тэг байгаа, юунд ашиглагдаж байгааг энэ нийтлэлд хэлэх болно.
Хязгааргүй их тоо
Математикийн хувьд энэ нь ийм хувьсагчийн нэр юм x , хэрэв өгөгдсөн эерэг M тооны хувьд N-ээс их n тоонуудын хувьд натурал N тоог зааж өгч болно. тэгш бус байдал |x | > M. Гэсэн хэдий ч, жишээ нь Z бүхэл тоо үргэлж (Z + 1) -ээс бага байх тул хязгааргүй том гэж үзэж болохгүй.
"аваргууд"-ын тухай хэдэн үг
Физик утгатай хамгийн том тоонууд нь:
- 1080. Энэ тоог квинквавигинтилион гэж нэрлэдэг бөгөөд орчлон ертөнц дэх кварк ба лептонуудын (хамгийн жижиг бөөмс) ойролцоо тоог илэрхийлэхэд ашигладаг.
- 1 Google. Аравтын бутархайн систем дэх ийм тоог 100 тэгтэй нэгж болгон бичдэг. Математикийн зарим загвараар бол их тэсрэлтээс эхлээд хамгийн том хар нүхний дэлбэрэлт хүртэл 1-1.5 гоогол жил өнгөрөх ёстой бөгөөд үүний дараа манай орчлон ертөнц оршин тогтнох сүүлчийн үе шатандаа шилжих болно, өөрөөр хэлбэл бид Энэ тоо нь тодорхой физик утгатай гэж бодъё.
- 8, 5 x 10185. Планкийн тогтмол нь 1.616199 x 10-35 м, өөрөөр хэлбэл аравтын бутархайн тэмдэглэгээнд 0.0000000000000000000000000000616199 м шиг харагдаж байна. Нэг инчэд ойролцоогоор 1 googol Planck урт байдаг. Ойролцоогоор 8.5 x 10185 Планкийн урт нь манай орчлон ертөнцөд багтах боломжтой.
- 277 232 917 – 1. Энэ нь мэдэгдэж байгаа хамгийн том анхны тоо юм. Хэрэв түүний хоёртын тэмдэглэгээ нь нэлээд авсаархан хэлбэртэй бол аравтын бутархай хэлбэрээр дүрслэхийн тулд 13 сая тэмдэгтээс багагүй байх болно. Энэ нь 2017 онд Мерсений дугаарыг хайх төслийн хүрээнд олдсон. Хэрэв сонирхогчид энэ чиглэлээр үргэлжлүүлэн ажиллах юм бол компьютерийн технологийн хөгжлийн өнөөгийн түвшинд ойрын ирээдүйд 277 232 917-аас дээш тооны дараалалтай Мерсенний тоог олох боломжгүй юм.- 1, гэхдээ тиймазтан 150,000 ам.доллар авах болно.
- Hugoplex. Энд бид зүгээр л 1-ийг аваад дараа нь 1 гооголын хэмжээгээр тэг нэмнэ. Та энэ тоог 10^10^100 гэж бичиж болно. Үүнийг аравтын бутархай хэлбэрээр дүрслэх боломжгүй, учир нь орчлон ертөнцийн бүх орон зайг цаасаар дүүргэж, тус бүр дээр нь "Үг" үсгийн 10 хэмжээтэй 0 гэж бичсэн бол энэ тохиолдолд зөвхөн хагас нь л болно. googolplex дугаарын хувьд 1-ээс хойшхи бүх 0-г авна.
- 10^10^10^10^10^1.1. Энэ бол Пуанкаре теоремын дагуу манай Ертөнц санамсаргүй квант хэлбэлзлийн үр дүнд өнөөдрийнхтэй ойролцоо төлөвтөө буцаж ирэх жилийн тоог харуулсан тоо юм.
Грахамын тоо хэрхэн гарсан
1977 онд шинжлэх ухааныг нэр хүндтэй сурталчлагч Мартин Гарднер Scientific American сэтгүүлд Рамсын онолын нэг асуудлыг Грахам нотолсон тухай өгүүлэл нийтлүүлсэн. Үүнд тэрээр эрдэмтний тогтоосон хязгаарыг математикийн ноцтой үндэслэлд ашигласан хамгийн том тоо гэж нэрлэсэн.
Роналд Льюис Грахам гэж хэн бэ
Өдгөө 80 гарсан эрдэмтэн Калифорнид төрсөн. 1962 онд Берклигийн их сургуульд математикийн ухааны докторын зэрэг хамгаалсан. Тэрээр Bell Labs-д 37 жил ажилласан бөгөөд дараа нь AT&T Labs руу шилжсэн. Эрдэмтэн 20-р зууны хамгийн агуу математикчдын нэг Пал Эрдостой идэвхтэй хамтран ажиллаж байсан бөгөөд олон нэр хүндтэй шагналын эзэн юм. Грахамын шинжлэх ухааны ном зүйд 320 гаруй эрдэм шинжилгээний өгүүлэл багтсан.
