Математик шинжилгээний үндсэн хэсгүүдийн нэг бол интеграл тооцоолол юм. Энэ нь объектын хамгийн өргөн талбарыг хамардаг бөгөөд эхнийх нь тодорхойгүй интеграл юм. Үүнийг ахлах сургуульд ч гэсэн дээд математикийн тайлбарладаг хэтийн төлөв, боломжуудын тоог өсөн нэмэгдэж буй түлхүүр болгон харуулах нь зүйтэй.
Гадаад төрх
Анхны харцаар интеграл нь туйлын орчин үеийн, хамааралтай мэт боловч бодит байдал дээр энэ нь МЭӨ 1800 онд үүссэн нь харагдаж байна. Египетийг албан ёсоор эх орон гэж үздэг, учир нь түүний оршин тогтнох тухай нотлох баримт бидэнд ирээгүй байна. Тэрээр мэдээлэл дутмаг байсны улмаас энэ бүх хугацаанд зүгээр л үзэгдэл мэт байр сууриа эзэлжээ. Тэрээр тухайн үеийн ард түмний дунд шинжлэх ухааны хөгжлийн түвшинг дахин баталлаа. Эцэст нь МЭӨ 4-р зуунд хамаарах эртний Грекийн математикчдын бүтээлүүд олджээ. Тэд тодорхойгүй интеграл ашигласан аргыг тодорхойлсон бөгөөд түүний мөн чанар нь муруй шугамын (гурван хэмжээст) эзлэхүүн эсвэл талбайг олох явдал байв.ба хоёр хэмжээст онгоцууд тус тус). Тооцооллын зарчим нь тэдгээрийн эзэлхүүн (талбай) нь аль хэдийн мэдэгдэж байгаа тохиолдолд анхны дүрсийг хязгааргүй жижиг бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд хуваахад үндэслэсэн болно. Цаг хугацаа өнгөрөхөд Архимед энэ аргыг ашиглан параболын талбайг олох боломжтой болсон. Үүнтэй төстэй тооцоог эртний Хятадын эрдэмтэд нэгэн зэрэг хийж байсан бөгөөд тэдгээр нь шинжлэх ухаанд Грекийн ижил төстэй хүмүүсээс бүрэн хараат бус байсан.
Хөгжил
МЭ 11-р зууны дараагийн ололт бол Арабын эрдэмтэн-"бүх нийтийн" Абу Али аль-Басригийн ажил байсан бөгөөд тэрээр аль хэдийн мэдэгдэж байсан зүйлийн хил хязгаарыг түлхэж, нийлбэрийг тооцоолох интеграл дээр үндэслэн томъёо гаргаж авсан юм. Эхнийхээс дөрөв дэх хүртэлх эгнээ болон зэрэглэлийн нийлбэрүүд, үүнд бидний мэддэг математик индукцийн аргыг хэрэглэж байна.
Эртний египетчүүд өөрсдийн гараар өөр ямар ч тусгай төхөөрөмжгүйгээр архитектурын гайхамшигт дурсгалуудыг бүтээж байсныг орчин үеийн оюун ухаан биширдэг ч тухайн үеийн эрдэмтдийн оюун ухааны хүч ч түүнээс дутахгүй гайхамшиг биш гэж үү? Өнөөдрийнхтэй харьцуулахад тэдний амьдрал бараг анхдагч мэт боловч тодорхой бус интегралын шийдлийг хаа сайгүй гаргаж авсан бөгөөд цаашдын хөгжилд практикт ашигласан.
Дараагийн алхам нь 16-р зуунд Италийн математикч Кавальери Пьер Фермагийн олж авсан хуваагдашгүй тоон аргыг бий болгосноор хийгдсэн. Энэ хоёр хүн нь орчин үеийн интеграл тооцооллын үндэс суурийг тавьсан бөгөөд энэ нь одоогоор мэдэгдэж байна. Тэд өмнө нь байсан дифференциал ба интеграцчлалын ойлголтуудыг холбосонбие даасан нэгж гэж үздэг. Ерөнхийдөө тухайн үеийн математик хуваагдмал, дүгнэлтийн хэсгүүд нь дангаараа, хязгаарлагдмал хүрээтэй байсан. Нэгдмэл байдал, нийтлэг үндэслэлийг эрэлхийлэх зам нь тухайн үед цорын ганц үнэн байсан бөгөөд үүний ачаар орчин үеийн математикийн шинжилгээ хөгжиж, хөгжих боломжийг олж авсан.
