Логарифм: жишээ ба шийдэл

2024 Зохиолч: Angel Austin | [email protected]. Хамгийн сүүлд өөрчлөгдсөн: 2024-01-02 17:52

Таны мэдэж байгаагаар илэрхийллийг зэрэгтэй үржүүлэхэд илтгэгч нь үргэлж нэмэгддэг (a^ba^c=a^{b+ c). Энэхүү математикийн хуулийг Архимед гаргасан бөгөөд хожим 8-р зуунд математикч Вирасен бүхэл тоон үзүүлэлтүүдийн хүснэгтийг бүтээжээ. Тэд л логарифмын цаашдын нээлтэд үйлчилсэн хүмүүс юм. Энэ функцийг ашиглах жишээг энгийн нэмэх хүртэл төвөгтэй үржүүлгийг хялбарчлах шаардлагатай бараг бүх газраас олж болно. Хэрэв та энэ өгүүллийг уншихад 10 минут зарцуулбал бид логарифм гэж юу болох, түүнтэй хэрхэн ажиллах талаар тайлбарлах болно. Энгийн бөгөөд хүртээмжтэй хэл.}

Математикийн тодорхойлолт

Логарифм нь дараах хэлбэрийн илэрхийлэл юм: log_ab=c c" бөгөөд эцэст нь утгыг авахын тулд "a" суурийг өсгөх шаардлагатай. б". Логарифм дээр жишээн дээр дүн шинжилгээ хийцгээе, лог_{28 илэрхийлэл байна гэж бодъё. Хариултыг яаж олох вэ? Энэ нь маш энгийн, та 2-оос шаардлагатай зэрэг хүртэл 8 авах тийм зэрэг олох хэрэгтэй. Оюун ухаандаа хэд хэдэн тооцоо хийсний дараа бид 3-ын тоог авна! Мөн энэ нь үнэн, учир нь2-ыг 3-ын зэрэглэлд хүргэвэл 8 гэсэн хариултыг өгнө.}

Логарифмын төрөл

Олон сурагч, оюутнуудын хувьд энэ сэдэв ээдрээтэй, ойлгомжгүй мэт санагддаг ч үнэн хэрэгтээ логарифм нь тийм ч аймаар зүйл биш, гол зүйл бол тэдгээрийн ерөнхий утгыг ойлгож, шинж чанар, зарим дүрмийг санаж байх явдал юм. Гурван төрлийн логарифмын илэрхийлэл байдаг:

Натурал логарифм ln a, суурь нь Эйлерийн тоо (e=2, 7).
Аравтын логарифм lg a, суурь нь 10 тоо.
А>1 суурьтай дурын b тооны логарифм.

Тэдгээрийг тус бүрийг логарифмын теоремуудыг ашиглан хялбарчлах, багасгах, дараа нь нэг логарифм болгон бууруулах зэрэг стандарт аргаар шийддэг. Логарифмын зөв утгыг олж авахын тулд тэдгээрийн шинж чанар, тэдгээрийг шийдвэрлэх үйлдлийн дарааллыг санах хэрэгтэй.

Дүрэм ба зарим хязгаарлалт

Математикт аксиом гэж хүлээн зөвшөөрөгдсөн хэд хэдэн дүрэм-хязгаарлалтууд байдаг, өөрөөр хэлбэл тохиролцох боломжгүй, үнэн байдаг. Жишээлбэл, тоог тэгээр хуваах боломжгүй, сөрөг тооноос тэгш үндэс авах боломжгүй. Логарифм нь мөн өөрийн гэсэн дүрмүүдтэй бөгөөд үүнийг дагаснаар та урт, багтаамжтай логарифмын илэрхийлэлтэй ч хэрхэн ажиллахыг хялбархан сурах боломжтой:

"a"-ын суурь нь үргэлж тэгээс их байх ёстой бөгөөд 1-тэй тэнцүү байх ёсгүй, эс тэгвээс илэрхийлэл утгаа алдах болно, учир нь "1" ба "0" нь ямар ч хэмжээгээр үргэлж байдаг. тэдгээрийн утгатай тэнцүү;
хэрэв > 0 бол ab>0,"c" нь тэгээс их байх ёстой.

