Сансар огторгуйд хавтгайг янз бүрийн аргаар (нэг цэг ба вектор, хоёр цэг ба вектор, гурван цэг гэх мэт) тодорхойлж болно. Үүнийг харгалзан онгоцны тэгшитгэл өөр өөр хэлбэртэй байж болно. Түүнчлэн, тодорхой нөхцөлд онгоцууд параллель, перпендикуляр, огтлолцох гэх мэт байж болно. Бид энэ нийтлэлд энэ талаар ярих болно. Бид зөвхөн биш харин онгоцны ерөнхий тэгшитгэлийг хэрхэн бичих талаар сурах болно.
Хэвийн тэгшитгэл
Тэгш өнцөгт XYZ координатын системтэй R3 орон зай байна гэж бодъё. Анхны O цэгээс гарах α векторыг тогтооцгооё. α векторын төгсгөлд түүнд перпендикуляр байх П хавтгайг зурна.
Дурын цэгийг P-ээр тэмдэглэнэ Q=(x, y, z). Бид Q цэгийн радиус векторыг p үсгээр тэмдэглэнэ. Энэ тохиолдолд α векторын урт нь p=IαI ба Ʋ=(cosα, cosβ, cosγ).
байна.
Энэ бол хажуу тийш чиглэсэн нэгж вектор юмвектор α. α, β, γ нь Ʋ вектор ба орон зайн x, y, z тэнхлэгүүдийн эерэг чиглэлүүдийн хооронд үүсэх өнцөг юм. Зарим QϵП цэгийн Ʋ вектор дээрх проекц нь р-тэй тэнцүү тогтмол утга юм: (р, Ʋ)=р(р≧0).
Дээрх тэгшитгэл нь p=0 үед утга учиртай болно. Цорын ганц зүйл бол энэ тохиолдолд P хавтгай нь эхлэл болох O цэгийг (α=0) огтолж, О цэгээс суллагдсан нэгж вектор Ʋ нь чиглэлээс үл хамааран P-тэй перпендикуляр байх болно. Энэ нь Ʋ вектор нь тэмдэгтийн нарийвчлалаас тодорхойлогддог гэсэн үг юм. Өмнөх тэгшитгэл нь вектор хэлбэрээр илэрхийлэгдсэн манай P хавтгайн тэгшитгэл юм. Гэхдээ координатууд нь иймэрхүү харагдах болно:
Р энд 0-ээс их буюу тэнцүү байна. Бид орон зай дахь хавтгайн тэгшитгэлийг хэвийн хэлбэрээр олсон.
Ерөнхий тэгшитгэл
Хэрэв координат дахь тэгшитгэлийг 0-тэй тэнцүү биш дурын тоогоор үржүүлбэл өгөгдсөнтэй тэнцэх тэгшитгэл гарч ирэх бөгөөд энэ нь ижил хавтгайг тодорхойлдог. Энэ нь иймэрхүү харагдах болно:
Энд A, B, C нь тэгээс ялгаатай тоонууд юм. Энэ тэгшитгэлийг ерөнхий хавтгай тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.
Хавтгайн тэгшитгэл. Онцгой тохиолдол
Нэмэлт нөхцөл байгаа тохиолдолд тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр өөрчилж болно. Тэдгээрийн заримыг нь харцгаая.
А коэффициентийг 0-тэй тэнцүү гэж үзье. Энэ нь өгөгдсөн хавтгай нь өгөгдсөн Ox тэнхлэгтэй параллель байна гэсэн үг. Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн хэлбэр өөрчлөгдөнө: Ву+Cz+D=0.
Үүний нэгэн адил тэгшитгэлийн хэлбэр дараах нөхцөлд өөрчлөгдөнө:
- Нэгдүгээрт, хэрэв B=0 бол тэгшитгэл Ax+Cz+D=0 болж өөрчлөгдөх бөгөөд энэ нь Oy тэнхлэгтэй параллель байгааг илтгэнэ.
- Хоёрдугаарт, хэрэв С=0 бол тэгшитгэл Ах+Ву+D=0 болж хувирах бөгөөд энэ нь өгөгдсөн Oz тэнхлэгтэй параллель байгааг илтгэнэ.
- Гуравдугаарт, хэрэв D=0 бол тэгшитгэл нь Ax+By+Cz=0 шиг харагдах бөгөөд энэ нь хавтгай нь O (эх цэг) огтлолцоно гэсэн үг юм.
