Хөл ба гипотенуз нь тэгш өнцөгт гурвалжны талууд юм. Эхнийх нь зөв өнцгөөр зэргэлдээ орших сегментүүд бөгөөд гипотенуз нь зургийн хамгийн урт хэсэг бөгөөд 90o өнцгийн эсрэг байрлана. Пифагор гурвалжин нь талууд нь натурал тоотой тэнцүү гурвалжин юм; Энэ тохиолдолд тэдний уртыг "Пифагорын гурвалсан" гэж нэрлэдэг.
Египет гурвалжин
Өнөөгийн үеийнхэнд геометрийг одоо сургуульд зааж байгаа хэлбэрээр нь сурахын тулд хэдэн зууны турш хөгжиж ирсэн. Үндсэн цэг нь Пифагорын теорем юм. Тэгш өнцөгт гурвалжны талууд (энэ зургийг дэлхий даяар мэддэг) 3, 4, 5.
"Пифагорын өмд бүх талаараа тэнцүү" гэсэн хэллэгийг мэдэхгүй хүн цөөхөн. Гэсэн хэдий ч теорем нь үнэндээ иймэрхүү сонсогдож байна: c2 (гипотенузын квадрат)=a2+b2(хөлүүдийн квадратуудын нийлбэр).
Математикчдын дунд 3, 4, 5 талтай (см, м гэх мэт) гурвалжинг "Египет" гэж нэрлэдэг. Зурагт бичсэн тойргийн радиус нэгтэй тэнцүү байгаа нь сонирхолтой юм. Энэ нэр нь МЭӨ 5-р зууны үед буюу Грекийн философичид Египет рүү аялж байх үед үүссэн.
Пирамидуудыг барихдаа архитекторууд болон маркшейдерууд 3:4:5 харьцааг ашигласан. Ийм бүтэц нь пропорциональ, нүдэнд тааламжтай, цэлгэр байхаас гадна нурах нь ховор болсон.
Барилгачид тэгш өнцөг үүсгэхийн тулд 12 зангилаа уясан олс ашигласан. Энэ тохиолдолд тэгш өнцөгт гурвалжин байгуулах магадлал 95% болж өссөн.
Тэнцүү тооны тэмдэг
- Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцөг ба том тал хоёр дахь гурвалжны ижил элементүүдтэй тэнцүү байх нь тоонуудын тэгш байдлын маргаангүй шинж тэмдэг юм. Өнцгийн нийлбэрийг харгалзан үзвэл хоёр дахь хурц өнцөг нь тэнцүү гэдгийг батлахад хялбар байдаг. Тиймээс гурвалжин хоёр дахь шинж чанараараа ижил байна.
- Хоёр дүрсийг бие биен дээрээ байрлуулах үед тэдгээрийг нийлээд нэг тэгш өнцөгт гурвалжин болохуйцаар эргүүл. Түүний өмчийн дагуу талууд, эс тэгвээс гипотенузууд нь суурийн өнцөгтэй адил тэнцүү бөгөөд энэ нь эдгээр тоо ижил байна гэсэн үг юм.
Эхний тэмдгээр гурвалжингууд үнэхээр тэнцүү гэдгийг батлахад маш амархан, гол нь хоёр жижиг тал (жишээ нь хөл) нь хоорондоо тэнцүү байна.
Гурвалжингууд нь II-ийн онцлогт ижил байх ба мөн чанар нь хөл ба хурц өнцгийн тэгш байдал юм.
Тэгш өнцөгтэй гурвалжны шинж чанарууд
Зөв өнцгөөс буулгасан өндөр нь дүрсийг хоёр тэнцүү хэсэгт хуваана.
Тэгш өнцөгт гурвалжны талууд ба түүний медианыг дүрмээр танихад хялбар байдаг: гипотенуз хүртэл буурсан медиан нь түүний хагастай тэнцүү байна. Дүрсийн талбайг Хероны томьёо болон хөлний үржвэрийн хагастай тэнцүү гэсэн үгээр олж болно.
Тэгш өнцөгт гурвалжинд 30o, 45o ба 60o өнцгийн шинж чанарууд.
- Өнцөг нь 30o бол эсрэг талын хөл нь хамгийн том талын 1/2-той тэнцүү байх болно гэдгийг санаарай.
- Хэрэв өнцөг нь 45o бол хоёр дахь хурц өнцөг нь мөн 45o байна. Энэ нь гурвалжин нь ижил өнцөгт, хөл нь ижил гэдгийг харуулж байна.
- 60o өнцгийн шинж чанар нь гурав дахь өнцгийн хэмжүүр нь 30o байна.
Тухайн талбайг гурван томьёоны аль нэгээр нь олоход хялбар:
- өндөр болон унасан хажуугаар нь;
- Хероны томъёогоор;
- хажуу тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг.
Тэгш өнцөгт гурвалжны талууд, эс тэгвээс хөл нь хоёр өндөртэй нийлдэг. Гурав дахь хэсгийг олохын тулд үүссэн гурвалжинг авч үзэх шаардлагатай бөгөөд дараа нь Пифагорын теоремыг ашиглан шаардлагатай уртыг тооцоолох хэрэгтэй. Энэ томъёоноос гадна талбайн хэмжээ ба гипотенузын урт хоёр дахин их байх харьцаа бас бий. Оюутнуудын дунд хамгийн түгээмэл илэрхийлэл бол эхнийх нь бага тооцоо шаарддаг тул.
Тэгш өнцөгт дээр хэрэглэгдсэн теоремуудгурвалжин
Тэгш өнцөгт гурвалжны геометрт теоремуудын хэрэглээ орно:
- Пифагорын теорем. Үүний мөн чанар нь гипотенузын квадрат нь хөлний квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байдагт оршино. Евклидийн геометрийн хувьд энэ хамаарал чухал юм. Хэрэв гурвалжин өгөгдсөн бол жишээлбэл, SNH гэсэн томъёог ашиглаж болно. SN нь гипотенуз бөгөөд үүнийг олох шаардлагатай. Дараа нь SN2=NH2+HS2.
- Косинусын теорем. Пифагорын теоремыг ерөнхийд нь харуулав: g2=f2+s2-2fsтэдгээрийн хоорондох өнцгийн cos. Жишээлбэл, DOB гурвалжин өгөгдсөн. DB хөл ба гипотенуз DO нь мэдэгдэж байгаа тул OB-ийг олох шаардлагатай. Дараа нь томъёо нь дараах хэлбэртэй байна: OB2=DB2+DO2-2DBDO cos өнцөг D. Гурван үр дагавар бий: гурвалжны өнцөг хурц байх болно, хэрэв хоёр талын квадратуудын нийлбэрээс гурав дахь хэсгийн уртын квадратыг хасвал үр дүн нь тэгээс бага байх ёстой. Хэрэв энэ илэрхийлэл тэгээс их байвал өнцөг нь мохоо байна. Өнцөг нь тэгтэй тэнцүү үед тэгш өнцөг юм.
- Синусын теорем. Энэ нь талуудын эсрэг талын өнцгүүдийн хамаарлыг харуулдаг. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь талуудын уртыг эсрэг талын өнцгийн синустай харьцуулсан харьцаа юм. Гипотенуз нь HF байх HFB гурвалжинд энэ нь үнэн байх болно: HF/ B өнцгийн син=FB/ өнцгийн sin H=HB/ F өнцгийн sin.
