Эртний Египетэд ч гэсэн шинжлэх ухаан гарч ирсэн бөгөөд түүний тусламжтайгаар эзэлхүүн, талбай болон бусад хэмжигдэхүүнийг хэмжих боломжтой байв. Үүний түлхэц болсон нь пирамидуудыг барих явдал байв. Үүнд олон тооны нарийн төвөгтэй тооцоолол орсон. Мөн барилга барихаас гадна газрыг зөв хэмжих нь чухал байсан. Тиймээс "геометр" хэмээх шинжлэх ухаан нь "geos" - дэлхий ба "metrio" - би хэмждэг грек үгнээс үүссэн.
Геометрийн хэлбэрийг судлахад одон орны үзэгдлүүдийг ажиглах замаар дөхөм болсон. Мөн аль хэдийн МЭӨ 17-р зуунд. д. Тойргийн талбай, бөмбөгний эзэлхүүнийг тооцоолох анхны аргууд олдсон бөгөөд хамгийн чухал нээлт нь Пифагорын теорем байв.
Гурвалжин дотор бичээстэй тойргийн тухай теоремын мэдэгдэл дараах байдалтай байна:
Гурвалжинд зөвхөн нэг тойрог бичиж болно.
Ийм зохицуулалтаар тойргийг сийлж, гурвалжинг тойргийн ойролцоо тойрсон болно.
Гурвалжинд бичээстэй тойргийн төвийн тухай теоремын мэдэгдэл дараах байдалтай байна:
Тойргийн төв цэггурвалжин, энэ гурвалжны биссектрисын огтлолцох цэг байна.
Дугуй тэгш өнцөгт гурвалжинд сийлсэн тойрог
Тойрог бүх талдаа дор хаяж нэг цэгээр хүрч байвал гурвалжин дотор бичээстэй гэж үзнэ.
Доорх зурагт тэгш өнцөгт гурвалжин доторх тойрог харагдаж байна. Гурвалжинд бичээстэй тойргийн тухай теоремын нөхцөл хангагдсан - энэ нь R, S, Q цэгүүдэд AB, BC, CA гурвалжны бүх талыг тус тус шүргэж байна.
Тэнцэр өнцөгт гурвалжны нэг шинж чанар нь бичээстэй тойрог нь шүргэлцэх цэгээр суурийг хоёр хуваадаг (BS=SC) бөгөөд бичээстэй тойргийн радиус нь энэ гурвалжны өндөр (SP) гуравны нэгтэй тэнцүү байна.=AS/3).
Гурвалжны тойрог теоремын шинж чанарууд:
- Гурвалжны нэг оройноос тойрогтой хүрэлцэх цэг хүртэлх хэсгүүд тэнцүү байна. Зураг дээр AR=AQ, BR=BS, CS=CQ.
- Тойргийн радиус (бичсэн) нь гурвалжны хагас периметрт хуваагдсан талбай юм. Жишээлбэл, та зурган дээрхтэй ижил үсгийн тэмдэглэгээ бүхий ижил өнцөгт гурвалжинг зурах хэрэгтэй: суурь BC \u003d 3 см, өндөр AS \u003d 2 см, AB \u003d BC талуудыг тус тус авна. тус бүр 2.5 см. Бид булан бүрээс биссектрис зурж, тэдгээрийн огтлолцлын газрыг P гэж тэмдэглэв. Бид уртыг нь олох ёстой PS радиустай тойрог бичнэ. Суурийн 1/2-ийг өндрөөр үржүүлснээр гурвалжны талбайг олж мэдэх боломжтой: S=1/2DCAS=1/232=3 см2 . Хагас периметргурвалжин нь бүх талуудын нийлбэрийн 1/2-тэй тэнцүү байна: P \u003d (AB + BC + SA) / 2 \u003d (2.5 + 3 + 2.5) / 2 \u003d 4 см; PS=S/P=3/4=0.75 см2, энэ нь захирагчаар хэмжихэд бүрэн үнэн юм. Үүний дагуу гурвалжинд бичээстэй тойргийн тухай теоремын шинж чанар үнэн болно.
Тэгш өнцөгт гурвалжин дотор дүрслэгдсэн тойрог
Тэгш өнцөгтэй гурвалжны хувьд гурвалжин дотортой тойргийн теоремын шинж чанарууд хэрэгжинэ. Үүнээс гадна Пифагорын теоремын постулатуудтай холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх чадварыг нэмж оруулсан болно.
Тэгш өнцөгт гурвалжинд бичээстэй тойргийн радиусыг дараах байдлаар тодорхойлж болно: хөлийн уртыг нэмж, гипотенузын утгыг хасаад гарсан утгыг 2-т хуваана.
Гурвалжны талбайг тооцоолоход туслах сайн томьёо байдаг - периметрийг энэ гурвалжинд бичигдсэн тойргийн радиусаар үржүүлнэ.
Тойргийн теоремын томъёолол
Планиметрийн хувьд бичээстэй ба хязгаарлагдмал дүрсүүдийн тухай теоремууд чухал. Тэдний нэг нь ингэж сонсогдож байна:
Гурвалжинд бичээстэй тойргийн төв нь түүний булангаас татсан биссектриссүүдийн огтлолцлын цэг юм.
Доорх зурагт энэ теоремын баталгааг харуулж байна. Өнцгийн тэгш байдал, үүний дагуу зэргэлдээх гурвалжнуудын тэгш байдлыг харуулав.
Гурвалжинд бичээстэй тойргийн төвийн тухай теорем
Гурвалжинд сийлсэн тойргийн радиус,Шүргэх цэгүүд нь гурвалжны талуудтай перпендикуляр байна.
"Гурвалжинд сийлсэн тойргийн тухай теоремыг томьёолох" даалгаврыг гайхах хэрэггүй, учир нь энэ бол геометрийн үндсэн бөгөөд энгийн мэдлэгийн нэг бөгөөд практикийн олон асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд бүрэн эзэмших шаардлагатай. бодит амьдрал.
