Хавтгай тэгшитгэл. Хоёр онгоцны хоорондох өнцөг

2024 Зохиолч: Angel Austin | [email protected]. Хамгийн сүүлд өөрчлөгдсөн: 2024-01-02 17:52

Цэг ба шулуун шугамын хамт хавтгай нь үндсэн геометрийн элемент юм. Үүнийг ашигласнаар орон зайн геометрийн олон тооны дүрсийг бүтээдэг. Энэ нийтлэлд бид хоёр хавтгайн хоорондох өнцгийг хэрхэн олох тухай асуултыг илүү дэлгэрэнгүй авч үзэх болно.

Үзэл баримтлал

Хоёр хавтгайн хоорондох өнцгийн тухай ярихаасаа өмнө геометрийн ямар элементийн тухай ярьж байгааг сайн ойлгох хэрэгтэй. Нэр томьёог ойлгоцгооё. Онгоц бол огторгуй дахь төгсгөлгүй цэгүүдийн цуглуулга бөгөөд тэдгээрийг холбосноор бид векторуудыг авдаг. Сүүлийнх нь зарим нэг векторт перпендикуляр байх болно. Үүнийг ихэвчлэн онгоцны хэвийн гэж нэрлэдэг.

Дээрх зурагт хавтгай ба хоёр хэвийн векторыг харуулж байна. Хоёр вектор нэг шулуун дээр хэвтэж байгааг харж болно. Тэдний хоорондох өнцөг нь 180o.

Тэгшитгэл

Хэрэв авч үзэх геометрийн элементийн математик тэгшитгэл нь мэдэгдэж байгаа бол хоёр хавтгайн хоорондох өнцгийг тодорхойлж болно. Ийм тэгшитгэлийн хэд хэдэн төрөл байдаг. Доор жагсаасан нэрс:

• ерөнхий төрөл;
• вектор;
• сегментүүдэд.

Эдгээр гурван төрөл нь янз бүрийн төрлийн асуудлыг шийдвэрлэхэд хамгийн тохиромжтой байдаг тул тэдгээрийг ихэвчлэн ашигладаг.

Ерөнхий төрлийн тэгшитгэл дараах байдалтай байна:

Ax + By + Cz + D=0.

Энд x, y, z нь өгөгдсөн хавтгайд хамаарах дурын цэгийн координатууд юм. A, B, C, D параметрүүд нь тоонууд юм. Энэ тэмдэглэгээний тохиромжтой тал нь A, B, C тоонууд нь хавтгайд хэвийн векторын координатууд байдагт оршдог.

Онгоцны вектор хэлбэрийг дараах байдлаар илэрхийлж болно:

x, y, z)=(x₀, y₀, z₀) + α(a₁, b₁, c₁) + β(a ₂, b₂, c_2).

Энд (a₂, b₂, c₂) болон (a ₁, b₁, c₁) - авч үзэж буй хавтгайд хамаарах хоёр координатын векторын параметрүүд. Цэг (x₀, y₀, z_{0) мөн энэ хавтгайд оршдог. α болон β параметрүүд нь бие даасан болон дурын утгыг авч болно.}

Эцэст нь сегмент дэх хавтгайн тэгшитгэлийг дараах математик хэлбэрээр илэрхийлнэ:

x/p + y/q + z/l=1.

Энд p, q, l нь тодорхой тоонууд (сөрөг тоонуудыг оруулаад). p, q, l тоонууд нь x, y, z тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийг харуулсан тул тэгш өнцөгт координатын системд хавтгайг дүрслэх шаардлагатай үед ийм төрлийн тэгшитгэл хэрэгтэй болно.онгоц.

Тэгшитгэлийн төрөл бүрийг энгийн математик үйлдлүүдийг ашиглан өөр дурын хэлбэрт хөрвүүлж болохыг анхаарна уу.

Хоёр хавтгай хоорондын өнцгийн томьёо

Одоо дараах нюансуудыг анхаарч үзээрэй. Гурван хэмжээст орон зайд хоёр онгоцыг зөвхөн хоёр аргаар байрлуулж болно. Нэг бол огтлолцох эсвэл зэрэгцээ байх. Хоёр хавтгайн хоорондох өнцөг нь тэдгээрийн чиглүүлэгч векторуудын хооронд байрладаг (хэвийн). Огтлолцсон 2 вектор нь 2 өнцөг үүсгэдэг (ерөнхий тохиолдолд хурц ба мохоо). Онгоцны хоорондох өнцгийг хурц гэж үзнэ. Тэгшитгэлийг авч үзье.

Хоёр хавтгай хоорондын өнцгийн томьёо:

θ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|)).

Энэ илэрхийлэл нь n₁¯ ба n₂ хэвийн векторуудын скаляр үржвэрийн шууд үр дагавар гэдгийг таахад амархан. ¯ гэж үзсэн онгоцнуудын хувьд. Тоолуур дахь цэгийн үржвэрийн модуль нь θ өнцөг нь зөвхөн 0^o -аас 90^{o хүртэлх утгыг авна гэдгийг харуулж байна. Хуваагч дахь хэвийн векторуудын модулийн үржвэр нь тэдгээрийн уртын үржвэрийг хэлнэ.}

Анхаараарай, хэрэв (n₁¯n_{2¯)=0 бол онгоцууд зөв өнцгөөр огтлолцоно.}

Жишээ асуудал

Хоёр хавтгайн хоорондох өнцөг гэж юу байдгийг олж мэдээд дараах бодлогыг шийднэ. Жишээ болгон. Тиймээс ийм хавтгай хоорондын өнцгийг тооцоолох шаардлагатай:

2x - 3y + 4=0;

(x, y, z)=(2, 0, -1) + α(1, 1, -1) + β(0, 2, 3).

Асуудлыг шийдэхийн тулд та онгоцны чиглэлийн векторуудыг мэдэх хэрэгтэй. Эхний хавтгайд хэвийн вектор нь: n₁¯=(2, -3, 0). Хоёрдахь хавтгай хэвийн векторыг олохын тулд α ба β параметрийн дараа векторуудыг үржүүлэх хэрэгтэй. Үр дүн нь вектор байна: n_{2¯=(5, -3, 2).}

θ өнцгийг тодорхойлохдоо өмнөх догол мөрийн томъёог ашиглана. Бид дараахыг авна:

θ=arccos (|((2, -3, 0)(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)||(5, -3, 2)|))=

=arccos (19/√(1338))=0.5455 рад.

Радианаар тооцоолсон өнцөг нь 31.26^o-тай тохирч байна. Ийнхүү асуудлын нөхцөлийн хавтгайнууд 31, 26^{o өнцгөөр огтлолцоно.}