Интегралын тэмдэглэгээ зэрэг цаг хугацааны явцад бүх зүйл өөрчлөгдсөн. Эрдэмтэд үүнийг бүхэлд нь тэмдэглэсэн байдаг, жишээлбэл Ньютон интегралдах функцийг байрлуулах эсвэл зүгээр л хажууд нь тавьсан дөрвөлжин дүрс ашигласан.
Энэ үл нийцэл нь 17-р зуун хүртэл үргэлжилсэн бөгөөд математикийн анализын онолын бүхэл бүтэн онолын тэмдэг болсон эрдэмтэн Готфрид Лейбниц бидэнд маш сайн танил болсон тэмдгийг нэвтрүүлсэн. Уртасгасан "S" нь үнэхээр латин цагаан толгойн энэ үсэг дээр үндэслэсэн бөгөөд энэ нь эсрэг деривативуудын нийлбэрийг илэрхийлдэг. Интеграл 15 жилийн дараа Жейкоб Бернуллигийн ачаар нэрээ авсан.
Албан ёсны тодорхойлолт
Тодорхойгүй интеграл нь эсрэг деривативын тодорхойлолтоос шууд хамаардаг тул эхлээд үүнийг авч үзье.
Эсрэг дериватив нь деривативын урвуу функц бөгөөд практикт үүнийг команд гэж нэрлэдэг. Үгүй бол: d функцийн эсрэг дериватив нь дериватив нь v V'=v-тэй тэнцүү D функц юм. Эсрэг деривативыг хайх нь тодорхойгүй интегралын тооцоо бөгөөд энэ процессыг өөрөө интеграл гэж нэрлэдэг.
Жишээ нь:
Функц s(y)=y3, түүний эсрэг дериватив S(y)=(y4/4).
Харж байгаа функцийн бүх эсрэг деривативуудын олонлог нь тодорхойгүй интеграл бөгөөд үүнийг дараах байдлаар тэмдэглэв: ∫v(x)dx.
V(x) нь анхны функцийн зарим эсрэг дериватив учир илэрхийлэл явагдана: ∫v(x)dx=V(x) + C, энд C нь тогтмол байна. Дериватив нь тэгтэй тэнцүү тул дурын тогтмол нь аливаа тогтмол юм.
Properties
Тодорхойгүй интегралын шинж чанарууд нь үндсэн тодорхойлолт болон деривативын шинж чанарууд дээр суурилдаг.
Үндсэн цэгүүдийг харцгаая:
- эсрэг деривативын деривативын интеграл нь эсрэг дериватив өөрөө ба дурын тогтмол С ∫V'(x)dx=V(x) + C;
- функцийн интегралын дериватив нь анхны функц (∫v(x)dx)'=v(x);
- тогтмолыг ∫kv(x)dx=k∫v(x)dx интеграл тэмдгийн доороос гаргана, энд k нь дурын;
- нийлбэрээс авсан интеграл нь ∫(v(y) + w(y))dy=∫v(y)dy +∫w(y)dy интегралуудын нийлбэртэй ижил тэнцүү байна.
Сүүлийн хоёр шинж чанараас бид тодорхойгүй интеграл шугаман байна гэж дүгнэж болно. Үүний ачаар бид: ∫(kv(y)dy +∫ lw(y))dy=k∫v(y)dy + l∫w(y)dy. байна.
Нэгтгэхийн тулд тодорхойгүй интегралыг шийдвэрлэх жишээг авч үзье.