- Дөрөвдүгээрт, хэрэв A=B=0 бол тэгшитгэл нь Cz+D=0 болж өөрчлөгдөх бөгөөд энэ нь Окситой параллель байх болно.
- Тавдугаарт, хэрэв B=C=0 бол тэгшитгэл нь Ax+D=0 болж, Ойз хүрэх онгоц параллель байна.
- Зургаадугаарт, хэрэв A=C=0 бол тэгшитгэл нь Ву+D=0 хэлбэрийг авна, өөрөөр хэлбэл Oxz-д параллель байдлыг мэдээлнэ.
Тэгшитгэлийг сегмент дэх харах
A, B, C, D тоонууд тэг биш тохиолдолд (0) тэгшитгэлийн хэлбэр дараах байдалтай байж болно:
x/a + y/b + z/c=1, энд a=-D/A, b=-D/B, c=-D/C.
Үүний үр дүнд бид сегмент дэх хавтгайн тэгшитгэлийг олж авна. Энэ хавтгай нь (a, 0, 0), Oy - (0, b, 0), Oz - (0, 0, c) координаттай цэг дээр Ox тэнхлэгийг огтолно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.
x/a + y/b + z/c=1 тэгшитгэлийг харгалзан өгөгдсөн координатын системтэй харьцуулахад хавтгайн байршлыг төсөөлөхөд хялбар байдаг.
Хэвийн векторын координат
Р хавтгайн хэвийн вектор n нь энэ хавтгайн ерөнхий тэгшитгэлийн коэффициент болох n координаттай байна.(A, B, C).
Хэвийн n-ийн координатыг тодорхойлохын тулд өгөгдсөн хавтгайн ерөнхий тэгшитгэлийг мэдэхэд хангалттай.
Х/a + y/b + z/c=1 хэлбэртэй тэгшитгэлийг сегментүүдэд ашиглах, мөн ерөнхий тэгшитгэлийг ашиглах үед та а-ын дурын хэвийн векторын координатыг бичиж болно. өгөгдсөн хавтгай: (1/a + 1 /b + 1/c).
Хэвийн вектор нь янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд тусалдаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Хамгийн түгээмэл нь хавтгайнуудын перпендикуляр эсвэл параллель байдлыг нотлох, хавтгай хоорондын өнцөг эсвэл хавтгай ба шулуунуудын хоорондох өнцгийг олоход хамаарах асуудлууд юм.
Цэгийн координат ба хэвийн векторын дагуу хавтгай тэгшитгэлийн харагдах байдал
Өгөгдсөн хавтгайд перпендикуляр байх тэгээс ялгаатай n векторыг өгөгдсөн хавтгайн хувьд хэвийн (хэвийн) гэж нэрлэдэг.
Координатын орон зайд (тэгш өнцөгт координатын систем) Oxyz өгөгдсөн гэж үзье:
- координаттай Mₒ цэг (xₒ, yₒ, zₒ);
- тэг вектор n=Ai+Bj+Ck.
Хэвийн n цэгт перпендикуляр Mₒ цэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайд тэгшитгэл хийх хэрэгтэй.
Сансар огторгуйд дурын дурын цэгийг сонгоод M (x y, z) гэж тэмдэглэнэ. Аливаа M (x, y, z) цэгийн радиус векторыг r=xi+yj+zk, Mₒ (xₒ, yₒ, zₒ) цэгийн радиус векторыг rₒ=xₒ гэж үзье. i+yₒ j+zₒk. MₒM вектор n векторт перпендикуляр байвал M цэг нь өгөгдсөн хавтгайд хамаарах болно. Бид скаляр үржвэрийг ашиглан ортогональ байдлын нөхцлийг бичнэ:
[MₒM, n]=0.
MₒM=r–rₒ тул онгоцны вектор тэгшитгэл дараах байдалтай байна:
[r – rₒ, n]=0.
Энэ тэгшитгэл өөр хэлбэртэй байж болно. Үүнийг хийхийн тулд скаляр бүтээгдэхүүний шинж чанарыг ашиглаж, тэгшитгэлийн зүүн талыг хувиргана. [r - rₒ, n]=[r, n] - [rₒ, n]. Хэрэв [rₒ, n]-ийг c гэж тэмдэглэвэл дараах тэгшитгэлийг олж авна: [r, n] - c \u003d 0 эсвэл [r, n] u003d c, энэ нь ердийн вектор руу проекцын тогтмол байдлыг илэрхийлдэг. хавтгайд хамаарах өгөгдсөн цэгүүдийн радиус векторууд.
