Олон хүмүүсийн хувьд математик анализ нь бодит амьдралаас хол үл ойлгогдох тоо, дүрс, тодорхойлолтуудын нэгдэл юм. Гэсэн хэдий ч бидний оршин буй ертөнц нь тоон хэв маяг дээр бүтээгдсэн бөгөөд үүнийг таних нь бидний эргэн тойрон дахь ертөнцийн талаар мэдэх, түүний нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэхэд тусалдаг төдийгүй өдөр тутмын практик даалгавруудыг хялбарчлахад тусалдаг. Тооны дараалал нийлдэг гэж математикч юу гэсэн үг вэ? Үүнийг илүү дэлгэрэнгүй ярих хэрэгтэй.
Хязгааргүй жижиг гэж юу вэ?
Матрёшка хүүхэлдэйг хооронд нь тааруулж төсөөлцгөөе. Тэдний хэмжээ, тоо хэлбэрээр бичигдсэн, хамгийн томоос нь эхэлж, хамгийн бага нь хүртэл дараалал үүсгэдэг. Хэрэв та хязгааргүй олон тооны ийм тод дүрсийг төсөөлж байвал үүссэн эгнээ нь гайхалтай урт байх болно. Энэ бол нэгтгэсэн тооны дараалал юм. Дараа нь үүрлэх хүүхэлдэй бүрийн хэмжээ нь сүйрлийн хэмжээгээр буурч, аажмаар юу ч биш болж хувирдаг тул энэ нь тэг болох хандлагатай байдаг. Тиймээс амархантайлбарлаж болно: хязгааргүй жижиг гэж юу вэ.
Ижил төстэй жишээ бол алс холд хүргэдэг зам байж болно. Ажиглагчаас холдож буй машины харааны хэмжээсүүд аажмаар багасч, цэгтэй төстэй хэлбэргүй толбо болж хувирдаг. Ийнхүү үл мэдэгдэх чиглэлд хөдөлж буй объект шиг машин нь хязгааргүй жижиг болж хувирдаг. Тодорхойлсон биеийн параметрүүд нь үгийн шууд утгаараа хэзээ ч тэг болохгүй, гэхдээ эцсийн хязгаарт энэ утгыг байнга чиглүүлдэг. Тиймээс энэ дараалал дахин тэг болж нийлдэг.
Бүх зүйлийг дусал дуслаар тооцоол
Одоо дэлхийн нөхцөл байдлыг төсөөлцгөөе. Эмч өвчтөнд эм уухыг зааж өгсөн бөгөөд өдөрт арван дуслаар эхэлж, дараагийн өдөр бүр хоёр дуслаар нэмнэ. Тиймээс эмч 190 дусал хэмжээтэй эмийн савны агууламж дуусах хүртэл үргэлжлүүлэхийг санал болгов. Өмнөхөөс үзэхэд эдгээрийн тоо нь өдөрт хуваарь ёсоор дараах тооны цуврал байх болно: 10, 12, 14 гэх мэт.
Бүтэн хичээлийг дуусгах хугацаа болон дарааллын гишүүдийн тоог хэрхэн мэдэх вэ? Энд мэдээжийн хэрэг, дуслыг энгийн байдлаар тоолж болно. Гэхдээ хэв маягийг харгалзан үзэхэд d=2 алхамтай арифметик прогрессийн нийлбэрийн томъёог ашиглах нь илүү хялбар байдаг. Мөн энэ аргыг ашиглан тооны цувааны гишүүдийн тоо 10 гэдгийг олж мэдээрэй. Энэ тохиолдолд., a10=28. Бэлэг эрхтний дугаар нь эм уусан өдрийн тоог, 28 нь өвчтөнд өгөх ёстой дуслын тоотой тохирч байна.сүүлчийн өдөр хэрэглэнэ. Энэ дараалал нэгдэж байна уу? Үгүй ээ, учир нь доороос 10, дээрээс 28 тоогоор хязгаарлагддаг ч өмнөх жишээнүүдээс ялгаатай нь ийм тооны цувралд хязгаарлалт байхгүй.
Ялгаа нь юу вэ?
Одоо тодруулахыг оролдъё: хэзээ тоон цуваа нийлэх дараалал болж хувирах вэ? Дээрхээс дүгнэж болох ийм төрлийн тодорхойлолт нь хязгаарлагдмал хязгаарын тухай ойлголттой шууд холбоотой бөгөөд түүний оршихуй нь асуудлын мөн чанарыг илтгэдэг. Тэгэхээр өмнө нь өгсөн жишээнүүдийн үндсэн ялгаа нь юу вэ? Мөн яагаад сүүлийнх нь 28 тоог X =10 + 2(n-1) тоонуудын хязгаар гэж үзэж болохгүй гэж?
