Эхлэхийн тулд дифференциал гэж юу болох, ямар математикийн утгыг агуулж байгааг санах нь зүйтэй.
Функцийн дифференциал нь аргументаас авсан функцын дериватив ба аргументийн дифференциалын үржвэр юм. Математикийн хувьд энэ ойлголтыг илэрхийлэл хэлбэрээр бичиж болно: dy=y'dx.
Эргээд функцийн деривативын тодорхойлолтоор y'=lim dx-0(dy/dx) тэгшитгэл үнэн, хязгаарын тодорхойлолтоор dy/dx илэрхийлэл байна.=x'+α, энд α параметр нь хязгааргүй жижиг математикийн утга юм.
Тиймээс илэрхийллийн хоёр хэсгийг dx-ээр үржүүлэх шаардлагатай бөгөөд энэ нь эцсийн дүндээ dy=y'dx+αdx-г өгөх ба энд dx нь аргумент дахь хязгааргүй бага өөрчлөлт, (αdx) нь утга юм. Үүнийг үл тоомсорлож болох юм бол dy нь функцийн өсөлт, (ydx) нь өсөлт эсвэл дифференциалын үндсэн хэсэг юм.
Функцийн дифференциал нь функцийн дериватив ба аргументийн дифференциалын үржвэр юм.
Одоо математик шинжилгээнд ихэвчлэн хэрэглэгддэг ялгах үндсэн дүрмийг авч үзэх нь зүйтэй болов уу.
Теорем. Нийлбэрийн дериватив нь (a+c)'=a'+c' нөхцлөөс гаргаж авсан деривативын нийлбэртэй тэнцүү байна.
Үүнтэй адилЭнэ дүрэм нь ялгааны деривативыг олоход мөн хамаарна.
Энэхүү ялгах дүрмийн үр дагавар нь тодорхой тооны гишүүний дериватив нь эдгээр нөхцлөөс гаргаж авсан деривативын нийлбэртэй тэнцүү байна гэсэн үг юм.
Жишээ нь (a+c-k)' илэрхийллийн деривативыг олох шаардлагатай бол үр дүн нь a'+c'-k' илэрхийлэл болно.
Теорем. Нэг цэгт дифференциалагдах математик функцүүдийн үржвэрийн дериватив нь эхний хүчин зүйлийн үржвэр ба хоёр дахь хүчин зүйлийн дериватив ба хоёр дахь хүчин зүйлийн үржвэр ба эхний хүчин зүйлийн деривативын үржвэрээс бүрдэх нийлбэртэй тэнцүү байна.
Математикийн хувьд теоремыг дараах байдлаар бичнэ: (ac)'=ac'+a'c. Теоремын үр дагавар нь бүтээгдэхүүний деривативын тогтмол хүчин зүйлийг функцийн деривативаас гаргаж авч болно гэсэн дүгнэлт юм.
Алгебрийн илэрхийлэл хэлбэрээр энэ дүрмийг дараах байдлаар бичнэ: (ac)'=ac', энд a=const.
Жишээ нь, хэрэв та (2a3)' илэрхийллийн деривативыг олох шаардлагатай бол үр дүн нь дараах хариулт болно: 2(a3)'=23a2=6a2.
Теорем. Функцийн харьцааны дериватив нь хуваагчийн дериватив ба хуваагчийн дериватив болон хуваагчийн квадратын үржвэрийн ялгаврын харьцаатай тэнцүү байна.
Математикийн хувьд теоремыг дараах байдлаар бичнэ: (a/c)'=(a'c-ac')/c2.
Эцэст нь хэлэхэд нарийн төвөгтэй функцуудыг ялгах дүрмийг авч үзэх шаардлагатай.
Теорем. y \u003d f (x), энд x \u003d c (t), дараа нь y функцийг авч үзье.m хувьсагчийг комплекс гэж нэрлэдэг.
Тиймээс математик шинжилгээнд нийлмэл функцийн деривативыг тухайн функцийн деривативыг дэд функцийн деривативаар үржүүлсэн гэж тайлбарладаг. Тохиромжтой болгох үүднээс нарийн төвөгтэй функцуудыг ялгах дүрмийг хүснэгт хэлбэрээр үзүүлэв.
f(x) |
f'(x) |
| (1/с)' | -(1/с2)s' |
| (ас)' | ac(ln a)c' |
| (ес)' | ecc' |
| (ln s)' | (1/с)s' |
| (log ac)' | 1/(сlg a)c' |
| (нүгэл c)' | cos ss' |
| (cos c)' | -sin ss' |
Энэ хүснэгтийг тогтмол ашигласнаар деривативуудыг санахад хялбар болно. Нарийн төвөгтэй функцүүдийн үлдсэн деривативуудыг теорем болон тэдгээрийн үр дагаварт заасан функцийг ялгах дүрмийг ашиглан олж болно.
