Косинусын деривативыг синусын деривативтай зүйрлэн олдог ба нотлох үндэс нь функцын хязгаарын тодорхойлолт юм. Та өнцгийн косинус ба синусыг багасгах тригонометрийн томъёог ашиглан өөр аргыг ашиглаж болно. Нэг функцийг нөгөө функцээр илэрхийлнэ үү - косинусыг синусын хувьд илэрхийлж, синусыг нарийн төвөгтэй аргументаар ялгана уу.
(Cos(x))' томьёог гаргаж авах эхний жишээг авч үзье.
y=Cos(x) функцийн х аргументад өчүүхэн бага Δx өсөлтийг өг. х+Δх аргументын шинэ утгын тусламжтайгаар Cos(х+Δх) функцийн шинэ утгыг олж авна. Дараа нь Δy функцийн өсөлт нь Cos(х+Δx)-Cos(x)-тэй тэнцүү байх болно.
Функцийн өсөлтийн Δх хүртэлх харьцаа нь: (Cos(х+Δx)-Cos(x)) /Δх. Үүссэн бутархайн дугаарт ижил хувиргалтыг хийцгээе. Өнцгийн косинусын зөрүүний томъёог санаарай, үр дүн нь -2Sin (Δx / 2) үржүүлсэн Sin (x + Δx / 2) үржвэр болно. Δx тэг рүү чиглэж байгаа тул бид энэ бүтээгдэхүүний хязгаарын хязгаарыг Δx дээр олно. Эхнийх нь мэдэгдэж байна(энэ нь гайхамшигтай гэж нэрлэгддэг) хязгаар lim(Sin(Δx/2)/(Δx/2)) нь 1-тэй тэнцүү, харин -Sin(x+Δx/2) хязгаар нь -Sin(x)-тэй тэнцүү Δx тэг рүү чиглэдэг. Үр дүнг бичнэ үү: (Cos(x))'-ийн дериватив нь - Sin(x).
Зарим хүмүүс ижил томъёог гаргах хоёр дахь аргыг илүүд үздэг
Тригонометрийн хичээлээс мэдэгдэж байна: Cos(x) нь Sin(0, 5 ∏-x) -тэй тэнцүү, мөн адил Sin(x) нь Cos(0, 5 ∏-x) -тэй тэнцүү. Дараа нь бид нарийн төвөгтэй функцийг ялгадаг - нэмэлт өнцгийн синус (х косинусын оронд).
Бид Cos(0, 5 ∏-x) (0, 5 ∏-x)' үржвэрийг авна, учир нь синус x-ийн дериватив нь косинус X-тэй тэнцүү байна. (0.5 ∏-x)'=-1 гэдгийг харгалзан бид косинусыг синусаар солих хоёр дахь томьёог Sin(x)=Cos(0.5 ∏-x) руу шилжүүлнэ. Одоо бид -Sin(x). Тиймээс косинусын дериватив y=Cos(x) функцийн хувьд y'=-Sin(x) олдлоо.
Квадрат косинусын дериватив
Косинусын деривативыг ашигладаг түгээмэл хэрэглэгддэг жишээ. y=Cos2(x) функц нь хэцүү. Бид эхлээд 2-р илтгэгчтэй чадлын функцийн дифференциалыг олно, энэ нь 2·Cos(x) болно, дараа нь дериватив (Cos(x))'-аар үржүүлнэ, энэ нь -Sin(x)-тэй тэнцүү байна. Бид y'=-2 Cos(x) Sin(x)-ийг авна. Бид давхар өнцгийн синус болох Sin(2x) томъёог хэрэглэхэд эцсийн хялбаршуулсанхариулт y'=-Sin(2x) гарна.
Гипербол функцүүд
Тэдгээрийг техникийн олон салбарыг судлахад ашигладаг: жишээлбэл, математикийн хувьд интегралыг тооцоолох, дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд тусалдаг. Тэдгээрийг төсөөлөлтэй тригонометрийн функцээр илэрхийлдэгаргумент, тиймээс гиперболын косинус ch(x)=Cos(i x), энд i нь төсөөллийн нэгж, гиперболын синус sh(x)=Sin(i x).
Гиперболын косинусын деривативыг маш энгийнээр тооцно.
y=функцийг авч үзье (ex+e-x) /2, энэ ба гипербол косинус ch(x). Бид хоёр илэрхийллийн нийлбэрийн деривативыг олох дүрэм, үүсмэлийн тэмдгээс тогтмол хүчин зүйлийг (Const) авах дүрмийг ашигладаг. Хоёрдахь гишүүн 0.5 e-x нь нийлмэл функц (түүний дериватив нь -0.5 e-x), 0.5 eх - эхний улирал. (ch(x)) '=((ex+e-x)/2)' гэж бичиж болно өөр аргаар: (0, 5 ex+0, 5 e-x)'=0, 5 e x-0, 5 e-x, учир нь дериватив (e - x)' нь -1 дахин e-x-тэй тэнцүү. Үр дүн нь ялгаа бөгөөд энэ нь гиперболын синус sh(x).Гаралт: (ch(x))'=sh(x).
Хэрхэн хийх жишээг харцгаая. y=ch(x
3+1) функцийн деривативыг тооцоол.Комплекс аргумент y'=sh(x) бүхий гипербол косинусын ялгах дүрмийн дагуу. 3+1) (x 3+1)', энд (x3+1)'=3 x 2+0. Хариулт: энэ функцийн дериватив нь 3 x
2sh(x3+1).
Үзэж буй функцүүдийн хүснэгтэн деривативууд y=ch(x) ба y=Cos(x)
Жишээг шийдвэрлэхдээ тэдгээрийг санал болгож буй схемийн дагуу ялгах бүрд шаардлагагүй, дүгнэлтийг ашиглахад хангалттай.
Жишээ. y=функцийг ялгахCos(x)+Cos2(-x)-Ch(5 x). Тооцоолоход хялбар (хүснэгтийн өгөгдлийг ашиглах), y'=-Sin(x) +Sin(2 x)-5 Sh(5 x).
