Иррационал тоо гэж юу вэ? Тэднийг яагаад ингэж нэрлэдэг вэ? Тэдгээрийг хаана ашигладаг, юу вэ? Цөөн хүн эдгээр асуултад эргэлзээгүйгээр хариулж чадна. Гэвч үнэн хэрэгтээ эдгээрийн хариулт нь маш энгийн боловч хүн бүрт хэрэггүй бөгөөд маш ховор тохиолдолд
Үндсэн чанар ба тэмдэглэгээ
Иррационал тоонууд нь үе үе бус хязгааргүй аравтын бутархай юм. Бодит буюу бодит, бүхэл тоо, натурал, рационал тоо гэсэн урьд өмнө нь байсан ойлголтууд шинээр гарч ирж буй асуудлыг шийдвэрлэхэд хүрэлцэхгүй болсонтой холбоотой энэхүү ойлголтыг нэвтрүүлэх шаардлага гарсан. Жишээлбэл, 2-ын квадрат гэж юу болохыг тооцоолохын тулд та давтагдахгүй хязгааргүй аравтын бутархайг ашиглах хэрэгтэй. Түүнчлэн, хамгийн энгийн тэгшитгэлүүдийн ихэнх нь иррационал тооны тухай ойлголтыг оруулахгүйгээр шийдэлгүй байдаг.
Энэ олонлогийг I гэж тэмдэглэсэн. Мөн аль хэдийн тодорхой байгаачлан эдгээр утгуудыг энгийн бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй бөгөөд тэдгээрийн хүртэх хэсэгт бүхэл тоо, хуваарьт нь натурал тоо байх болно..
Анх удаагааҮгүй бол Энэтхэгийн математикчид энэ үзэгдэлтэй МЭӨ 7-р зуунд таарч, зарим хэмжигдэхүүний квадрат язгуурыг тодорхой зааж өгөх боломжгүй болохыг олж мэдсэн. Ийм тоо байгаагийн анхны нотолгоо нь тэгш өнцөгт тэгш өнцөгт гурвалжинг судлах явцад үүнийг хийсэн Пифагор Гиппастай холбоотой юм. Энэ багцыг судлахад манай эринээс өмнө амьдарч байсан бусад эрдэмтэд ноцтой хувь нэмэр оруулсан. Иррационал тооны тухай ойлголтыг нэвтрүүлсэн нь одоо байгаа математикийн системийг шинэчлэх шаардлагатай болсон тул тэдгээр нь маш чухал юм.
Нэрний гарал үүсэл
Хэрэв латинаар харьцаа нь "бутархай", "харьцаа" гэсэн утгатай бол "ir"
угтвар энэ үгэнд эсрэг утгатай байна. Тиймээс эдгээр тоонуудын багцын нэр нь бүхэл тоо эсвэл бутархай тоотой хамааралгүй, тусдаа газартай болохыг харуулж байна. Энэ нь тэдний мөн чанараас үүдэлтэй.
Нийт ангилалд байр
Иррационал тоо нь рационал тоонуудын хамт бодит буюу бодит тооны бүлэгт хамаарах ба тэдгээр нь эргээд комплекс тоонд хамаарна. Дэд олонлог байхгүй, гэхдээ алгебрийн болон трансцендентал сортууд байдаг бөгөөд тэдгээрийг доор авч үзэх болно.
Properties
Иррационал тоо нь бодит тооны олонлогийн нэг хэсэг учраас тэдгээрийн арифметикт судлагдсан бүх шинж чанарууд (тэдгээрийг мөн алгебрийн үндсэн хууль гэж нэрлэдэг) тэдгээрт хамаарна.
a + b=b + a (шилжүүлэх чадвар);
(a + b) + c=a + (b + c)(холбоо);
a + 0=a;
a + (-a)=0 (эсрэг тоо байгаа);
ab=ba (шилжилтийн хууль);
(ab)c=a(bc) (тархалт);
a(b+c)=ab + ac (тархалтын хууль);
a x 1=a
a x 1/a=1 (урвуу тоо байгаа);
Харьцуулалт нь мөн ерөнхий хууль, зарчмын дагуу явагдана:
Хэрэв a > b ба b > c бол > c (харьцааны шилжилт хөдөлгөөн) ба. гэх мэт
Мэдээж бүх иррационал тоог үндсэн арифметик ашиглан хөрвүүлж болно. Үүнд тусгай дүрэм байхгүй.
