Цэгээс хавтгай эсвэл шулуун шугам хүртэлх зайг мэдэх нь орон зай дахь дүрсүүдийн эзлэхүүн болон гадаргуугийн талбайг тооцоолох боломжийг олгоно. Геометрийн энэ зайг тооцоолохдоо заасан геометрийн объектуудын харгалзах тэгшитгэлийг ашиглан гүйцэтгэнэ. Үүнийг тодорхойлохын тулд ямар томьёо ашиглаж болохыг бид нийтлэлдээ харуулах болно.
Шугаман ба хавтгай тэгшитгэл
Цэгээс хавтгай ба шулуун хүртэлх зайг тодорхойлох томьёо өгөхөөс өмнө эдгээр объектыг ямар тэгшитгэлээр дүрсэлж байгааг харуулъя.
Цэгийг тодорхойлохын тулд өгөгдсөн координатын тэнхлэгүүдийн систем дэх координатын багцыг ашиглана. Энд бид зөвхөн тэнхлэгүүд нь ижил нэгж векторуудтай, харилцан перпендикуляр байдаг декартын тэгш өнцөгт системийг л авч үзэх болно. Хавтгай дээр дурын цэгийг хоёр координатаар, орон зайд гурваар дүрсэлсэн.
Шулуун шугамыг тодорхойлохын тулд янз бүрийн төрлийн тэгшитгэлийг ашигладаг. Өгүүллийн сэдвийн дагуу бид танилцуулж байнатэдгээрийн зөвхөн хоёр нь хоёр хэмжээст орон зайд шугамыг тодорхойлоход ашиглагддаг.
Вектор тэгшитгэл. Энэ нь дараах тэмдэглэгээтэй байна:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
Энд байгаа эхний гишүүн нь шугаман дээр байгаа мэдэгдэж буй цэгийн координатыг илэрхийлнэ. Хоёрдахь гишүүн нь чиглэлийн векторын координатыг дурын тоогоор үржүүлсэн λ юм.
Ерөнхий тэгшитгэл. Түүний тэмдэглэгээ нь дараах байдалтай байна:
Ax + By + C=0;
Энд A, B, C нь зарим коэффициент юм.
Ерөнхий тэгшитгэлийг хавтгай дээрх шугамыг тодорхойлоход илүү ашигладаг боловч хавтгай дээрх цэгээс шулуун хүртэлх зайг олохын тулд вектор илэрхийлэлтэй ажиллах нь илүү тохиромжтой.
Гурван хэмжээст орон зай дахь хавтгайг мөн математикийн хэд хэдэн аргаар бичиж болно. Гэсэн хэдий ч ихэнх асуудалд ерөнхий тэгшитгэл байдаг бөгөөд үүнийг дараах байдлаар бичдэг:
Ax + By + Cz + D=0.
Энэ тэмдэглэгээний бусадтай харьцуулахад давуу тал нь хавтгайд перпендикуляр векторын координатуудыг тодорхой агуулсан байдаг. Энэ векторыг чиглүүлэгч гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь нормын чиглэлтэй давхцаж, координат нь (A; B; C) тэнцүү байна.
Дээрх илэрхийлэл нь хоёр хэмжээст орон зайд шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл бичих хэлбэртэй давхцаж байгаа тул бодлого бодохдоо эдгээр геометрийн объектуудыг төөрөгдүүлэхээс болгоомжлох хэрэгтэй.
Цэг ба шугамын хоорондох зай
Шулуун ба хоёрын хоорондох зайг хэрхэн тооцоолохыг үзүүльехоёр хэмжээст орон зайд цэг.
Зарим цэг Q(x1; y1) болон өгөгдсөн мөр байх болтугай:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
Шугам ба цэгийн хоорондох зайг Q цэгээс түүн дээр буулгасан перпендикуляр хэрчмийн уртыг ойлгоно.