70-аад оны дундуур эрдэмтэн онолтой холбоотой асуудлыг сонирхож байв. Рэмси. Үүний нотолгоонд уусмалын дээд хязгаарыг тодорхойлсон бөгөөд энэ нь маш их тоо бөгөөд дараа нь Рональд Грахамын нэрээр нэрлэгдсэн.
Гиперкубын асуудал
Грахамын тооны мөн чанарыг ойлгохын тулд эхлээд түүнийг хэрхэн олж авсныг ойлгох хэрэгтэй.
Эрдэмтэн болон түүний хамтран зүтгэгч Брюс Ротшильд нар дараах асуудлыг шийдэж байна:
n хэмжээст гиперкуб байна. Түүний бүх хос оройг 2оройтой бүтэн график авахаар холбосон. Түүний ирмэг бүр цэнхэр эсвэл улаан өнгөтэй байна. Гиперкубт байх ёстой оройн хамгийн бага тоог олох шаардлагатай байсан бөгөөд ийм өнгө бүр нь нэг хавтгайд байрлах 4 орой бүхий бүтэн монохромат дэд график агуулна.
Шийдвэр
Грахам, Ротшильд нар уг асуудал нь 6 ⩽ N' ⩽N нөхцөлийг хангасан N' шийдэлтэй болохыг нотолсон бөгөөд энд N нь маш том тоо юм.
N-ийн доод хязгаарыг дараа нь бусад эрдэмтэд нарийвчилж, N нь 13-аас их буюу тэнцүү байх ёстойг нотолсон. Тиймээс дээр дурдсан нөхцөлүүдийг хангасан гиперкубын хамгийн бага тооны оройнуудын илэрхийлэл болсон. 13 ⩽ N'⩽ N.
Кнутын сумны тэмдэглэгээ
Грахамын тоог тодорхойлохын өмнө аравтын болон хоёртын тэмдэглэгээний аль нь ч үүнд тохиромжгүй тул түүнийг бэлгэдлээр илэрхийлэх аргатай танилцах хэрэгтэй.
Одоогоор энэ хэмжигдэхүүнийг илэрхийлэхийн тулд Knuth-ийн сумны тэмдэглэгээг ашиглаж байна. Түүний хэлснээр:
ab=a "дээш сум" b.
Олон экспонентийн үйлдлийн хувьд дараах оруулгыг нэвтрүүлсэн:
a "дээш сум" "дээш сум" b=ab="b ширхэгийн хэмжээтэй a-аас бүрдэх цамхаг."
Пентацын хувьд, өөрөөр хэлбэл өмнөх операторын давтагдах экспонентацын бэлгэдлийн хувьд Кнут аль хэдийн 3 сум ашигласан байна.
Грахамын дугаарт энэ тэмдэглэгээг ашигласнаар бид 64 ширхэгтэй "сум" дарааллыг бие биендээ оруулав.
Масштаб
Төсөөллийг хөдөлгөж, хүний ухамсрын хил хязгаарыг тэлж, түүнийг орчлон ертөнцийн хязгаараас хэтрүүлсэн тэдний алдартай дугаарыг Грахам ба түүний хамтрагчид гиперкубын нотолгоонд N тооны дээд хязгаар болгон гаргажээ. дээр дурдсан асуудал. Энгийн хүн түүний цар хүрээ ямар том болохыг төсөөлөхөд маш хэцүү байдаг.
Тэмдэгтийн тооны тухай асуулт эсвэл заримдаа Грахамын тоон дахь тэг гэж андуурч хэлэх нь энэ утгын талаар анх удаа сонссон бараг бүх хүмүүсийн сонирхлыг татдаг.
Бид 64 гишүүнээс бүрдэх хурдацтай хөгжиж буй дараалалтай тулгараад байгааг хэлэхэд хангалттай. 3-аас бүрдсэн n "цамхаг" -аас бүрддэг тул түүний эхний нэр томъёог ч төсөөлөхийн аргагүй юм. Аль хэдийн 3 гурвалсан "доод давхар" нь 7,625,597,484,987-тэй тэнцэж байна, өөрөөр хэлбэл 7 тэрбумаас давсан нь 64 давхар (гишүүн биш!) гэсэн үг юм. Тиймээс Грахамын тоог тооцоолоход хангалтгүй тул яг юу болохыг хэлэх боломжгүй байна. Өнөөдөр дэлхий дээр байгаа бүх компьютеруудын нийлмэл хүч.
Бичлэг эвдэрсэн үү?