∫(3sinx + 4cosx)dx интегралыг олох шаардлагатай:
∫(3sinx + 4cosx)dx=∫3sinxdx + ∫4cosxdx=3∫sinxdx + 4∫cosxdx=3(-cosx) + 4sinx + C=4sinx - 3cosx + C
Жишээнээс бид дүгнэж болно:Тодорхой бус интегралыг хэрхэн шийдэхээ мэдэхгүй байна уу? Зүгээр л бүх командуудыг олоорой! Гэхдээ хайлтын зарчмуудыг доор авч үзэх болно.
Арга, жишээ
Интегралыг шийдэхийн тулд та дараах аргуудыг ашиглаж болно:
- бэлтгэсэн хүснэгтийг ашигла;
- хэсгээрээ нэгтгэх;
- хувьсагчийг өөрчлөх замаар нэгтгэх;
- дифференциал тэмдгийн доор авчрах.
Хүснэгт
Хамгийн хялбар бөгөөд тааламжтай арга. Одоогийн байдлаар математик анализ нь тодорхойгүй интегралын үндсэн томъёог бичсэн нэлээд өргөн хүрээтэй хүснэгтүүдээр сайрхаж байна. Өөрөөр хэлбэл, таны өмнө болон танд зориулж боловсруулсан загварууд байдаг бөгөөд тэдгээрийг ашиглахад л үлддэг. Шийдэл бүхий бараг бүх жишээг гаргаж болох хүснэгтийн үндсэн байрлалуудын жагсаалт энд байна:
- ∫0dy=C, энд C нь тогтмол;
- ∫dy=y + C, энд C нь тогтмол;
- ∫y dy=(yn+1) / (n + 1) + C, энд C нь тогтмол ба n - нэг бус тоо;
- ∫(1/y)dy=ln|y| + C, энд C нь тогтмол;
- ∫eydy=ey + C, энд C нь тогтмол;
- ∫kydy=(ky/ln k) + C, энд C нь тогтмол;
- ∫cosydy=siny + C, энд C нь тогтмол;
- ∫sinydy=-cosy + C, энд C нь тогтмол;
- ∫dy/cos2y=tgy + C, энд C нь тогтмол;
- ∫dy/sin2y=-ctgy + C, энд C нь тогтмол;
- ∫dy/(1 + y2)=arctgy + C, энд C нь тогтмол;
- ∫chydy=ичимхий + C, энд C -тогтмол;
- ∫shydy=chy + C, энд C нь тогтмол байна.
Хэрэв шаардлагатай бол хэд хэдэн алхам хийж, интегралыг хүснэгт хэлбэрээр авчирч, ялалтыг сайхан өнгөрүүлээрэй. Жишээ: ∫cos(5x -2)dx=1/5∫cos(5x - 2)d(5x - 2)=1/5 x sin(5x - 2) + C.
Шийдлийн дагуу хүснэгтийн жишээний хувьд интегралд 5-ын хүчин зүйл дутагдаж байгаа нь тодорхой байна. Бид үүнийг нэмж, ерөнхий илэрхийлэл өөрчлөгдөхгүй байхын тулд 1/5-аар зэрэгцүүлэн үржүүлэв.
Хэсэгээр нь нэгтгэх
z(y) ба x(y) гэсэн хоёр функцийг авч үзье. Эдгээр нь тодорхойлолтын бүх талбарт тасралтгүй ялгаатай байх ёстой. Ялгах шинж чанаруудын аль нэгийн дагуу бид: d(xz)=xdz + zdx байна. Тэгшитгэлийн хоёр хэсгийг нэгтгэснээр бид: ∫d(xz)=∫(xdz + zdx)=> zx=∫zdx + ∫xdz. болно.
Үйлдвэрлэсэн тэгш байдлыг дахин бичихэд бид интеграцийн аргыг хэсгүүдээр тодорхойлсон томъёог олж авна: ∫zdx=zx - ∫xdz.
Яагаад хэрэгтэй байна вэ? Гол нь зарим жишээнүүдийг хялбаршуулж болно, нөхцөлт байдлаар хэлбэл, хүснэгтийн хэлбэрт ойрхон байвал ∫zdx-ийг ∫xdz болгон бууруулж болно. Мөн энэ томъёог нэгээс олон удаа хэрэглэж, оновчтой үр дүнд хүрэх боломжтой.
