Сургуульд ч гэсэн бүх сурагчид "Евклидийн геометр" гэсэн ойлголттой танилцдаг бөгөөд түүний үндсэн заалтууд нь цэг, хавтгай, шулуун, хөдөлгөөн зэрэг геометрийн элементүүд дээр суурилсан хэд хэдэн аксиомуудад төвлөрдөг. Тэд бүгд нийлээд "Евклидийн орон зай" гэсэн нэр томъёогоор эртнээс мэдэгдэж байсан зүйлийг бүрдүүлдэг.
Векторуудын скаляр үржвэрийн тухай ойлголт дээр тулгуурласан Евклидийн орон зай нь хэд хэдэн шаардлагыг хангасан шугаман (аффин) орон зайн онцгой тохиолдол юм. Нэгдүгээрт, векторуудын скаляр үржвэр нь туйлын тэгш хэмтэй, өөрөөр хэлбэл (x;y) координаттай вектор нь координаттай (y;x) вектортой тоон хувьд ижил боловч чиглэлийн хувьд эсрэг байна.
Хоёрдугаарт, векторын скаляр үржвэрийг өөртэй нь хийвэл энэ үйлдлийн үр дүн эерэг байх болно. Цорын ганц үл хамаарах зүйл нь энэ векторын анхны болон эцсийн координат нь тэгтэй тэнцүү байх болно: энэ тохиолдолд түүний үржвэр нь мөн тэгтэй тэнцүү байх болно.
Гуравдугаарт, скаляр үржвэр нь тархалттай, өөрөөр хэлбэл түүний координатуудын аль нэгийг хоёр утгын нийлбэр болгон задлах боломжтой бөгөөд энэ нь векторуудын скаляр үржүүлгийн эцсийн үр дүнд ямар нэгэн өөрчлөлт оруулахгүй. Эцэст нь, дөрөвдүгээрт, векторуудыг ижил бодит тоогоор үржүүлэхэд тэдгээрийн скаляр үржвэр мөн адил хүчин зүйлээр нэмэгдэнэ.
Хэрэв эдгээр дөрвөн нөхцөл хангагдсан бол бид Евклидийн орон зайтай гэж итгэлтэйгээр хэлж чадна.
Евклидийн орон зайг практик талаас нь дараах тодорхой жишээгээр тодорхойлж болно:
- Хамгийн энгийн тохиолдол бол геометрийн үндсэн хуулиудын дагуу тодорхойлогдсон скаляр үржвэртэй векторуудын багц байх явдал юм.
- Вектороор скаляр нийлбэр эсвэл үржвэрийг тодорхойлсон өгөгдсөн томьёотой бодит тоонуудын тодорхой хязгаарлагдмал багцыг хэлж байгаа бол Евклидийн орон зайг мөн авна.
- Евклидийн орон зайн онцгой тохиолдол нь тэг орон зай гэж нэрлэгддэг бөгөөд хэрэв хоёр векторын скаляр урт тэгтэй тэнцүү байвал гарна.
Евклидийн орон зай нь хэд хэдэн өвөрмөц шинж чанартай байдаг. Нэгдүгээрт, скаляр коэффициентийг хаалтанд скаляр үржвэрийн эхний ба хоёр дахь хүчин зүйлээс хоёуланг нь авч болно, үүнээс гарах үр дүн ямар ч байдлаар өөрчлөгдөхгүй. Хоёрдугаарт, скалярын эхний элементийн тархалтын хамтБүтээгдэхүүний хувьд хоёр дахь элементийн тархалт нь бас нөлөөлдөг. Түүнчлэн векторын скаляр нийлбэрээс гадна вектор хасах тохиолдолд тархалт бас явагдана. Эцэст нь, гуравдугаарт, векторыг скаляраар тэгээр үржүүлэхэд үр дүн нь мөн тэг болно.
Тиймээс Евклидийн орон зай нь скаляр үржвэр гэх мэт ойлголтоор тодорхойлогддог векторуудын бие биенээсээ харилцан байрлалтай холбоотой асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг хамгийн чухал геометрийн ойлголт юм.
