Гурвалжин бол хамгийн түгээмэл геометрийн хэлбэрүүдийн нэг бөгөөд бид бага сургуульд аль хэдийн мэддэг болсон. Гурвалжны талбайг хэрхэн олох вэ гэсэн асуулт геометрийн хичээл дээр байгаа бүх сурагчдад тулгардаг. Тэгэхээр, өгөгдсөн дүрсийн талбайг олох ямар онцлог шинж чанаруудыг ялгаж болох вэ? Энэ нийтлэлд бид ийм ажлыг гүйцэтгэхэд шаардлагатай үндсэн томьёог авч үзэхээс гадна гурвалжны төрлүүдэд дүн шинжилгээ хийх болно.
Гурвалжны төрөл
Гурвалжны талбайг огт өөр аргаар олох боломжтой, учир нь геометрт гурван өнцөг агуулсан нэгээс олон төрлийн дүрс байдаг. Эдгээр төрлүүд орно:
- Цочмог гурвалжин.
- Нэг өнцөгт.
- Тэгш талт (зөв).
- Зөв гурвалжин.
- Isosceles.
Одоо байгаа гурвалжны төрөл бүрийг нарийвчлан авч үзье.
Цочмоггурвалжин
Иймэрхүү геометрийн дүрсийг геометрийн бодлого шийдвэрлэхэд хамгийн түгээмэл гэж үздэг. Дурын гурвалжин зурах шаардлагатай болсон үед энэ сонголт туслах болно.
Цочмог гурвалжинд нэрнээс нь харахад бүх өнцөг нь хурц бөгөөд нийлбэр нь 180° болно.
Нэг өнцөгт гурвалжин
Энэ гурвалжин нь маш түгээмэл боловч хурц өнцөгт гурвалжингаас арай бага тохиолддог. Жишээлбэл, гурвалжинг шийдэхдээ (өөрөөр хэлбэл та түүний хэд хэдэн тал, өнцгийг мэддэг бөгөөд үлдсэн элементүүдийг олох хэрэгтэй) заримдаа өнцөг нь мохоо эсвэл биш эсэхийг тодорхойлох хэрэгтэй. Мохоо өнцгийн косинус нь сөрөг тоо.
Мохоо гурвалжинд аль нэг өнцгийн утга нь 90°-аас хэтэрсэн тул үлдсэн хоёр өнцөг нь жижиг утгыг (жишээ нь, 15° эсвэл бүр 3°) авч болно.
Ийм төрлийн гурвалжны талбайг олохын тулд та зарим нарийн ширийн зүйлийг мэдэх хэрэгтэй бөгөөд бид үүнийг дараа ярих болно.
Энгийн ба тэгш өнцөгт гурвалжин
Энгийн олон өнцөгт нь n өнцөг агуулсан, бүх тал болон өнцөг нь тэнцүү дүрсийг хэлнэ. Энэ бол зөв гурвалжин юм. Гурвалжны бүх өнцгийн нийлбэр нь 180° тул гурван өнцөг тус бүр нь 60° байна.
Тэгш өнцөгт гурвалжныг мөн адил талт дүрс гэж нэрлэдэг.
Үүнийг бас тэмдэглэх нь зүйтэйЭнгийн гурвалжинг зөвхөн нэг тойргоор сийлсэн байх ба түүнийг тойруулан зөвхөн нэг тойрог зурж болох ба тэдгээрийн төвүүд нь нэг цэгт байрладаг.
Тэгш талт төрлөөс гадна түүнээс бага зэрэг ялгаатай тэгш өнцөгт гурвалжинг сонгож болно. Ийм гурвалжинд хоёр тал ба хоёр өнцөг нь хоорондоо тэнцүү байх ба гурав дахь тал нь (тэнцүү өнцөгүүдтэй залгаа) нь суурь болно.
Зурагт D ба F өнцөг нь тэнцүү, DF нь суурь нь тэгш өнцөгт DEF гурвалжныг харуулж байна.
Зөв гурвалжин
Тэгш өнцөгт гурвалжны нэг өнцөг нь тэгш өнцөг буюу 90°-тай тэнцүү байдаг тул ийм нэртэй болсон. Нөгөө хоёр өнцгийн нийлбэр нь 90° хүртэл байна.
Ийм гурвалжны 90° өнцгийн эсрэг байрлах хамгийн том тал нь гипотенуз, нөгөө хоёр тал нь хөл юм. Энэ төрлийн гурвалжны хувьд Пифагорын теоремыг хэрэглэнэ:
Хөлний уртын квадратуудын нийлбэр нь гипотенузын уртын квадраттай тэнцүү байна.
Зурагт AC гипотенуз ба AB ба BC хөлтэй BAC тэгш өнцөгт гурвалжинг харуулж байна.
Тэгш өнцөгтэй гурвалжны талбайг олохын тулд түүний хөлийн тоон утгыг мэдэх хэрэгтэй.