Логарифмыг хэрхэн шийдэх вэ?

Жишээ нь 10^x=100 тэгшитгэлийн хариултыг олох даалгавар өгсөн. Энэ нь маш амархан, та ийм хүчийг сонгох хэрэгтэй, аравны тоог өсгөх хэрэгтэй, бид 100 авах. Энэ нь мэдээжийн хэрэг, квадрат хүч! 10^2=100.

Одоо энэ илэрхийллийг логарифм хэлбэрээр илэрхийлье. Бид log_{10100=2-ыг авдаг. Логарифмыг шийдвэрлэх үед бүх үйлдэл нь өгөгдсөн тоог олж авахын тулд логарифмын суурийг оруулах шаардлагатай хүчийг олоход бараг нийлдэг.}

Үл мэдэгдэх зэргийн утгыг үнэн зөв тодорхойлохын тулд зэрэглэлийн хүснэгттэй ажиллаж сурах хэрэгтэй. Энэ нь иймэрхүү харагдаж байна:

Таны харж байгаагаар хэрэв та техникийн сэтгэлгээтэй, үржүүлэх хүснэгтийн мэдлэгтэй бол зарим илтгэгчийг зөн совингоор таах боломжтой. Гэсэн хэдий ч илүү том утгууд нь цахилгаан хүснэгтийг шаарддаг. Үүнийг математикийн нарийн төвөгтэй сэдвээр юу ч ойлгодоггүй хүмүүс ч ашиглаж болно. Зүүн баганад тоонууд (суурь а), тоонуудын дээд эгнээ нь а тоог өсгөсөн c чадлын утга юм. Уулзвар дээр нүднүүд хариулт болох тоонуудын утгыг тодорхойлно (ac=b). Жишээлбэл, 10 тоотой хамгийн эхний нүдийг аваад квадрат болгоод бид хоёр нүдний уулзварт заасан 100 утгыг авна. Бүх зүйл маш энгийн бөгөөд хялбар тул хамгийн жинхэнэ хүмүүнлэгч хүртэл ойлгох болно!

Тэгшитгэл ба тэгш бус байдал

Хэзээ болох нь тодорхой боллооТодорхой нөхцөлд экспонент нь логарифм юм. Иймд аливаа математикийн тоон илэрхийллийг логарифм тэгшитгэл хэлбэрээр бичиж болно. Жишээлбэл, 3⁴=81-ийг 3-р суурьтай 81-ийн логарифм хэлбэрээр бичиж болно, энэ нь дөрөв (log₃81=4). Сөрөг градусын хувьд дүрэм ижил байна: 2^-5=1/32-г логарифм хэлбэрээр бичвэл log_{2 (1/32) авна.)=-5. Математикийн хамгийн сонирхолтой хэсгүүдийн нэг бол "логарифм" гэсэн сэдэв юм. Бид тэгшитгэлийн жишээ, шийдлүүдийг шинж чанаруудыг нь судалсны дараа бага зэрэг доогуур авч үзэх болно. Одоохондоо тэгш бус байдал ямар байх, тэдгээрийг тэгшитгэлээс хэрхэн ялгах талаар харцгаая.}

Логарифмын жишээг хэрхэн шийдвэрлэх талаар

Дараах илэрхийлэл өгөгдсөн: log_{2(x-1) > 3 - энэ нь логарифмын тэгш бус байдал, учир нь үл мэдэгдэх "x" утга нь "х"-ийн тэмдгийн доор байна. логарифм. Энэ илэрхийлэл нь мөн хоёр утгыг харьцуулдаг: хүссэн тооны суурь хоёр логарифм нь гурваас их байна.}