Крускалийн теоремыг батлах явцад Грахамын тоог “төрөөс нь хаясан”. Эрдэмтэн дараах асуудлыг дэвшүүлсэн:
Хязгааргүй моддын төгсгөлгүй дараалал бий. Крускал ямар нэгэн графын хэсэг үргэлж байдгийг нотолсон бөгөөд энэ нь том графикийн нэг хэсэг ба түүний яг хуулбар юм. Энэ мэдэгдэл нь ямар ч эргэлзээ төрүүлэхгүй, учир нь хязгааргүйд яг давтагдах хослол байх нь ойлгомжтой
Хожим нь Харви Фридман энэ асуудлыг зарим талаар нарийсгаж зөвхөн i коэффициенттэй тухайн нэгд хамгийн ихдээ (i + k) оройтой байх цикл бус графикуудыг (мод) авч үзсэн. Тэрээр цикл бус графикуудын тоо хэд байх ёстойг олж мэдэхээр шийдсэн бөгөөд ингэснээр тэдгээрийн даалгаврын энэ аргын тусламжтайгаар өөр модонд суулгасан дэд модыг олох боломжтой болно.
Энэ асуудлыг судалсны үр дүнд k-ээс хамаараад N нь асар хурдтай ургадаг нь тогтоогдсон. Ялангуяа k=1 бол N=3. Гэхдээ k=2-д N аль хэдийн 11-д хүрдэг. Хамгийн сонирхолтой нь k=3-аас эхэлдэг. Энэ тохиолдолд N маш хурдан "хөөрөх" бөгөөд ийм утгад хүрдэг. Грахамын тооноос хэд дахин их байна. Энэ нь хичнээн том болохыг төсөөлөхийн тулд Рональд Грахамын тооцоолсон тоог G64 (3) хэлбэрээр бичихэд хангалттай. Дараа нь Фридман-Крускалийн утга (илч. ФинКраскал(3)) нь G(G(187196)) зэрэгтэй байх болно. Өөрөөр хэлбэл, хязгааргүй том хэмжээтэй мега утгыг олж авдагГрэмийн төсөөлшгүй том тоо. Үүний зэрэгцээ, тэр ч байтугай асар олон удаа хязгааргүй байх болно. Энэ ойлголтын талаар илүү дэлгэрэнгүй ярих нь утга учиртай.
Хязгааргүй
Одоо бид хуруун дээрх Грахамын тоо гэж юу болохыг тайлбарласны дараа энэхүү гүн ухааны үзэл баримтлалд ямар утга агуулагдаж байсан болон одоо байгаа зүйлийг ойлгох хэрэгтэй. Эцсийн эцэст, "хязгааргүй" болон "хязгааргүй их тоо" нь тодорхой нөхцөл байдалд адилхан гэж үзэж болно.
Энэ асуудлыг судлахад хамгийн их хувь нэмэр оруулсан нь Аристотель юм. Эртний агуу сэтгэгч хязгааргүйг боломжит ба бодит гэж хуваасан. Сүүлд нь тэрээр хязгааргүй зүйлсийн оршин тогтнох бодит байдлыг илэрхийлсэн.
Аристотелийн хэлснээр энэхүү үндсэн үзэл баримтлалын талаархи санааны эх сурвалжууд нь:
- цаг;
- утга тусгаарлах;
- хилийн тухай ойлголт ба түүнээс цааш орших зүйл;
- бүтээлч мөн чанарын шавхагдашгүй байдал;
- хязгааргүй гэж боддог.
Хязгааргүй байдлын орчин үеийн тайлбарт та тоон хэмжигдэхүүнийг зааж өгөх боломжгүй тул хамгийн их тоог хайх нь үүрд үргэлжлэх боломжтой.
Дүгнэлт
“Хязгааргүй рүү харах” зүйрлэл ба Грахамын тоог ямар нэгэн утгаар ижил утгатай гэж үзэж болох уу? Харин тийм, үгүй. Хамгийн хүчтэй төсөөлөлтэй байсан ч хоёуланг нь төсөөлөхийн аргагүй юм. Гэсэн хэдий ч, аль хэдийн дурьдсанчлан үүнийг "хамгийн их, хамгийн" гэж үзэх боломжгүй юм. Өөр нэг зүйл бол одоогоор Грахамын тооноос их утгууд тогтоогдоогүй байнабиеийн мэдрэмж.
Мөн хязгааргүй тоонышинж чанарууд байхгүй, жишээ нь:
- ∞ + 1=∞;
- сондгой ба тэгш тоо хязгааргүй олон байна;
- ∞ - 1=∞;
- сондгой тооны тоо нь бүх тооны яг тал нь байна;
- ∞ + ∞=∞;
- ∞/2=∞.
Товчхондоо: Грэмийн тоо бол Гиннесийн амжилтын номонд бичигдсэн математикийн нотлох практикт хамгийн том тоо юм. Гэхдээ энэ утгаас хэд дахин их тоо байна.
Ирээдүйд, ялангуяа хүн манай нарны аймгаас хальж, бидний ухамсрын өнөөгийн түвшинд төсөөлшгүй зүйлийг зохион бүтээсэн тохиолдолд бүр ч илүү том "аваргууд" хэрэгтэй болно.
