Биднийг хүрээлж буй бүх бие нь байнгын хөдөлгөөнд байдаг. Сансар дахь биетүүдийн хөдөлгөөн нь материйн атом дахь энгийн бөөмсийн хөдөлгөөнөөс эхлээд орчлон ертөнц дэх галактикуудын хурдацтай хөдөлгөөн хүртэл бүх масштабын түвшинд ажиглагддаг. Ямар ч тохиолдолд хөдөлгөөний үйл явц нь хурдатгалтай явагддаг. Энэ нийтлэлд бид тангенциал хурдатгалын тухай ойлголтыг нарийвчлан авч үзэж, түүнийг тооцоолох томъёог өгөх болно.
Кинематик хэмжигдэхүүнүүд
Тангенциал хурдатгалын тухай ярихаасаа өмнө биетүүдийн орон зайд дур зоргоороо механик хөдөлгөөнийг ямар хэмжигдэхүүнээр тодорхойлдог болохыг авч үзье.
Юуны өмнө энэ зам L. Энэ нь тухайн биеийг тодорхой хугацаанд туулсан зайг метр, сантиметр, километр гэх мэтээр харуулдаг.
Кинематикийн хоёр дахь чухал шинж чанар бол биеийн хурд юм. Замаас ялгаатай нь энэ нь вектор хэмжигдэхүүн бөгөөд траекторийн дагуу чиглэгддэгбиеийн хөдөлгөөн. Хурд нь орон зайн координатын цаг хугацааны өөрчлөлтийн хурдыг тодорхойлдог. Үүнийг тооцоолох томъёо нь:
v¯=dL/dt
Хурд бол замын цаг хугацааны дериватив юм.
Эцэст нь хэлэхэд биеийн хөдөлгөөний гурав дахь чухал шинж чанар бол хурдатгал юм. Физикийн тодорхойлолтоор бол хурдатгал нь цаг хугацааны явцад хурдны өөрчлөлтийг тодорхойлдог хэмжигдэхүүн юм. Үүний томъёог дараах байдлаар бичиж болно:
a¯=dv¯/dt
Хурдтай адил хурдатгал нь вектор хэмжигдэхүүн боловч түүнээс ялгаатай нь хурдны өөрчлөлтийн чиглэлд чиглэгддэг. Мөн хурдатгалын чиглэл нь биед үйлчилж буй үр дүнд бий болсон хүчний вектортой давхцдаг.
Траектор ба хурдатгал
Физикийн олон асуудлыг шулуун шугаман хөдөлгөөний хүрээнд авч үздэг. Энэ тохиолдолд дүрмээр бол тэд цэгийн тангенциал хурдатгалын тухай ярьдаггүй, харин шугаман хурдатгалтай ажилладаг. Гэхдээ хэрэв биеийн хөдөлгөөн шугаман биш бол түүний бүрэн хурдатгал нь хоёр бүрэлдэхүүн хэсэгт хуваагдаж болно:
- шүргэх;
- хэвийн.
Шугаман хөдөлгөөний хувьд хэвийн бүрэлдэхүүн хэсэг нь тэг байх тул хурдатгалын вектор тэлэлтийн талаар ярихгүй.
Тиймээс хөдөлгөөний замнал нь бүрэн хурдатгалын шинж чанар, бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг ихээхэн тодорхойлдог. Хөдөлгөөний траекторийг бие нь хөдөлж буй орон зай дахь төсөөллийн шугам гэж ойлгодог. Ямар чмуруй шугаман зам нь дээр дурдсан хурдатгалын 0-ээс ялгаатай бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн харагдах байдалд хүргэдэг.
Тангенциал хурдатгал тодорхойлох
Тангенциал буюу өөр нэрээр нь тангенциал хурдатгал нь хөдөлгөөний траектор руу шүргэгчээр чиглэгдсэн бүрэн хурдатгалын бүрэлдэхүүн хэсэг юм. Хурд нь траекторийн дагуу чиглэгддэг тул тангенциал хурдатгалын вектор нь хурдны вектортой давхцдаг.
Хурдны өөрчлөлтийн хэмжүүр болох хурдатгалын тухай ойлголтыг дээр өгсөн. Хурд нь вектор учраас түүнийг модуль болон чиглэлийн аль нэгээр нь өөрчилж болно. Тангенциал хурдатгал нь зөвхөн хурдны модулийн өөрчлөлтийг тодорхойлно.
