Пирамидын хоёр өнцөгт өнцөг ба тэдгээрийг тооцоолох арга

2024 Зохиолч: Angel Austin | [email protected]. Хамгийн сүүлд өөрчлөгдсөн: 2024-01-02 17:52

Аливаа пирамидын ердийн шугаман параметрүүд нь түүний суурийн хажуугийн урт, өндөр, хажуугийн ирмэг, тэмдэгтүүд юм. Гэсэн хэдий ч тэмдэглэсэн параметрүүдтэй холбоотой өөр нэг шинж чанар байдаг - энэ бол хоёр талт өнцөг юм. Энэ нь юу болох, хэрхэн олох талаар нийтлэлээс харна уу.

Орон зайн дүрст пирамид

Оюутан бүр "пирамид" гэдэг үгийг сонсоод ямар эрсдэлтэй болохыг сайн ойлгодог. Үүнийг геометрийн хувьд дараах байдлаар барьж болно: тодорхой олон өнцөгтийг сонгоод дараа нь орон зайд цэгийг засаад олон өнцөгтийн булан бүрт холбоно. Үүссэн гурван хэмжээст дүрс нь дурын төрлийн пирамид болно. Үүнийг үүсгэсэн олон өнцөгтийг суурь гэж нэрлэдэг бөгөөд түүний бүх булангуудыг холбосон цэг нь зургийн орой юм. Доорх зурагт таван өнцөгт пирамидыг бүдүүвчээр харуулав.

Түүний гадаргуу нь зөвхөн таван өнцөгт төдийгүй таван гурвалжингаас бүрдсэн болохыг харж болно. Ерөнхийдөө эдгээр гурвалжны тоо нь тоотой тэнцүү байх болноолон өнцөгт суурийн талууд.

Зургийн хоёр өнцөгт өнцөг

Геометрийн бодлогуудыг хавтгай дээр авч үзэхэд ямар ч өнцөг огтлолцсон хоёр шулуун шугам буюу хэрчмээс үүсдэг. Орон зайд хоёр хавтгайн огтлолцолоос үүссэн эдгээр шугаман өнцгүүдэд хоёр талт өнцөг нэмэгддэг.

Хэрэв огторгуйн өнцгийн тэмдэглэсэн тодорхойлолтыг тухайн зурагт хэрэглэвэл бид хоёр төрлийн өнцөгтэй гэж хэлж болно:

• Пирамидын ёроолд. Энэ нь суурийн хавтгай ба хажуугийн аль ч нүүр (гурвалжин) -аар үүсгэгддэг. Энэ нь пирамидын суурийн өнцөг нь n, энд n нь олон өнцөгтийн талуудын тоо гэсэн үг.
• Талуудын хооронд (гурвалжин). Эдгээр хоёр өнцөгт өнцгүүдийн тоо мөн n ширхэг байна.

Нэгдүгээр төрлийн өнцгийг суурийн ирмэг дээр, хоёр дахь төрөл нь хажуугийн ирмэг дээр бүтээдэг болохыг анхаарна уу.

Пирамидын өнцгийг хэрхэн тооцоолох вэ?

Хоёр өнцөгт өнцгийн шугаман өнцөг нь сүүлчийнх нь хэмжигдэхүүн юм. Пирамидын нүүрнүүд призмийн нүүрнүүдээс ялгаатай нь ерөнхий тохиолдолд зөв өнцгөөр огтлолцдоггүй тул үүнийг тооцоолох нь тийм ч хялбар биш юм. Хавтгайн тэгшитгэлийг ашиглан хоёр өнцөгт өнцгийн утгыг тооцоолох нь хамгийн найдвартай.

Гурван хэмжээст орон зайд хавтгайг дараах илэрхийллээр өгөгдөнө:

Ax + By + Cz + D=0

Энд A, B, C, D нь зарим бодит тоо юм. Энэ тэгшитгэлийн тав тухтай байдал нь эхний гурван тэмдэглэгдсэн тоо нь векторын координат юм.өгөгдсөн хавтгайд перпендикуляр, өөрөөр хэлбэл:

n¯=[A; B; C]

Хэрэв хавтгайд хамаарах гурван цэгийн координат нь мэдэгдэж байгаа бол эдгээр цэг дээр баригдсан хоёр векторын вектор үржвэрийг авснаар n¯ координатыг гаргаж болно. n¯ векторыг онгоцны хөтөч гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолтоор бол хоёр хавтгайн огтлолцолоос үүссэн хоёр талт өнцөг нь тэдгээрийн чиглэлийн векторуудын хоорондох шугаман өнцөгтэй тэнцүү байна. Бидэнд хэвийн векторууд нь тэнцүү хоёр хавтгай байна гэж бодъё:

₁¯=[A₁; B₁; C₁];

₂¯=[A₂; B₂; C₂]

Тэдний хоорондох φ өнцгийг тооцоолохын тулд та скаляр үржвэрийн шинж чанарыг ашиглаж болно, тэгвэл харгалзах томьёо нь:

болно.