Тодорхойгүй интегралыг яаж шийдэх вэ:
тооцох шаардлагатай ∫(s + 1)e2sds
∫(x + 1)e2sds={z=s+1, dz=ds, y=1/2e2s, dy=e2xds}=((s+1)e2s) / 2-1/2∫e2s dx=((s+1)e2s) / 2-e2с/4+ C;
∫lnsds тооцоолох шаардлагатай
∫lnsds={z=lns, dz=ds/s, y=s, dy=ds}=slns - ∫s x ds/s=slns - ∫ds=slns -s + C=s(lns -1) + C.
Хувьсагчийн орлуулалт
Тодорхойгүй интегралыг шийдэх энэхүү зарчим нь хэдийгээр илүү төвөгтэй боловч өмнөх хоёроос багагүй эрэлт хэрэгцээтэй байна. Арга нь дараах байдалтай байна: V(x) нь зарим v(x) функцийн интеграл байя. Хэрэв жишээнд байгаа интеграл өөрөө нийлмэл шинжтэй байвал төөрөлдөх, шийдлийн буруу замаар явах магадлал өндөр байна. Үүнээс зайлсхийхийн тулд x хувьсагчаас z руу шилжих дадлага хийдэг бөгөөд энэ нь z-ийн x-ээс хамаарлыг хадгалахын зэрэгцээ ерөнхий илэрхийлэлийг нүдээр хялбарчилж өгдөг.
Математикийн хувьд дараах байдалтай байна: ∫v(x)dx=∫v(y(z))y'(z)dz=V(z)=V(y-1(x)), энд x=y(z) нь орлуулалт юм. Мэдээжийн хэрэг, урвуу функц z=y-1(x) нь хувьсагчдын хамаарал, хамаарлыг бүрэн дүрсэлдэг. Анхаарах зүйл - хувьсагчийг тодорхойгүй интегралд орлуулах нь зөвхөн интегралд бус хаа сайгүй солигдох тул dx дифференциал заавал шинэ дифференциал dz-ээр солигдоно.
Жишээ нь:
олох хэрэгтэй ∫(s + 1) / (s2 + 2s - 5)ds
Орлуулалтыг хэрэглэнэ z=(s+1)/(s2+2s-5). Дараа нь dz=2sds=2+2(s+1)ds (s+1)ds=dz/2. Үүний үр дүнд бид тооцоолоход маш хялбар дараах илэрхийллийг олж авна:
∫(s+1)/(s2+2s-5)ds=∫(dz/2)/z=1/2ln|z|+C=1/2 лн|с2+2с-5|+C;
интегралыг олох хэрэгтэй∫2sesdx
Шийдвэрлэхийн тулд бид илэрхийллийг дараах хэлбэрээр дахин бичнэ:
∫2sesds=∫(2e)sds.
a=2e гэж тэмдэглээрэй (энэ алхам нь аргументыг орлох биш, энэ нь s хэвээр байна), бид нийлмэл мэт санагдах интегралыг энгийн хүснэгтийн хэлбэрт авчирна:
∫(2e)sds=∫asds=as / lna + C=(2e)s / ln(2e) + C=2ses / ln(2 + lne) + C=2ses / (ln2 + 1) + C.
Дифференциал тэмдгийн доор оруулах
Тодорхойгүй интегралын энэ арга нь хувьсагчийн өөрчлөлтийн зарчмын ихэр ах юм, гэхдээ дизайны явцад ялгаатай байдаг. Илүү дэлгэрэнгүй харцгаая.
Хэрэв ∫v(x)dx=V(x) + C ба y=z(x) бол ∫v(y)dy=V(y) + C.
Энэ тохиолдолд энгийн интеграл хувиргалтыг мартаж болохгүй, үүнд:
- dx=d(x + a), энд а нь дурын тогтмол;
- dx=(1 / a)d(ax + b), энд a нь дахин тогтмол боловч тэгтэй тэнцүү биш;
- xdx=1/2d(x2 + b);
- sinxdx=-d(cosx);
- cosxdx=d(sinx).