Логарифм тэгшитгэл ба тэгш бус байдлын хамгийн чухал ялгаа нь логарифм бүхий тэгшитгэлүүд (жишээ нь - логарифм₂x=√9) _{гэсэн утгатай. Хариултанд нэг буюу хэд хэдэн тодорхой тоон утгыг зааж өгөх бөгөөд тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ хүлээн зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээ ба энэ функцийн таслах цэгийг хоёуланг нь тодорхойлно. Үүний үр дүнд хариулт нь тэгшитгэлийн хариулт шиг бие даасан тоонуудын энгийн багц биш, харин тасралтгүй цуваа эсвэл тооны багц юм.}

Логарифмын үндсэн теоремууд

Логарифмын утгыг олох энгийн даалгавруудыг шийдвэрлэхдээ та түүний шинж чанарыг мэдэхгүй байж магадгүй. Гэхдээ логарифмын тэгшитгэл буюу тэгш бус байдлын тухай ярихад юуны өмнө логарифмын бүх үндсэн шинж чанарыг тодорхой ойлгож, практикт хэрэглэх шаардлагатай. Бид дараа нь тэгшитгэлийн жишээнүүдтэй танилцах болно, эхлээд шинж чанар бүрийг илүү нарийвчлан шинжилье.

Үндсэн таних тэмдэг нь дараах байдалтай байна: alogaB=B. Энэ нь зөвхөн a нь 0-ээс их, нэгтэй тэнцүү биш, B нь тэгээс их байвал л хэрэгжинэ.

Бүтээгдэхүүний логарифмыг дараах томъёогоор илэрхийлж болно: log_d(s₁s_2)=logd_s1 _{+ log}d_s2. _{Энэ тохиолдолд заавал биелүүлэх нөхцөл нь: d, s}1 _{болон s}2 _{> 0; a≠1. Та энэ логарифмын томьёоны нотолгоог жишээ болон шийдлээр өгч болно.} a_s1 _=f1 _{болон лог}a_{s оруулах} 2_=f2_{, дараа нь a}f1^=s1_{, a} f2^=s2. _{Бид үүнийг ойлгож байна}1_s2 _=af1^a f2^=af1+f2 ^{(зэрэг шинж чанарууд), цаашлаад тодорхойлолтоор: log}a_(s1 _s2_)=f1_{+ f}2_=log a_{s1 + log}a_s2, _{нотлох ёстой байсан.}

Хэсгийн логарифм дараах байдлаар харагдана: log_a(s_1/s₂)=бүртгэл _as₁- log_as_2.

Томьёо хэлбэрийн теорем нь дараах хэлбэртэй байна: log_a^qbⁿ =n/q log_ab.

Энэ томьёог "логарифмын зэрэглэлийн шинж чанар" гэж нэрлэдэг. Энэ нь ердийн зэрэглэлийн шинж чанаруудтай төстэй бөгөөд бүх математик нь ердийн постулатууд дээр тулгуурладаг тул энэ нь гайхмаар зүйл биш юм. Нотлох баримтыг харцгаая.

Let log_ab=t, бид ^t=b-г авна. Хэрэв та хоёр талыг m хүртэл өсгөвөл: a^tn=b^;

гэхдээ a^tn=(a^q)^nt/q=b ^{, тиймээс log}aq _bn=(nt)/t, дараа нь log^a_q b_n=n/q log^ab. Теорем батлагдсан.

Асуудал ба тэгш бус байдлын жишээ

Логарифмын бодлогуудын хамгийн түгээмэл төрөл бол тэгшитгэл ба тэгш бус байдлын жишээ юм. Эдгээрийг бараг бүх асуудлын номноос олж болно, мөн математикийн шалгалтын заавал байх ёстой хэсэгт багтсан болно. Их сургуульд элсэх эсвэл математикийн шалгалтанд тэнцэхийн тулд та ийм асуудлыг хэрхэн зөв шийдвэрлэхээ мэдэх хэрэгтэй.