Одоо бид хавтгайн [r – rₒ, n]=0 вектор тэгшитгэлийн координатын хэлбэрийг авч болно. r–rₒ=(x–xₒ)i + (y–yₒ)j + (z–zₒ)k, мөн n=Ai+Bj+Ck, бидэнд байна:
Хэвийн n-тэй перпендикуляр цэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэл бидэнд байгаа нь харагдаж байна:
A(x- xₒ)+B(y-yₒ)C(z-zₒ)=0.
Хоёр цэгийн координатын дагуу хавтгай тэгшитгэлийг харах ба хавтгайтай конлинеар вектор
М' (x', y', z') ба M″ (x″, y″, z″) гэсэн дурын хоёр цэг, мөн a (a', a″, a) векторыг тогтооцгооё. ‴).
Одоо бид боломжит M' ба M″ цэгүүдээр дамжин өнгөрөх өгөгдсөн хавтгай, түүнчлэн өгөгдсөн а вектортой параллель (x, y, z) координаттай дурын М цэгийн тэгшитгэлийг томъёолж болно.
M'M={x-x';y-y';z-z'} ба M″M={x″-x';y″-y';z″-z ' векторууд } нь a=(a', a″, a‴) вектортой давхцах ёстой бөгөөд энэ нь (M'M, M″M, a)=0 гэсэн үг.
Тиймээс бидний огторгуй дахь хавтгайн тэгшитгэл иймэрхүү харагдах болно:
Гурван цэгийг огтолж буй хавтгайн тэгшитгэлийн зураг
Бидэнд хамаарахгүй гурван цэг байна гэж бодъё: (x', y', z'), (x″, y″, z″), (x‴, y‴, z‴). ижил шулуун. Өгөгдсөн гурван цэгийг дайран өнгөрөх онгоцны тэгшитгэлийг бичих шаардлагатай. Геометрийн онол нь ийм төрлийн хавтгай үнэхээр байдаг, зөвхөн цорын ганц бөгөөд давтагдашгүй гэж үздэг. Энэ хавтгай нь (x', y', z') цэгийг огтолж байгаа тул тэгшитгэлийн хэлбэр нь дараах байдалтай байна:
Энд A, B, C нь тэгээс нэгэн зэрэг ялгаатай байна. Мөн өгөгдсөн хавтгай нь (x″, y″, z″) ба (x‴, y‴, z‴) гэсэн хоёр цэгийг огтолж байна. Үүнтэй холбогдуулан дараах нөхцлийг хангасан байх ёстой:
Одоо бид үл мэдэгдэх u, v, w:
бүхий нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системийг (шугаман) үүсгэж болно.
Манай тохиолдолд x, y эсвэл z нь (1) тэгшитгэлийг хангадаг дурын цэг юм. (1) тэгшитгэл ба (2) ба (3) тэгшитгэлийн системийг авч үзвэл дээрх зурагт заасан тэгшитгэлийн систем нь ач холбогдолгүй N (A, B, C) векторыг хангаж байна. Ийм учраас энэ системийн тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байна.
Бидний олж авсан тэгшитгэл (1), энэ бол онгоцны тэгшитгэл юм. Энэ нь яг 3 цэгээр дамждаг бөгөөд үүнийг шалгахад хялбар байдаг. Үүний тулд танд хэрэгтэйБидний тодорхойлогчийг эхний эгнээний элементүүд дээр өргөжүүл. Тодорхойлогчийн одоо байгаа шинж чанаруудаас харахад манай онгоц анх өгөгдсөн гурван цэгийг (x', y', z'), (x″, y″, z″), (x‴, y‴, z‴) нэгэн зэрэг огтолж байна.. Энэ нь бидний өмнө тавьсан даалгавраа шийдсэн гэсэн үг.
Онгоц хоорондын хоёр өнцөгт өнцөг
Хоёр өнцөгт өнцөг нь нэг шулуун шугамаас гарах хоёр хагас хавтгайгаас үүссэн орон зайн геометрийн дүрс юм. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь эдгээр хагас хавтгайгаар хязгаарлагдах орон зайн хэсэг юм.