Энэ асуултыг тодруулахын тулд n нь натурал тооны олонлогт хамаарах доорх томьёогоор өгөгдсөн өөр дарааллыг авч үзье.
Гишүүдийн энэ нийгэмлэг нь энгийн бутархайн багц бөгөөд хуваагч нь 1 бөгөөд хуваагч нь байнга нэмэгддэг: 1, ½ …
Түүгээр ч зогсохгүй энэ цувралын дараалсан төлөөлөгч бүр тоон шулуун дээрх байршлын хувьд 0-д ойртож байна. Энэ нь цэгүүд тэг орчим бөөгнөрөх үед ийм хөрш гарч ирдэг гэсэн үг бөгөөд энэ нь хязгаар юм. Тэд ойртох тусам тооны шулуун дээрх төвлөрөл нь нягт болно. Тэдний хоорондох зай нь гамшгийн хэмжээгээр багасч, хязгааргүй жижиг зай болж хувирдаг. Энэ нь дараалал нийлж байгаагийн шинж юм.
Ижил төстэйТиймээс, зурагт үзүүлсэн олон өнгийн тэгш өнцөгтүүд нь сансар огторгуйд холдох үед харагдахуйц илүү бөөгнөрөл болж, таамаглалын хязгаарт үл тоомсорлодог.
Хязгааргүй том дараалал
Нэгдэх дарааллын тодорхойлолтод дүн шинжилгээ хийсний дараа эсрэг жишээнүүд рүү шилжье. Тэдний олонх нь эрт дээр үеэс хүмүүст мэдэгдэж байсан. Дивергент дарааллын хамгийн энгийн хувилбарууд нь натурал ба тэгш тоонуудын цуваа юм. Тэдний гишүүд байнга нэмэгдэж, эерэг хязгааргүйд улам бүр ойртож байгаа тул тэдгээрийг өөрөөр хязгааргүй том гэж нэрлэдэг.
Тийм жишээ нь тэгээс их алхам ба хуваагчтай арифметик болон геометр прогрессийн аль нэг нь байж болно. Нэмж дурдахад, тоон цувааг дивергент дараалал гэж үздэг бөгөөд үүнд хязгаарлалт огт байдаггүй. Жишээлбэл, X =(-2) -1.
Фибоначчийн дараалал
Өмнө нь дурдсан тооны цувралын хүн төрөлхтөнд практик ач тустай нь маргаангүй юм. Гэхдээ өөр олон сайхан жишээ бий. Тэдний нэг нь Фибоначчийн дараалал юм. Нэгээс эхэлдэг гишүүн бүр нь өмнөх гишүүдийн нийлбэр юм. Үүний эхний хоёр төлөөлөгч нь 1 ба 1. Гурав дахь нь 1+1=2, дөрөв дэх нь 1+2=3, тав дахь нь 2+3=5. Цаашилбал, ижил логикийн дагуу 8, 13, 21 гэх мэт тоонууд гарч ирнэ.
Энэ цуваа тоо тодорхойгүй хугацаагаар өсөх ба байхгүйэцсийн хязгаар. Гэхдээ энэ нь бас нэг гайхалтай өмчтэй. Өмнөх тоо тус бүрийн дараагийн тоонуудын харьцаа 0.618 болж дөхөж байна. Эндээс та нийлсэн ба дивергент дарааллын ялгааг ойлгож болно, учир нь хэрэв та хэд хэдэн хүлээн авсан хэсэгчилсэн хуваалт хийвэл заасан тоон систем нь 0.618-тай тэнцүү хязгаартай байна.
Фибоначчийн харьцааны дараалал
Дээр дурдсан тооны цувралыг зах зээлийн техникийн шинжилгээнд практик зорилгоор өргөн ашигладаг. Гэхдээ энэ нь Египетчүүд болон Грекчүүдийн эрт дээр үед мэддэг байсан бөгөөд хэрэгжүүлж чаддаг байсан чадвараараа хязгаарлагдахгүй. Үүнийг тэдний барьсан пирамидууд болон Парфенон нотолж байна. Эцсийн эцэст, 0.618 тоо нь хуучин өдрүүдэд сайн мэддэг алтан хэсгийн тогтмол коэффициент юм. Энэ дүрмийн дагуу дурын сегментийг хувааж болох бөгөөд ингэснээр түүний хэсгүүдийн хоорондын харьцаа нь сегментүүдийн хамгийн том хэсэг ба нийт уртын харьцаатай давхцах болно.