Энэ зургийн талбайг олох томьёо руу шилжье.
Үндсэн бүсийн томьёо
Геометрийн хувьд ихэнх төрлийн гурвалжны талбайг олоход тохиромжтой хоёр томьёо байдаг, тухайлбал хурц өнцөгт, мохоо өнцөгт, тогтмол батэгш өнцөгт гурвалжин. Тэдгээрийг тус бүрд нь дүн шинжилгээ хийцгээе.
Хажуу болон өндөр
Энэ томьёо нь бидний авч үзэж буй зургийн талбайг олоход бүх нийтийнх юм. Үүнийг хийхийн тулд хажуугийн урт, түүнд зурсан өндрийн уртыг мэдэхэд хангалттай. Томъёо өөрөө (суурь ба өндрийн үржвэрийн хагас) дараах байдалтай байна:
S=½AH, Энд A нь өгөгдсөн гурвалжны тал, H нь гурвалжны өндөр.
Жишээ нь ACB хурц өнцөгт гурвалжны талбайг олохын тулд түүний AB талыг CD өндрөөр үржүүлж, гарсан утгыг хоёрт хуваах хэрэгтэй.
Гэсэн хэдий ч ийм байдлаар гурвалжны талбайг олох нь тийм ч амар байдаггүй. Жишээлбэл, энэ томьёог мохоо өнцөгт гурвалжинд ашиглахын тулд та түүний аль нэг талыг нь үргэлжлүүлж, зөвхөн үүний дараа түүн рүү өндрийг зурах хэрэгтэй.
Практикт энэ томъёог бусдаас илүү их ашигладаг.
Хоёр талдаа, булангаараа
Энэ томьёо нь өмнөхтэй адил ихэнх гурвалжинд тохиромжтой бөгөөд утгаараа гурвалжны хажуу ба өндрийн талбайг олох томъёоны үр дагавар юм. Өөрөөр хэлбэл, авч үзэж буй томъёог өмнөхөөсөө амархан гаргаж болно. Түүний үг дараах байдалтай байна:
S=½sinOAB, Энд А ба В нь гурвалжны талууд, О нь А ба В талуудын хоорондох өнцөг юм.
Өнцгийн синусыг ЗХУ-ын нэрт математикч В. М. Брадисын нэрэмжит тусгай хүснэгтээс харж болно гэдгийг санаарай.
Одоо бусад томьёо руу шилжье,зөвхөн онцгой төрлийн гурвалжинд тохиромжтой.
Тэгш өнцөгт гурвалжны талбай
Гурвалжинд өндрийг зурах шаардлагатай гэсэн бүх нийтийн томъёоноос гадна тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг хөлөөр нь олж болно.
Тиймээс тэгш өнцөг агуулсан гурвалжны талбай нь түүний хөлний үржвэрийн тал буюу:
S=½ab, энд a ба b нь тэгш өнцөгт гурвалжны хөл юм.
Энгийн гурвалжин
Энэ төрлийн геометрийн дүрсүүд нь түүний талбайг зөвхөн нэг талынх нь заасан утгаар олох боломжтой гэдгээрээ ялгаатай (энгийн гурвалжны бүх талууд тэнцүү байдаг). Тиймээс "талууд тэнцүү байх үед гурвалжны талбайг олох" даалгавартай тулгарсны дараа та дараах томъёог ашиглах хэрэгтэй:
S=A2√3 / 4, Энд A нь тэгш талт гурвалжны тал юм.
Хероны томьёо
Гурвалжны талбайг олох сүүлчийн сонголт бол Хероны томъёо юм. Үүнийг ашиглахын тулд та зургийн гурван талын уртыг мэдэх хэрэгтэй. Хероны томъёо дараах байдалтай байна:
S=√p (p - a) (p - b) (p - c), а, b ба c нь энэ гурвалжны талууд юм.
Заримдаа "энгийн гурвалжны талбай - түүний талын уртыг ол" гэсэн даалгавар өгдөг. Энэ тохиолдолд та ердийн гурвалжны талбайг олохын тулд аль хэдийн мэдэгдэж байсан томьёог ашиглаж, хажуугийн (эсвэл түүний квадрат) утгыг гаргаж авах хэрэгтэй:
A2=4S / √3.
Шалгалтын асуудлууд
ТЕГ-ын даалгавартМатематикт олон томьёо байдаг. Үүнээс гадна алаг цаасан дээр гурвалжны талбайг олох шаардлагатай байдаг.
Энэ тохиолдолд зургийн аль нэг талын өндрийг зурж, уртыг нүдээр тодорхойлж, талбайг олох бүх нийтийн томъёог ашиглах нь хамгийн тохиромжтой:
S=½AH.
Тиймээс өгүүлэлд үзүүлсэн томьёог судалсны дараа ямар ч төрлийн гурвалжны талбайг олоход асуудал гарахгүй.