Бидэнд дараах тэгшитгэлтэй хоёр онгоц байна гэж бодъё:
Өгөгдсөн хавтгайн дагуу N=(A, B, C) ба N¹=(A¹, B¹, C¹) векторууд перпендикуляр байдгийг бид мэднэ. Үүнтэй холбогдуулан N ба N¹ векторуудын хоорондох φ өнцөг нь эдгээр хавтгайн хоорондох өнцөгтэй (хоёр талт) тэнцүү байна. Скаляр бүтээгдэхүүн нь дараах хэлбэртэй байна:
NN¹=|N||N¹|cos φ, учир нь
cosφ=NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/(√(A²+B²+C²))(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²))
0≦φ≦π гэдгийг тооцоход хангалттай.
Үнэндээ огтлолцсон хоёр хавтгай нь хоёр өнцөгт өнцөг үүсгэдэг: φ1 ба φ2. Тэдний нийлбэр нь π-тэй тэнцүү байна (φ1+ φ2=π). Тэдний косинусын хувьд үнэмлэхүй утгууд нь тэнцүү боловч шинж тэмдгээр ялгаатай, өөрөөр хэлбэл cosφ1=-cos φ2. Хэрэв (0) тэгшитгэлд A, B, C тоог -A, -B, -C тоогоор сольсон бол бидний олж авсан тэгшитгэл нь ижил хавтгай, тэгшитгэлийн цорын ганц өнцөг φ cos φ=NN болно.1/|N||N1| π-φ-ээр солигдоно.
Перпендикуляр хавтгайн тэгшитгэл
Перпендикулярыг 90 градусын өнцөгтэй хавтгай гэж нэрлэдэг. Дээр дурдсан материалыг ашиглан бид нөгөө хавтгайд перпендикуляр хавтгайн тэгшитгэлийг олж болно. Ax+By+Cz+D=0 ба A¹x+B¹y+C¹z+D=0 гэсэн хоёр хавтгай байна гэж бодъё. Хэрэв cosφ=0 байвал тэдгээр нь перпендикуляр байх болно гэж бид хэлж болно. Энэ нь NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0 гэсэн үг.
Зэрэгцээ хавтгайн тэгшитгэл
Зэрэгцээ гэдэг нь нийтлэг цэг агуулаагүй хоёр хавтгай юм.
Хавтгайнуудын параллелизмын нөхцөл (тэдгээрийн тэгшитгэл нь өмнөх догол мөртэй ижил) тэдгээрт перпендикуляр N ба N¹ векторууд коллинеар байна. Энэ нь дараах пропорциональ нөхцөл хангагдсан гэсэн үг:
A/A¹=B/B¹=C/C¹.
Хэрэв пропорциональ байдлын нөхцөлийг сунгавал - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹, энэ нь эдгээр онгоцууд адилхан болохыг харуулж байна. Энэ нь Ax+By+Cz+D=0 ба A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 тэгшитгэлүүд нэг хавтгайг дүрсэлсэн гэсэн үг.
Нэг цэгээс онгоц хүртэлх зай
Бидэнд (0) тэгшитгэлээр өгөгдсөн P хавтгай байна гэж бодъё. Бид цэгээс түүнд хүрэх зайг олох хэрэгтэйкоординаттай (xₒ, yₒ, zₒ)=Qₒ. Үүнийг хийхийн тулд та P хавтгайн тэгшитгэлийг хэвийн хэлбэрт оруулах хэрэгтэй:
(ρ, v)=p (p≧0).
Энэ тохиолдолд ρ (x, y, z) нь P дээр байрлах Q цэгийн радиус вектор, p нь тэг цэгээс гарсан перпендикуляр P-ийн урт, v нь a.
руу чиглэсэн нэгж вектор
П-д хамаарах Q=(x, y, z) зарим цэгийн радиус векторын ρ-ρº ялгаа, түүнчлэн өгөгдсөн цэгийн радиус вектор Q0=(xₒ, yₒ, zₒ) ийм вектор бөгөөд v дээрх проекцын абсолют утга нь Q0=(-аас олох ёстой d зайтай тэнцүү байна. xₒ, yₒ, zₒ) хүртэл P:
D=|(ρ-ρ0, v)|, гэхдээ
(ρ-ρ0, v)=(ρ, v)–(ρ0, v)=р–(ρ0, v).
Тэгэхээр энэ нь болж байна, d=|(ρ0, v)-p|.