Заасан хамаарлын цувралыг байгуулж, энэ дарааллыг шинжлэхийг оролдъё. Тооны цуваа дараах байдалтай байна: 1; 0.5; 0.67; 0.6; 0.625; 0.615; 0, 619 гэх мэт. Ингэж үргэлжлүүлбэл нийлэх дарааллын хязгаар нь үнэхээр 0.618 байх болно. Гэхдээ энэ зүй тогтлын бусад шинж чанарыг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Энд тоонууд өсөх, буурах дарааллаар огтхон ч биш санамсаргүй байдлаар явдаг бололтой. Энэ нь энэ нэгдэх дараалал нь нэг хэвийн биш гэсэн үг юм. Яагаад ийм болсныг цаашид хэлэлцэх болно.
Монотон байдал ба хязгаарлалт
Тоо нэмэгдэх тусам тооны цувралын гишүүд тодорхой буурч болно (хэрэв x1>x2>x3>…>x >…) эсвэл нэмэгдэх (х1<x21x63223<…<x <…). Энэ тохиолдолд дарааллыг хатуу монотон гэж нэрлэдэг. Тоон цуваа буурахгүй, өсөхгүй байх бусад хэв маягийг ажиглаж болно (x1≧x2≧x 3≧ …≧x ≧… эсвэл x1≦x2≦x 3 ≦…≦x ≦…), дараалсан нийлсэн нэг нь бас нэг хэвийн, зөвхөн хатуу утгаараа биш. Эдгээр сонголтуудын эхнийх нь сайн жишээ бол дараах томъёогоор өгөгдсөн тооны цуваа юм.
Энэ цувралын дугаарыг зурсны дараа 1-д дөхөж байгаа гишүүдийн аль нь ч энэ утгыг хэзээ ч давахгүй гэдгийг харж болно. Энэ тохиолдолд нэгдэх дарааллыг хязгаарлагдмал гэж нэрлэдэг. Энэ нь цуврал модулийн аль нэг нөхцлөөс үргэлж их байх эерэг тоо M байх үед тохиолддог. Хэрэв тоон цуваа нь нэгэн хэвийн байдлын шинж тэмдэгтэй бөгөөд хязгаартай тул нийлдэг бол энэ нь заавал ийм шинж чанартай байх ёстой. Мөн эсрэгээр нь үнэн байх албагүй. Үүнийг нэгдэх дарааллын хязгаарлагдмал байдлын теорем нотолж байна.
Иймэрхүү ажиглалтыг практикт хэрэглэх нь маш ашигтай. X =дарааллын шинж чанарыг судалж тодорхой жишээ өгье.n/n+1, мөн түүний нийлэлтийг батал. (x +1 – x) эерэг тоо тул энэ нь монотон гэдгийг харуулахад амархан. дурын n утгын хувьд. Дарааллын хязгаар нь 1-ийн тоотой тэнцүү бөгөөд энэ нь Вейерштрассын теорем гэж нэрлэгддэг дээрх теоремын бүх нөхцөл хангагдсан гэсэн үг юм. Нэгдэх дарааллын хязгаарлагдмал байдлын тухай теоремд хэрэв энэ нь хязгаартай бол ямар ч тохиолдолд энэ нь хязгаарлагдмал болж хувирна гэж заасан байдаг. Гэсэн хэдий ч дараах жишээг авч үзье. X =(-1) нь доороос -1-ээр, дээрээс 1-ээр хязгаарлагдана. Гэхдээ энэ дараалал нь нэг хэвийн биш, ямар ч байхгүй. хязгаарлах тул нийлэхгүй. Өөрөөр хэлбэл, хязгаар байх ба нэгдэх нь хязгаарлалтаас үргэлж гардаггүй. Үүнийг ажиллуулахын тулд Фибоначчийн харьцааны нэгэн адил доод ба дээд хязгаар таарч байх ёстой.
Орчлон ертөнцийн тоо ба хууль
Нэгдсэн болон дивергент дарааллын хамгийн энгийн хувилбарууд нь X =n ба X =1/n гэсэн тоон цуваа байж магадгүй. Тэдний эхнийх нь байгалийн цуврал тоо юм. Энэ нь аль хэдийн дурьдсанчлан хязгааргүй том юм. Хоёрдахь нэгдэх дараалал нь хязгаарлагдмал бөгөөд түүний гишүүдийн хэмжээ хязгааргүй багатай ойролцоо байна. Эдгээр томьёо бүр нь олон талт орчлон ертөнцийн аль нэг талыг илэрхийлж, тоо, тэмдгийн хэлээр хязгаарлагдмал ойлголтод хүрэх боломжгүй, үл мэдэгдэх зүйлийг хүнд төсөөлж, тооцоолоход тусалдаг.