Үүнээс гадна Архимедийн аксиом иррационал тоонд хамаарна. Үүнд: a ба b хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд a-г хангалттай олон удаа гишүүнээр авснаар та b-г давж чадна гэсэн үг үнэн юм.
Ашиглах
Хэдийгээр энгийн амьдралд та тэдэнтэй тэр бүр харьцах шаардлагагүй байдаг ч иррационал тоог тоолж болохгүй. Тэд маш олон байдаг, гэхдээ тэдгээр нь бараг харагдахгүй байдаг. Бидний эргэн тойронд хаа сайгүй иррационал тоонууд хүрээлэгдсэн байдаг. Хүн бүрт танил болсон жишээнүүд бол 3-тай тэнцүү pi тоо, 1415926 …, эсвэл үндсэндээ натурал логарифмын суурь болох 2, 718281828 … Алгебр, тригонометр, геометрийн хувьд тэдгээрийг байнга ашиглах ёстой.. Дашрамд хэлэхэд, "алтан хэсэг" -ийн алдартай үнэ цэнэ, өөрөөр хэлбэл том хэсэг нь бага ба эсрэгээр нь харьцуулсан харьцаа нь мөн
юм.
нь энэ багцад хамаарна. Бага мэддэг "мөнгө" - бас.
Тэдгээр нь тооны шулуун дээр маш нягт байрладаг тул оновчтой олонлогтой холбоотой дурын хоёр утгын хооронд иррациональ нь гарцаагүй гарч ирнэ.
Энэ багцтай холбоотой шийдэгдээгүй олон асуудал байсаар байна. Тооны иррационалийн хэмжүүр, хэвийн байдал гэх мэт шалгуурууд байдаг. Математикчид аль нэг бүлэгт хамаарах хамгийн чухал жишээнүүдийг үргэлжлүүлэн судалж байна. Жишээлбэл, e нь хэвийн тоо, өөрөөр хэлбэл түүний бичлэгт өөр өөр цифр гарч ирэх магадлал ижил байна гэж үздэг. Пи-ийн хувьд энэ талаар судалгаа хийгдэж байна. Иррационалийн хэмжүүрийг энэ эсвэл тэр тоог оновчтой тоогоор хэр сайн ойртуулж болохыг харуулсан утга гэж нэрлэдэг.
Алгебрийн ба трансцендентал
Урьд дурьдсанчлан иррационал тоог нөхцөлт байдлаар алгебрийн болон трансцендентал гэж хуваадаг. Нөхцөлөөр, хатуухан хэлэхэд энэ ангиллыг C олонлогийг хуваахад ашигладаг.
Энэ тэмдэглэгээ нь бодит эсвэл бодит тоо агуулсан цогц тоонуудыг нуудаг.
Тэгэхээр алгебрийн утга нь тэгтэй ижил биш олон гишүүнтийн үндэс болох утгыг хэлнэ. Жишээлбэл, 2-ын квадрат язгуур нь x2 - 2=0 тэгшитгэлийн шийдэл учраас энэ ангилалд багтах болно.
Энэ нөхцлийг хангаагүй бусад бүх бодит тоог трансцендентал гэж нэрлэдэг. Энэ олон янз байдал рууХамгийн алдартай бөгөөд аль хэдийн дурдсан жишээнүүдийг оруулаарай - pi тоо ба натурал логарифмын суурь e.
Сонирхолтой нь, нэг ч, хоёр дахь нь ч анхнаасаа математикчид ийм чадавхиар дүгнэлт хийгээгүй бөгөөд тэдгээрийн зохисгүй байдал, хэт давсан байдал нь нээгдсэнээс хойш олон жилийн дараа батлагдсан юм. Пи-ийн хувьд нотлох баримтыг 1882 онд өгч, 1894 онд хялбаршуулсан нь тойргийг квадрат болгох асуудлын талаарх 2500 жилийн маргаанд цэг тавьсан юм. Энэ нь бүрэн ойлгогдоогүй байгаа тул орчин үеийн математикчдад ажиллах зүйл бий. Дашрамд хэлэхэд, энэ утгын анхны хангалттай үнэн зөв тооцоог Архимед хийсэн. Түүний өмнө бүх тооцоо хэт ойролцоо байсан.
e-ийн хувьд (Эйлер эсвэл Напиерийн тоо) түүний давж гарсан нотолгоо 1873 онд олдсон. Үүнийг логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашигладаг.
Бусад жишээнд синус, косинус, шүргэгч утгууд нь тэгээс бусад алгебрийн утгуудыг агуулдаг.