Тэгш шугаман хөдөлгөөний үед хурдны вектор чиглэлээ өөрчилдөггүй тул дээрх тодорхойлолтын дагуу тангенциал хурдатгал ба шугаман хурдатгал ижил утгатай болохыг анхаарна уу.
Тангенциал хурдатгалын тэгшитгэлийг авч байна
Бие ямар нэг муруй зам дагуу хөдөлдөг гэж бодъё. Дараа нь сонгосон цэг дэх түүний v¯ хурдыг дараах байдлаар илэрхийлж болно:
v¯=vut¯
Энд v нь v¯ векторын модуль, ut¯ нь траектор руу тангенциал чиглэсэн нэгж хурдны вектор юм.
Хурдатгалын математик тодорхойлолтыг ашигласнаар бид дараахийг авна:
a¯=dv¯/dt=d(vut¯)/dt=dv/dtut ¯ + vd(ut¯)/dt
Үүсмэлийг олохдоо энд хоёр функцийн үржвэрийн шинж чанарыг ашигласан. Тооцоолж буй цэг дээрх нийт хурдатгал a¯ нь хоёр гишүүний нийлбэртэй тохирч байгааг бид харж байна. Эдгээр нь цэгийн шүргэгч ба хэвийн хурдатгал юм.
Хэвийн хурдатгалын талаар хэдэн үг хэлье. Энэ нь хурдны векторыг өөрчлөх, өөрөөр хэлбэл муруйн дагуу биеийн хөдөлгөөний чиглэлийг өөрчлөх үүрэгтэй. Хэрэв бид хоёр дахь гишүүний утгыг тодорхой тооцвол хэвийн хурдатгалын томъёог авна:
a=vd(ut¯)/dt=v2/ r
Хэвийн хурдатгал нь муруйн өгөгдсөн цэг хүртэл сэргээгдсэн хэвийн дагуу чиглэнэ. Тойрог хөдөлгөөний хувьд хэвийн хурдатгал нь төв рүү чиглэсэн хурдатгал юм.
Тангенциал хурдатгалын тэгшитгэл at¯ нь:
at¯=dv/dtut¯
Энэ илэрхийлэл нь тангенциал хурдатгал нь чиглэлийн өөрчлөлттэй биш, харин хурдны модуль v¯-ийн агшин зуурын өөрчлөлттэй тохирч байгааг хэлж байна. Тангенциал хурдатгал нь траекторын авч үзсэн цэг рүү тангенциал чиглэгддэг тул энэ нь үргэлж хэвийн бүрэлдэхүүн хэсэгтэй перпендикуляр байна.
Тагенциал хурдатгал ба нийт хурдатгалын модуль
Дээрх бүх мэдээллийг танилцуулсан бөгөөд энэ нь тангенс ба нормоор дамжих нийт хурдатгалыг тооцоолох боломжийг танд олгоно. Үнэн хэрэгтээ, хоёр бүрэлдэхүүн хэсэг нь харилцан перпендикуляр байдаг тул тэдгээрийн векторууд нь тэгш өнцөгт гурвалжны хөлийг үүсгэдэг. Гипотенуз нь нийт хурдатгалын вектор юм. Энэ баримт нь нийт хурдатгалын модулийн томъёог дараах хэлбэрээр бичих боломжийг бидэнд олгоно:
a=√(a2 + at2)
Бүрэн хурдатгал ба тангенциал хурдатгалын хоорондох θ өнцгийг дараах байдлаар тодорхойлж болно:
θ=arccos(at/a)
Тангенциал хурдатгал их байх тусам шүргэгч ба бүрэн хурдатгалын чиглэл ойр байна.
Тангенциал ба өнцгийн хурдатгалын хамаарал
Технологи болон байгальд биетүүд хөдөлдөг ердийн муруй шугамын зам бол тойрог юм. Үнэн хэрэгтээ араа, ир, гаригуудын хөдөлгөөн нь өөрсдийн тэнхлэгийн эргэн тойронд эсвэл гэрэлтүүлэгчийн эргэн тойронд яг тойрог хэлбэрээр явагддаг. Энэ замд тохирох хөдөлгөөнийг эргэлт гэж нэрлэдэг.
