Маклаурин цуврал болон зарим функцийг өргөтгөх

2024 Зохиолч: Angel Austin | [email protected]. Хамгийн сүүлд өөрчлөгдсөн: 2023-12-17 05:36

Өгөгдсөн цувааны нийлэх интервалд хамаарах зарим зэрэглэлийн цувааны нийлбэр нь тасралтгүй ба хязгааргүй тооны дахин ялгаатай функц болж хувирдаг гэдгийг дээд математикийн оюутнууд мэдэж байх ёстой. Асуулт гарч ирнэ: өгөгдсөн дурын функц f(x) нь зарим зэрэглэлийн цувааны нийлбэр мөн гэж батлах боломжтой юу? Өөрөөр хэлбэл, ямар нөхцөлд f(x) функцийг зэрэглэлийн цуваагаар илэрхийлж болох вэ? Энэ асуултын ач холбогдол нь f(x) функцийг хүчний цувааны эхний хэдэн гишүүний нийлбэрээр, өөрөөр хэлбэл олон гишүүнтээр орлуулах боломжтойд оршино. Функцийг нэлээд энгийн илэрхийлэл буюу олон гишүүнтээр орлуулах нь математик анализын зарим асуудлыг шийдвэрлэхэд тохиромжтой, тухайлбал: интегралыг шийдвэрлэх, дифференциал тэгшитгэлийг тооцоолох гэх мэт.

Зарим f(х) функцийн хувьд сүүлийнхийг оруулан (n+1)-р эрэмбийн деривативуудыг хөрш (α _{)-д тооцож болох нь батлагдсан.- R; x}0 _{+ R) зарим цэгийн x=α томъёо хүчинтэй байна:}

Энэ томъёог нэрт эрдэмтэн Брук Тэйлорын нэрээр нэрлэсэн. Өмнөх цувралаас олж авсан цувралыг Маклаурин цуврал гэж нэрлэдэг:

Маклаурин цувралд өргөтгөх боломжтой болгодог дүрэм:

1. Эхний, хоёр дахь, гуравдугаар… дарааллын деривативыг тодорхойлно.
2. x=0 дээрх деривативууд хэдтэй тэнцүү болохыг тооцоол.
3. Энэ функцийн Маклаурин цувралыг тэмдэглээд дараа нь түүний нийлэх интервалыг тодорхойл.
4. Маклаурин томъёоны үлдэгдэл байх интервалыг (-R;R) тодорхойлно

R (x) -> 0 n -> хязгааргүй. Хэрэв байгаа бол түүн дэх f(x) функц нь Маклаурины цувралын нийлбэртэй давхцах ёстой.

Одоо бие даасан функцүүдийн хувьд Маклаурин цувралыг авч үзье.

1. Тиймээс эхнийх нь f(x)=e^x байх болно. Мэдээжийн хэрэг, онцлог шинж чанарынхаа дагуу ийм функц нь янз бүрийн эрэмбийн деривативуудтай бөгөөд f^(k)(x)=e^x, k нь бүгдтэй тэнцүү. натурал тоонууд. x=0 гэж орлуулъя. Бид f^(k)(0)=e⁰=1, k=1, 2… авна. ^{иймэрхүү харагдах болно:}

2. f(x)=sin x функцийн Маклаурин цуврал. Бүх үл мэдэгдэх функц нь f^'(x)=cos x=sin(x+n/2), f ^{''-аас гадна деривативтай болохыг нэн даруй тодруул. (x)=-sin x=sin(x+2n/2)…, f}(k)^{(x)=sin(x+k n/2), Энд k нь дурын натурал тоотой тэнцүү. Өөрөөр хэлбэл, энгийн тооцоолол хийсний дараа бид f(x)=sin x-ийн цуваа дараах байдалтай байна гэсэн дүгнэлтэд хүрч болно:}

3. Одоо f(x)=cos x функцийг авч үзье. Тэр үл мэдэгдэх бүх зүйлд зориулагдсандурын дарааллын деривативтай ба |f^(k)(x)|=|cos(x+kp/2)|<=1, k=1, 2… Дахин зарим тооцоолол хийсний дараа f(x)=cos x-ийн цуваа дараах байдалтай байна:

Тиймээс бид Маклаурины цувралд өргөжүүлж болох хамгийн чухал функцуудыг жагсаасан боловч зарим функцэд зориулж Тэйлорын цувралаар нэмж оруулсан болно. Одоо бид тэдгээрийг жагсаах болно. Тейлор, Маклаурины цувралууд нь дээд математикийн цувралыг шийдвэрлэх практикийн чухал хэсэг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тэгэхээр, Тейлорын цуврал.

1. Эхнийх нь f-ii f(x)=ln(1+x)-ийн цуврал байх болно. Өмнөх жишээнүүдийн нэгэн адил бидэнд f (x)=ln (1 + x) өгөгдсөн бол бид Маклаурин цувралын ерөнхий хэлбэрийг ашиглан цуваа нэмж болно. Гэсэн хэдий ч, энэ функцийн хувьд Маклаурины цувралыг илүү хялбараар авч болно. Тодорхой геометрийн цувааг нэгтгэсний дараа бид энэ түүврийн f(x)=ln(1+x) цувралыг авна:

2. Манай нийтлэлийн эцсийнх болох хоёр дахь нь f (x) u003d arctg x-ийн цуврал байх болно. [-1;1] интервалд хамаарах x-ийн хувьд өргөтгөл хүчинтэй байна:

Болоо. Энэ нийтлэлд дээд математик, ялангуяа эдийн засаг, техникийн их сургуулиудад хамгийн өргөн хэрэглэгддэг Тейлор, Маклаурин цувралуудыг судалсан.