Энэ зайг тооцоолохын өмнө Q координатыг энэ тэгшитгэлд орлуулах хэрэгтэй. Хэрэв тэд үүнийг хангаж байвал Q нь өгөгдсөн мөрөнд хамаарах бөгөөд харгалзах зай нь тэгтэй тэнцүү байна. Хэрэв цэгийн координатууд нь тэгш байдалд хүргэхгүй бол геометрийн объектуудын хоорондын зай тэг биш байна. Үүнийг дараах томъёогоор тооцоолж болно:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Энд P нь шулуун шугамын дурын цэг бөгөөд энэ нь PQ¯ векторын эхлэл юм. u¯ вектор нь шулуун шугамын чиглүүлэгч сегмент бөгөөд түүний координат нь (a; b).
Энэ томьёог ашиглахын тулд тоологч дахь хөндлөн үржвэрийг тооцоолох чадвартай байх шаардлагатай.
Цэг болон шугамын асуудал
Та Q(-3; 1) ба тэгшитгэлийг хангасан шулуун шугамын хоорондох зайг олох хэрэгтэй гэж бодъё:
y=5x -2.
Илэрхийлэлд Q-ийн координатыг орлуулснаар Q шулуун дээр хэвтэхгүй байгаа эсэхийг шалгана. Хэрэв та энэ тэгшитгэлийг вектор хэлбэрээр илэрхийлж байгаа бол дээрх догол мөрөнд өгөгдсөн d-ийн томьёог хэрэглэж болно. Үүнийг ингэж хийцгээе:
(x; y)=(x; 5x -2)=>
(x; y)=(x; 5x) + (0; -2)=>
(x; y)=x(1; 5) + (0; -2)=>
(x; y)=(0; -2) + λ(1; 5).
Одоо энэ шулуун дээрх дурын цэгийг жишээ нь (0; -2) авч, түүнээс эхэлж Q: -ээр төгссөн векторыг байгуулъя.
(-3; 1) - (0; -2)=(-3; 3).
Одоо томъёог ашиглан зайг тодорхойлоход бид дараахыг авна:
d=|[(-3; 3)(1; 5)]|/|(1; 5)|=18/√26 ≈ 3, 53.
Цэгээс онгоц хүртэлх зай
Шулуун шугамын нэгэн адил хавтгай ба огторгуйн цэгийн хоорондох зайг тухайн цэгээс хавтгайд перпендикуляр буулгаж, огтлолцох хэрчмийн уртыг ойлгоно.
Сансар огторгуйд цэгийг гурван координатаар өгдөг. Хэрэв тэдгээр нь тэнцүү бол (x1; y1; z1), хоёрын хоорондох зай хавтгай ба тэр цэгийг томъёогоор тооцоолж болно:
d=|Ax1 + By1 + Cz1+ D|/√(A2+B2+C2).
Томьёог ашигласнаар зөвхөн хавтгайгаас шулуун хүртэлх зайг олох боломжтой гэдгийг анхаарна уу. Хавтгайтай перпендикуляр хэрчим огтлолцох цэгийн координатыг олохын тулд энэ хэрчим хамаарах шулууны тэгшитгэлийг бичиж, дараа нь энэ шулуун болон өгөгдсөн хавтгайн нийтлэг цэгийг олох шаардлагатай.
Онгоц ба цэгийн асуудал
Цэг нь координаттай (3; -1; 2) бөгөөд хавтгай нь дараах байдлаар өгөгдсөн бол цэгээс хавтгай хүртэлх зайг ол.
-y + 3z=0.
Харгалзах томьёог ашиглахын тулд эхлээд коэффициентийг бичнэөгсөн онгоц. Хувьсагч х ба чөлөөт гишүүн байхгүй тул A ба D коэффициентүүд тэгтэй тэнцүү байна. Бидэнд:
A=0; B=-1; C=3; D=0.
Энэ хавтгай эхийг дайран өнгөрч, x тэнхлэг нь түүнд хамаарах болохыг харуулахад хялбар.
Цэгийн координат ба хавтгайн коэффициентийг d зайны томъёонд орлуулбал:
d=|03 + (-1)(-1) + 23 + 0|/√(1 +9)=7/√10 ≈ 2, 21.
Хэрэв та цэгийн х-координатыг өөрчилбөл d зай өөрчлөгдөхгүй гэдгийг анхаарна уу. Энэ баримт нь цэгийн багц (x; -1; 2) нь өгөгдсөн хавтгайтай параллель шулуун шугам үүсгэдэг гэсэн үг юм.