Эргэлтийн кинематик нь шулуун шугамын дагуух хөдөлгөөний кинематиктай ижил утгуудаар тодорхойлогддог боловч тэдгээр нь өнцгийн шинж чанартай байдаг. Тиймээс эргэлтийг тодорхойлохын тулд эргэлтийн төв өнцөг θ, өнцгийн хурд ω ба хурдатгал α-г ашигладаг. Эдгээр хэмжигдэхүүнүүдэд дараах томьёо хүчинтэй байна:
ω=dθ/dt;
α=dω/dt
Бие t хугацаанд эргэлтийн тэнхлэгийг тойрон нэг эргэлт хийсэн гэж үзвэл өнцгийн хурдны хувьд: гэж бичиж болно.
ω=2pi/t
Энэ тохиолдолд шугаман хурд нь:-тай тэнцүү байна.
v=2pir/t
Энд r нь траекторийн радиус юм. Сүүлийн хоёр илэрхийлэл нь бичих боломжийг бидэнд олгодогХоёр хурдыг холбох томъёо:
v=ωr
Одоо бид тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талын цаг хугацааны деривативыг тооцоод:
dv/dt=rdω/dt
Тэгш байдлын баруун тал нь өнцгийн хурдатгал ба тойргийн радиусын үржвэр юм. Тэгшитгэлийн зүүн тал нь хурдны модулийн өөрчлөлт, өөрөөр хэлбэл тангенциал хурдатгал юм.
Тиймээс, тангенциал хурдатгал болон ижил төстэй өнцгийн утга нь тэгшитгэлээр хамааралтай:
at=αr
Хэрэв бид дискийг эргэлдэж байна гэж үзвэл α-ийн тогтмол утгатай цэгийн тангенциал хурдатгал нь энэ цэгээс эргэлтийн тэнхлэг хүртэлх r хүртэлх зай нэмэгдэх тусам шугаман нэмэгдэнэ.
Дараа нь бид дээрх томьёог ашиглан хоёр асуудлыг шийдэх болно.
Мэдэгдэж буй хурдны функцээр тангенциал хурдатгал тодорхойлох
Тодорхой муруй траекторийн дагуу хөдөлж буй биеийн хурдыг цаг хугацааны дараах функцээр тодорхойлдог нь мэдэгдэж байна:
v=2t2+ 3t + 5
Тангенциал хурдатгалын томъёог тодорхойлж t=5 секундын утгыг олох шаардлагатай.
Эхлээд тангенциал хурдатгалын модулийн томъёог бичье:
at=dv/dt
Өөрөөр хэлбэл, at(t) функцийг тооцоолохын тулд та цаг хугацааны хувьд хурдны деривативыг тодорхойлох хэрэгтэй. Бидэнд:
at=d(2t2+ 3t + 5)/dt=4t + 3
Үлдсэн илэрхийлэлд t=5 секундын хугацааг орлуулбал бид дараах хариултанд хүрнэ: at=23 м/с2.
Энэ бодлогын хурд ба цаг хугацааны график нь парабол, харин тангенциал хурдатгалын график шулуун шугам гэдгийг анхаарна уу.
Тагенциал хурдатгалын даалгавар
Материалын цэг цаг хугацааны тэг мөчөөс жигд хурдасгасан эргэлт хийж эхэлсэн нь мэдэгдэж байна. Эргэлт эхэлснээс хойш 10 секундын дараа түүний төв рүү чиглэсэн хурдатгал нь 20 м/с2 болсон. Эргэлтийн радиус нь 1 метр гэдгийг мэдэж байгаа бол 10 секундын дараа цэгийн тангенциал хурдатгалыг тодорхойлох шаардлагатай.
Эхлээд төв рүү чиглэсэн эсвэл хэвийн хурдатгалын томъёог бичнэ үү ac:
ac=v2/r
Шугаман болон өнцгийн хурдны хамаарлын томьёог ашигласнаар бид дараахийг авна:
ac=ω2r
Нэг жигд хурдасгасан хөдөлгөөнд хурд ба өнцгийн хурдатгал нь дараах томъёогоор холбогдоно:
ω=αt
Аc-ийн тэгшитгэлд ω-г орлуулбал:
ac=α2t2r
Тагенциал хурдатгалын шугаман хурдатгалыг дараах байдлаар илэрхийлнэ:
α=at/r
Сүүлийн тэгшитгэлийг эцсийнхээс өмнөх тэгшитгэлд орлуулбал:
ac=at2/r2 t2r=at2/rt2=>
at=√(acr)/t
Сүүлийн томъёо нь асуудлын нөхцөлийн өгөгдлийг харгалзан үзэхэд дараах хариултыг өгнө: at=0, 447м/сек2.