Өчүүхэнээс эхлээд гайхалтай том хүртэлх орчлон ертөнцийн хуулиуд мөн 0.618 гэсэн алтан харьцааг илэрхийлдэг. ЭрдэмтэдЭнэ нь юмсын мөн чанарын үндэс суурь бөгөөд байгалиасаа эд ангиудыг нь бүрдүүлэхэд ашигладаг гэж тэд үздэг. Бидний өмнө дурьдсан Фибоначчийн цувралын дараагийн болон өмнөх гишүүдийн хоорондын харилцаа нь энэхүү өвөрмөц цувралын гайхалтай шинж чанарыг харуулж чадахгүй байна. Хэрэв бид өмнөх гишүүнийг дараагийн гишүүнд хуваах коэффициентийг авч үзвэл 0.5 цувралыг авна; 0.33; 0.4; 0.375; 0.384; 0.380; 0, 382 гэх мэт. Энэ хязгаарлагдмал дараалал нэгдэж байгаа нь сонирхолтой юм, энэ нь нэг хэвийн биш, харин тодорхой гишүүний хэтийн тоонуудын харьцаа үргэлж ойролцоогоор 0.382-той тэнцүү байдаг бөгөөд үүнийг архитектур, техникийн шинжилгээ болон бусад салбарт ашиглаж болно.
Фибоначчийн цувралын бусад сонирхолтой коэффициентүүд байдаг бөгөөд тэдгээр нь бүгд байгальд онцгой үүрэг гүйцэтгэдэг бөгөөд хүн үүнийг практик зорилгоор ашигладаг. Математикчид Орчлон ертөнц нь заасан коэффициентээс үүссэн тодорхой "алтан спираль" дагуу хөгждөг гэдэгт итгэлтэй байна. Тэдгээрийн тусламжтайгаар дэлхий болон сансар огторгуйд тохиолдож буй зарим нянгийн тооны өсөлтөөс эхлээд алс холын сүүлт оддын хөдөлгөөн хүртэлх олон үзэгдлийг тооцоолох боломжтой. ДНХ код нь ижил төстэй хуулиудад захирагддаг нь тодорхой болсон.
Геометр прогрессийн бууралт
Нэгдэх дарааллын хязгаарын өвөрмөц байдлыг баталдаг теорем байдаг. Энэ нь хоёр ба түүнээс дээш хязгаартай байж болохгүй гэсэн үг бөгөөд энэ нь түүний математик шинж чанарыг олоход чухал ач холбогдолтой юм.
Заримыг харцгааятохиолдлууд. Тэг алхамтай тохиолдлоос бусад тохиолдолд арифметик прогрессийн гишүүдээс бүрдэх аливаа тоон цуваа нь ялгаатай байна. Энэ нь хуваарь нь 1-ээс их геометр прогрессод хамаарна. Ийм тоон цувааны хязгаар нь хязгааргүй байдлын "нэмэх" эсвэл "хасах" юм. Хэрэв хуваагч нь -1-ээс бага бол хязгаарлалт огт байхгүй. Бусад сонголтууд боломжтой.
Х =(1/4) -1 томьёогоор өгөгдсөн тооны цувааг авч үзье.. Өнгөц харахад энэ нэгдэх дараалал нь хатуу буурч байгаа бөгөөд сөрөг утгыг авах ямар ч боломжгүй учраас хязгаарлагдмал гэдгийг хялбархан харж болно.
Гишүүдийнх нь тоог дараалан бичье.
Энэ нь: 1; 0.25; 0.0625; 0.015625; 0, 00390625 гэх мэт. Энэ геометрийн прогресс 0<q<1 хуваагчаас хэр хурдан буурч байгааг ойлгоход маш энгийн тооцоолол хангалттай. Нэр томьёоны хуваагч нь тодорхойгүй хэмжээгээр өсөх боловч өөрөө хязгааргүй жижиг болдог. Энэ нь тооны цувааны хязгаар 0 гэсэн үг. Энэ жишээ нь нийлэх дарааллын хязгаарлагдмал шинж чанарыг дахин харуулж байна.