Хэрэв бид тодорхой бус интегралыг тооцоолохдоо ерөнхий тохиолдлыг авч үзвэл w'(x)dx=dw(x) ерөнхий томьёоны дор жишээг нэгтгэж болно.
Жишээ нь:
олох хэрэгтэй ∫(2с + 3)2ds, ds=1/2d(2s + 3)
∫(2сек + 3)2ds=1/2∫(2сек + 3)2d(2сек + 3)=(1/2) x ((2с +3)2) / 3 + C=(1/6) x (2с + 3)2 + C;
∫tgsds=∫sins/cossds=∫d(coss)/coss=-ln|coss| + C.
Онлайн тусламж
Зарим тохиолдолд алдаа нь залхуурал эсвэл яаралтай хэрэгцээ байж болно, та онлайн зөвлөмжийг ашиглаж болно, эсвэл тодорхойгүй интеграл тооцоолуур ашиглаж болно. Интегралуудын бүх илэрхий төвөгтэй, маргаантай байдлыг үл харгалзан тэдгээрийн шийдэл нь "хэрэв биш бол …" гэсэн зарчим дээр суурилдаг тодорхой алгоритмд захирагддаг.
Мэдээжийн хэрэг, ийм тооны машин нь нарийн төвөгтэй жишээнүүдийг эзэмшихгүй, учир нь тодорхой элементүүдийг "хүчээр" оруулах замаар зохиомлоор шийдлийг олох шаардлагатай байдаг, учир нь тодорхой үр дүнд хүрэх боломжгүй юм. арга замууд. Энэ мэдэгдлийн бүх маргааныг үл харгалзан математик нь хийсвэр шинжлэх ухаан бөгөөд боломжийн хил хязгаарыг тэлэх хэрэгцээг үндсэн ажил гэж үздэг тул үнэн юм. Үнэн хэрэгтээ гөлгөр, гүйцсэн онолуудын дагуу дээшилж, хөгжих нь туйлын хэцүү тул бидний өгсөн тодорхойгүй интегралуудыг шийдвэрлэх жишээнүүд нь боломжийн өндөр гэж та бодож болохгүй. Гэхдээ техникийн тал руугаа буцъя. Наад зах нь тооцооллыг шалгахын тулд та бидний өмнө бүх зүйлийг бичсэн үйлчилгээг ашиглаж болно. Хэрэв нарийн төвөгтэй илэрхийллийг автоматаар тооцоолох шаардлагатай бол тэдгээрийг арилгах боломжгүй тул та илүү ноцтой програм хангамжид хандах хэрэгтэй болно. Юуны өмнө MatLab орчинд анхаарлаа хандуулах нь зүйтэй.
Програм
Тодорхойгүй интегралын шийдэл нь эхлээд харахад бодит байдлаас огт хамааралгүй мэт санагддаг, учир нь хэрэглээний тодорхой хэсгийг харахад хэцүү байдаг. Үнэн хэрэгтээ тэдгээрийг хаана ч шууд ашиглах боломжгүй боловч практикт хэрэглэгдэж буй шийдлүүдийг гаргах явцад зайлшгүй шаардлагатай завсрын элемент гэж үздэг. Тэгэхээр интеграл нь дифференциалаас урвуу бөгөөд үүний улмаас тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үйл явцад идэвхтэй оролцдог.
Эргээд эдгээр тэгшитгэлүүд нь механик асуудлыг шийдвэрлэх, замнал болон дулаан дамжилтын илтгэлцүүрийг тооцоолоход шууд нөлөөлдөг - товчхондоо одоог бүрдүүлж, ирээдүйг бүрдүүлдэг бүх зүйл юм. Бидний дээр авч үзсэн тодорхойгүй интеграл нь зөвхөн өнгөцхөн харвал үл тоомсорлодог, учир нь энэ нь улам олон шинэ нээлт хийх үндэс суурь болдог.
