Олонлогийн жишээн дээрх өргөн хүрээний харилцааг тэдгээрийн тодорхойлолтоос эхлээд парадоксуудын аналитик дүн шинжилгээ хүртэл олон тооны ойлголтууд дагалддаг. Багцын тухай өгүүлэлд дурдсан үзэл баримтлалын олон янз байдал нь хязгааргүй юм. Хэдийгээр хос төрлүүдийн тухай ярихад энэ нь хэд хэдэн утгын хоорондох хоёртын харилцааг хэлнэ. Мөн объект эсвэл мэдэгдлийн хооронд.
Дүрмээр бол хоёртын харилцааг R тэмдгээр тэмдэглэдэг, өөрөөр хэлбэл хэрэв R талбарын дурын x утгын хувьд xRx бол ийм шинж чанарыг рефлекс гэж нэрлэдэг бөгөөд x ба x нь бодлын хүлээн зөвшөөрөгдсөн объект юм. болон R нь хувь хүмүүсийн хоорондын харилцааны бусад хэлбэрийг илэрхийлдэг. Үүний зэрэгцээ, хэрэв та xRy® эсвэл yRx-ийг илэрхийлбэл энэ нь тэгш хэмийн төлөвийг илтгэнэ, энд ® нь "хэрэв … тэгвэл …" гэсэн нэгдэлтэй төстэй далд тэмдэг юм. Тэгээд эцэст нь, кодыг тайлах. бичээс (xRy Ùy Rz) ®xRz нь шилжилтийн харилцааны тухай өгүүлдэг ба Ù тэмдэг нь холбоос юм.
Рефлекс, тэгш хэм, шилжилтийн аль аль нь хоёртын харьцааг эквивалент хамаарал гэнэ. f харьцаа нь функц бөгөөд y=z тэгшитгэл нь Î f ба Î f-ээс үүснэ. Энгийн хоёртын функцийг хялбархан хэрэглэж болнохоёр энгийн аргументыг тодорхой дарааллаар илэрхийлэх ба зөвхөн энэ тохиолдолд л тодорхой тохиолдолд авсан эдгээр хоёр илэрхийлэлд чиглэсэн утгыг өгдөг.
f нь x-ийг y-д буулгадаг гэж хэлэх хэрэгтэй,
хэрэв f нь x муж ба y мужтай функц байвал. Гэсэн хэдий ч, f нь x-ээс y, y Í z-ийг экстраполяци хийх үед энэ нь f-г z-д x-г харуулахад хүргэдэг. Энгийн жишээ: хэрэв f(x)=2x дурын бүхэл тоонд үнэн байвал f нь бүх мэдэгдэж буй бүхэл тоонуудын тэмдэгт олонлогийг ижил бүхэл тоонуудын олонлогт буулгана гэж хэлнэ, гэхдээ энэ удаад тэгш тоо. Дээр дурдсанчлан рефлекс, тэгш хэм, шилжилтийн хоёртын харилцаа нь эквивалент харилцаа юм.
Дээрх дээр үндэслэн хоёртын харилцааны эквивалент хамаарлыг шинж чанаруудаар тодорхойлно:
- рефлекс - харьцаа (M ~ N);
- тэгш хэм - хэрэв тэгш байдал нь M ~ N байвал N ~ M байх болно;
- дамжилт - хэрэв M ~ N ба N ~ P хоёр тэнцүү бол үр дүнд нь M ~ P.
Хоёртын харилцааны зарласан шинж чанаруудыг илүү дэлгэрэнгүй авч үзье. Рефлекс нь тодорхой холболтын шинж чанаруудын нэг бөгөөд судалж буй олонлогийн элемент бүр өөртэйгөө өгөгдсөн тэгш байдалд байдаг. Жишээлбэл, a=c ба a³ c тоонуудын хооронд рефлексийн холболтууд байдаг, учир нь үргэлж a=a, c=c, a³ a, c³ c. Үүний зэрэгцээ a>a тэгш бус байдал байх боломжгүй тул a>c тэгш бус байдлын хамаарал нь рефлексийн эсрэг байна. Энэ шинж чанарын аксиом нь дараах тэмдгээр кодлогдсон: aRc®aRa Ù cRc, энд ® тэмдэг нь "оролцох" (эсвэл "хамаарал") гэсэн үг бөгөөд Ù тэмдэг нь "ба" (эсвэл холболт) гэсэн үг юм. Энэхүү мэдэгдлээс харахад aRc дүгнэлт үнэн бол aRa болон cRc илэрхийллүүд бас үнэн байна.
Тэгш хэм нь оюун санааны объектуудыг сольж байсан ч гэсэн харилцан хамаарлыг агуулдаг, өөрөөр хэлбэл тэгш хэмтэй харьцаатай, объектуудыг дахин зохион байгуулах нь "хоёртын харилцаа" хэлбэрийг өөрчлөхөд хүргэдэггүй. Жишээ нь: a=c харьцаа тэгш хэмтэй байна, учир нь c=a харьцаа тэнцүү байна; a¹c санал нь ¹a-тай холбогдох тул ижил байна.
Шилжилтийн олонлог нь дараах шаардлагыг хангасан шинж чанар юм: y н x, z н y ® z н x, энд ® нь "хэрэв …, дараа нь …" гэсэн үгийг орлуулсан тэмдэг юм. Томьёог амаар дараах байдлаар уншина: "Хэрэв y нь x-ээс хамааралтай бол z нь y-д хамаарна, тэгвэл z нь x-ээс хамаарна".