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n₂¯|))

Эсвэл координат хэлбэрээр:

φ=arccos(|A₁A₂+ B₁B ₂+ C₁C₂|/(√(A₁ 2 ^{+ B}12^+C12 ^)√(A22 ^{+ B}22+ C²₂)))

Геометрийн бодлого бодохдоо хоёр өнцөгт өнцгийг тооцох дээрх аргыг хэрхэн ашиглахыг үзүүлье.

Энгийн дөрвөлжин пирамидын өнцөг

Суурь нь 10см талтай дөрвөлжин хэлбэртэй энгийн пирамид байна гэж бодъё. Зургийн өндөр нь12 см. Пирамидын суурь болон талуудын хувьд хоёр талт өнцөг ямар байхыг тооцоолох шаардлагатай.

Бодлогын нөхцөлд өгсөн зураг зөв, өөрөөр хэлбэл өндөр тэгш хэмтэй тул суурийн бүх өнцөг нь хоорондоо тэнцүү байна. Хажуугийн нүүрнээс үүссэн өнцөг нь мөн адил байна. Шаардлагатай хоёр талт өнцгийг тооцоолохын тулд суурь ба хоёр хажуугийн хавтгайн чиглэлийн векторуудыг олно. Суурийн хажуугийн уртыг a үсгээр, өндөрийг h гэж тэмдэглэнэ.

Дээрх зурган дээр дөрвөлжин ердийн пирамид харагдаж байна. Оруулсан координатын системийн дагуу A, B, C, D цэгүүдийн координатыг бичье:

A(a/2; -a/2; 0);

B(a/2; a/2; 0);

C(-a/2; a/2; 0);

D(0; 0; ц)

Одоо бид дээрх догол мөрөнд тайлбарласан аргын дагуу ABC суурийн хавтгай ба ABD ба BCD хоёр талын чиглэлийн векторуудыг оллоо:

ABC-д:

AB¯=(0; a; 0); AC¯=(-a; a; 0); n₁¯=[AB¯AC¯]=(0; 0; a²)

ABD-д:

AB¯=(0; a; 0); AD¯=(-a/2; a/2; h); n₂¯=[AB¯AD¯]=(ah; 0; a²/2)

BCD-д:

BC¯=(-a; 0; 0); BD¯=(-a/2; -a/2; h); n₃¯=[BC¯BD¯]=(0; ah; a²/2)

Одоо φ өнцгийн тохирох томьёог хэрэглэж, асуудлын мэдэгдлийн хажуу ба өндрийн утгыг орлуулахад л үлдлээ:

ABC болон хоорондох өнцөгABD:

(n₁¯n₂¯)=a⁴/2; |n₁¯|=a²; |n₂¯|=a√(h² + a²/4);

φ=arccos(a⁴/2/(a²a√(h^{2+ a}2^{/4)))=arccos(a/(2√(h}2 ^{+ a}2 /4)))=67, 38^o

ABD болон BDC хоорондох өнцөг:

(n₂¯n₃¯)=a⁴/4; |n₂¯|=a√(h² + a²/4); |n₃¯|=a√(h² + a²/4);

φ=arccos(a⁴/(4a²(h²+ a²/4))=arccos(a²/(4(h²+a 2^{/4)))=81, 49}o

Бид асуудлын нөхцөлөөр олох шаардлагатай өнцгүүдийн утгыг тооцоолсон. Асуудлыг шийдвэрлэхэд олж авсан томьёо нь дөрвөлжин ердийн пирамидын хоёр өнцөгт өнцгийг a ба h-ийн дурын утгатай тодорхойлоход ашиглаж болно.

Гурвалжин энгийн пирамидын өнцөг

Доорх зурагт суурь нь ердийн гурвалжин болох пирамидыг харуулж байна. Хажуугийн хоорондох хоёр талт өнцөг нь зөв гэдгийг мэддэг. Хэрэв зургийн өндөр нь 15 см байгаа нь мэдэгдэж байгаа бол суурийн талбайг тооцоолох шаардлагатай.

90^o-тэй тэнцүү хоёр өнцөгт өнцгийг зурагт ABC гэж тэмдэглэв. Та дээрх аргыг ашиглан асуудлыг шийдэж болно, гэхдээ энэ тохиолдолд бид үүнийг хялбархан хийх болно. Гурвалжны талыг a, зургийн өндрийг - h, апотема - h_b ба талыг тэмдэглэе.хавирга - б. Одоо та дараах томьёог бичиж болно:

S=1/2ah_b;

b²=h_b²+ a² /4;

b²=h² + a²/3

Пирамидын хоёр хажуугийн гурвалжин ижил тул AB ба CB талууд тэнцүү бөгөөд ABC гурвалжны хөл болно. Тэдний уртыг x-ээр тэмдэглээд:

x=a/√2;

S=1/2ba/√2

Хажуугийн гурвалжны талбайг тэгшитгэж, харгалзах илэрхийлэлд нэрийн үгийг орлуулбал:

1/2ah_b=1/2ba/√2=>

h_b=b/√2;

b²=b ²/2 + a²/4=>

b=a/√2;

a²/2=h² + a²/3=>

a=h√6

Тэгш талт гурвалжны талбайг дараах байдлаар тооцно:

S=√3/4a²=3√3/2h²

Бодлогын нөхцөлийн өндрийн утгыг орлуулбал бид хариултыг авна: S=584, 567 см².