Үндсэн дараалал
Францын эрдэмтэн Августин Луи Коши математик анализтай холбоотой олон бүтээлийг дэлхийд дэлгэсэн. Тэрээр дифференциал, интеграл, хязгаар, тасралтгүй байдал гэх мэт ойлголтуудын тодорхойлолтыг өгсөн. Тэрээр мөн нэгдэх дарааллын үндсэн шинж чанарыг судалжээ. Түүний санаа бодлын мөн чанарыг ойлгохын тулдзарим чухал мэдээллийг нэгтгэн дүгнэх шаардлагатай.
Өгүүллийн эхэнд бодит шугам дээрх тодорхой цувралын гишүүдийг төлөөлсөн цэгүүд бөөгнөрөн, улам бүр дараалалд орж эхэлдэг хөршүүд байдаг гэдгийг харуулсан. нягт. Үүний зэрэгцээ дараагийн төлөөлөгчийн тоо нэмэгдэх тусам тэдгээрийн хоорондох зай багасч, хязгааргүй жижиг болж хувирдаг. Тиймээс тухайн хороололд өгөгдсөн цувралын хязгааргүй тооны төлөөлөгч бүлэглэгддэг бол гадна талд нь хязгаарлагдмал тооны төлөөлөгчид байдаг. Ийм дарааллыг үндсэн гэж нэрлэдэг.
Францын математикчийн зохиосон алдарт Кошигийн шалгуур нь ийм шинж чанар байгаа нь дараалал нийлдэг гэдгийг батлахад хангалттай гэдгийг тодорхой харуулж байна. Урвуу нь бас үнэн.
Францын математикчийн энэхүү дүгнэлт нь гол төлөв цэвэр онолын сонирхолтой байдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Практикт үүнийг ашиглах нь нэлээд төвөгтэй асуудал гэж тооцогддог тул цувралуудын нийлэлтийг тодруулахын тулд дарааллын хязгаарлагдмал хязгаар байгаа эсэхийг нотлох нь илүү чухал юм. Үгүй бол энэ нь ялгаатай гэж тооцогддог.
Бодлого шийдвэрлэхдээ нийлэх дарааллын үндсэн шинж чанаруудыг бас анхаарч үзэх хэрэгтэй. Тэдгээрийг доор харуулав.
Хязгааргүй нийлбэр
Архимед, Евклид, Евдокс зэрэг эртний алдартай эрдэмтэд муруйн урт, биеийн эзэлхүүнийг тооцоолохдоо хязгааргүй тооны цувралын нийлбэрийг ашигласан.болон дүрсийн талбарууд. Ялангуяа ийм аргаар параболик сегментийн талбайг олж мэдэх боломжтой болсон. Үүний тулд q=1/4-тэй геометр прогрессийн тоон цувааны нийлбэрийг ашигласан. Бусад дурын тоонуудын хэмжээ, талбайг ижил төстэй байдлаар олсон. Энэ сонголтыг "ядрах" арга гэж нэрлэдэг байв. Энэхүү санаа нь нарийн төвөгтэй хэлбэртэй судлагдсан биеийг хялбархан хэмждэг параметрүүдтэй хэсгүүдэд хуваасан гэсэн санаа байв. Ийм учраас тэдгээрийн талбай, эзлэхүүнийг тооцоолоход хэцүү биш байсан бөгөөд дараа нь нэмсэн.
Дашрамд хэлэхэд ижил төстэй даалгаврууд нь орчин үеийн сургуулийн хүүхдүүдэд маш сайн танил бөгөөд USE даалгавруудаас олддог. Алс холын өвөг дээдсийн олж мэдсэн өвөрмөц арга бол хамгийн энгийн шийдэл юм. Тоон дүрс хуваагдсан хоёроос гурван хэсэг байсан ч тэдгээрийн талбайн нэмэгдэл нь тооны цувралын нийлбэр хэвээр байна.
Эртний Грекийн эрдэмтэн Лейбниц, Ньютон нараас хамаагүй хожуу мэргэн өвөг дээдсийнхээ туршлага дээр үндэслэн интеграл тооцооны зүй тогтолд суралцсан. Дарааллын шинж чанаруудын талаархи мэдлэг нь дифференциал болон алгебрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд тусалсан. Одоогийн байдлаар олон үеийн авъяаслаг эрдэмтдийн хүчин чармайлтаар бий болсон цувралын онол нь асар олон тооны математик болон практик асуудлыг шийдвэрлэх боломжийг олгож байна. Мөн тоон дарааллыг судлах нь анх үүссэн цагаасаа математик анализаар шийдсэн гол асуудал байсаар ирсэн.