Одоо Q0-аас P хавтгай хүртэлх d зайг тооцоолохын тулд хавтгайн тэгшитгэлийн хэвийн хэлбэрийг ашиглах хэрэгтэй болох нь тодорхой боллоо. p-г зүүн тал руу шилжүүлж, x, y, z-ийн оронд сүүлчийнх рүү шилжүүлнэ (xₒ, yₒ, zₒ).
Тиймээс бид үүссэн илэрхийллийн үнэмлэхүй утгыг, өөрөөр хэлбэл хүссэн d-ийг олох болно.
Параметрийн хэлийг ашигласнаар бид ойлгомжтой болно:
d=|Axₒ+Byₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).
Хэрэв өгөгдсөн Q0 цэг нь P хавтгайн нөгөө талд, мөн эх цэг дээр байгаа бол ρ-ρ0 векторын хооронд ба v нь мохоо өнцөг тул:
d=-(ρ-ρ0, v)=(ρ0, v)-p>0.
Q0 цэг нь эхийн хамт P-ийн нэг талд байрласан тохиолдолд үүссэн өнцөг нь хурц байна, өөрөөр хэлбэл:
d=(ρ-ρ0, v)=р - (ρ0, v)>0.
Үр дүнд нь эхний тохиолдолд (ρ0, v)>r, хоёр дахь тохиолдолд (ρ0, v)<r.
Тагенс хавтгай ба түүний тэгшитгэл
Мº шүргэлтийн цэг дээрх гадаргууд хүрэх шүргэгч хавтгай нь гадаргуу дээрх энэ цэгээр татсан муруйн бүх боломжит шүргэгчийг агуулсан хавтгай юм.
F(x, y, z)=0 гадаргуугийн тэгшитгэлийн энэ хэлбэрийн үед Mº(xº, yº, zº) шүргэгч цэг дээрх шүргэгч хавтгайн тэгшитгэл дараах байдалтай байна:
Fx(xº, yº, zº)(x- xº)+ Fx(xº, yº, zº)(y- yº) + Fх(хº, yº, zº)(z-zº)=0.
Хэрэв та гадаргууг z=f (x, y) гэж тодорхой зааж өгвөл шүргэгч хавтгайг тэгшитгэлээр тодорхойлно:
z-zº=f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).
Хоёр онгоцны огтлолцол
Гурван хэмжээст орон зайд координатын систем (тэгш өнцөгт) Oxyz байрладаг, огтлолцдог, давхцдаггүй P' ба P″ хоёр хавтгай өгөгдсөн. Тэгш өнцөгт координатын системд байрлах аливаа хавтгай нь ерөнхий тэгшитгэлээр тодорхойлогддог тул P' ба P″ нь A'x+B'y+C'z+D'=0 ба A″x тэгшитгэлээр өгөгдсөн гэж үзнэ. +B″y+ С″z+D″=0. Энэ тохиолдолд бид P' хавтгайн хэвийн n '(A', B', C') ба P ″ хавтгайн хэвийн n ″ (A ″, B ″, C ″) байна. Манай онгоцууд зэрэгцээ биш, давхцдаггүй тул эдгээрвекторууд нь коллинеар биш юм. Математикийн хэлээр бид энэ нөхцлийг дараах байдлаар бичиж болно: n'≠ n″ ↔ (A', B', C') ≠ (λA″, λB″, λC″), λϵR. P' ба P″-ийн огтлолцол дээр байрлах шугамыг a үсгээр тэмдэглэе, энэ тохиолдолд a=P' ∩ P″.
a нь П' ба П″ хавтгайн (нийтлэг) бүх цэгүүдийн багцаас бүрдэх шулуун шугам юм. Энэ нь a шулуунд хамаарах дурын цэгийн координатууд A'x+B'y+C'z+D'=0 ба A″x+B″y+C″z+D″=тэгшитгэлүүдийг нэгэн зэрэг хангах ёстой гэсэн үг юм. 0. Энэ нь цэгийн координатууд нь дараах тэгшитгэлийн системийн тодорхой шийдэл болно гэсэн үг юм:
Үүний үр дүнд энэ тэгшитгэлийн системийн (ерөнхий) шийдэл нь шулуун шугамын цэг бүрийн координатыг тодорхойлох бөгөөд энэ нь P' ба P'-ийн огтлолцлын цэг болж ажиллах болно., мөн орон зай дахь Oxyz (тэгш өнцөгт) координатын систем дэх шулуун a шулууныг тодорхойлно.