Харамсалтай нь логарифмын үл мэдэгдэх утгыг шийдвэрлэх, тодорхойлох ганц төлөвлөгөө, схем байхгүй ч математик тэгш бус байдал эсвэл логарифмын тэгшитгэл бүрт тодорхой дүрмийг хэрэглэж болно. Юуны өмнө та илэрхийллийг хялбаршуулж эсвэл ерөнхий хэлбэрт оруулж болох эсэхийг олж мэдэх хэрэгтэй. Хэрэв та тэдгээрийн шинж чанарыг зөв ашиглавал урт логарифмын илэрхийлэлийг хялбарчилж болно. Тэдэнтэй удахгүй танилцацгаая.

Логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээБидний өмнө ямар төрлийн логарифм байгааг тодорхойлох шаардлагатай: илэрхийллийн жишээ нь натурал логарифм эсвэл аравтын нэгийг агуулж болно.

Аравтын бутархай логарифмын жишээ энд байна: ln100, ln1026. Тэдгээрийн шийдэл нь 10-р суурь нь 100 ба 1026-тай тэнцүү байх түвшинг тодорхойлох шаардлагатай болдог. Байгалийн логарифмын шийдлийн хувьд логарифмын ижилсэл эсвэл тэдгээрийн шинж чанарыг ашиглах ёстой. Янз бүрийн төрлийн логарифмын бодлого бодох жишээг харцгаая.

Логарифмын томьёог хэрхэн ашиглах вэ: жишээ ба шийдлийн хамт

Тиймээс логарифмын тухай үндсэн теоремуудыг ашиглах жишээг харцгаая.

Бүтээгдэхүүний логарифмын шинж чанарыг b тооны том утгыг энгийн хүчин зүйл болгон задлах шаардлагатай ажлуудад ашиглаж болно. Жишээ нь log₂4 + log₂128=log₂(4128)=log_{2512. Хариулт нь 9.}

лог₄8=log_2² 2³ =3/2 log_{22=1, 5 - таны харж байгаагаар логарифмын зэрэглэлийн дөрөв дэх шинж чанарыг ашигласнаар бид эхлээд харахад шийдэж чадсан. нийлмэл бөгөөд шийдэгдэхгүй илэрхийлэл. Таны хийх ёстой зүйл бол суурь дээр хүчин зүйл хийж, дараа нь логарифмын тэмдгээс хүчийг авах явдал юм.}

Шалгалтын даалгавар

Элсэлтийн шалгалтанд ихэвчлэн логарифм олддог, ялангуяа Улсын нэгдсэн шалгалтад (бүх сургуулийн төгсөгчдийн улсын шалгалт) логарифмын бодлого их гардаг. Ихэвчлэн эдгээр ажлууд нь зөвхөн А хэсэгт байдаггүй (хамгийн ихшалгалтын хялбар тестийн хэсэг), мөн С хэсэгт (хамгийн хэцүү, том даалгавар). Шалгалт нь "Байгалийн логарифмууд" сэдвийн талаар үнэн зөв, төгс мэдлэгтэй байхыг шаарддаг.

Жишээ болон асуудлын шийдлийг шалгалтын албан ёсны хувилбараас авсан болно. Ийм ажлууд хэрхэн шийдэгдэж байгааг харцгаая.

Өгөгдсөн лог₂(2x-1)=4. Шийдэл:

илэрхийлэлийг дахин бичиж, бага зэрэг хялбарчилж log_2(2x-1)=22^{, логарифмын тодорхойлолтоор бид 2x-1=2}4^{, иймээс 2x болно.=17; x=8, 5.}

Хэд хэдэн удирдамжийг дагаснаар та логарифмын тэмдгийн дор байгаа илэрхийлэл агуулсан бүх тэгшитгэлийг хялбархан шийдэж чадна.

Бүх логарифмуудыг нэг суурь болгон багасгах нь хамгийн сайн арга бөгөөд ингэснээр шийдэл нь төвөгтэй, төөрөгдүүлэхгүй байх болно.
Логарифмын тэмдгийн дор байгаа бүх илэрхийлэл эерэг гэж тэмдэглэгдсэн тул логарифмын тэмдгийн доор байгаа илэрхийллийн илтгэгчийн суурь болон түүний суурийг үржүүлэхэд логарифмын доор үлдэх илэрхийлэл эерэг байх ёстой.