Хавтгай орон зайд судалдаг геометрийн чухал объект бол шулуун шугам юм. Гурван хэмжээст орон зайд шулуун шугамаас гадна хавтгай байдаг. Хоёр объект хоёулаа чиглэлийн вектор ашиглан тодорхойлогддог. Энэ юу вэ, эдгээр векторууд нь шулуун ба хавтгайн тэгшитгэлийг тодорхойлоход хэрхэн ашиглагддаг вэ? Эдгээр болон бусад асуултыг нийтлэлд авч үзэх болно.
Шууд шугам ба түүнийг хэрхэн тодорхойлох вэ
Оюутан бүр ямар геометрийн объектын тухай ярьж байгаагаа сайн мэддэг. Математикийн үүднээс авч үзвэл шулуун шугам нь цэгүүдийн багц бөгөөд тэдгээр нь дурын хосоор холбогдсон тохиолдолд параллель векторуудын багцад хүргэдэг. Шугамын энэ тодорхойлолтыг хоёр болон гурван хэмжээст аль алинд нь тэгшитгэл бичихэд ашигладаг.
Нэг хэмжээст объектыг тайлбарлахын тулд доорх жагсаалтад жагсаасан янз бүрийн төрлийн тэгшитгэлүүдийг ашигладаг:
- ерөнхий үзэл;
- параметр;
- вектор;
- каноник эсвэл тэгш хэмтэй;
- сегментүүдэд.
Эдгээр зүйл бүр бусдаасаа давуу талтай. Жишээлбэл, сегмент дэх тэгшитгэлийг координатын тэнхлэгүүдтэй харьцуулахад шулуун шугамын үйл ажиллагааг судлахад ашиглахад тохиромжтой, ерөнхий тэгшитгэл нь өгөгдсөн шулуун шугамд перпендикуляр чиглэлийг олох, түүнчлэн түүний өнцгийг тооцоолоход тохиромжтой. x тэнхлэгтэй огтлолцох (хавтгай тохиолдолд).
Энэ өгүүллийн сэдэв шулуун шугамын чиглүүлэх вектортой холбоотой тул бид цаашдаа зөвхөн энэ вектор нь үндсэн бөгөөд тодорхой агуулагдсан тэгшитгэлийг авч үзэх болно, өөрөөр хэлбэл вектор илэрхийлэл.
Вектороор дамжин өнгөрөх шулуун шугамыг зааж өгөх
Бидэнд тодорхой координаттай v¯ вектор байна гэж бодъё (a; b; c). Гурван координат байгаа тул векторыг орон зайд өгөв. Тэгш өнцөгт координатын системд хэрхэн дүрслэх вэ? Үүнийг маш энгийнээр хийдэг: гурван тэнхлэг тус бүр дээр урт нь векторын харгалзах координаттай тэнцүү сегментийг зурдаг. xy, yz, xz хавтгайд сэргээсэн гурван перпендикулярын огтлолцлын цэг нь векторын төгсгөл болно. Үүний эхлэл нь цэг (0; 0; 0).
Гэсэн хэдий ч векторын өгөгдсөн байрлал нь цорын ганц биш юм. Үүний нэгэн адил, v¯-ийн эхлэлийг сансар огторгуйн дурын цэг дээр байрлуулснаар зурж болно. Эдгээр аргументууд нь вектор ашиглан тодорхой шугам тогтоох боломжгүй гэж хэлдэг. Энэ нь хязгааргүй тооны зэрэгцээ шугамын бүлгийг тодорхойлдог.
ОдооP(x0; y0; z0) зайг засах. Мөн бид нөхцөлийг тавьсан: шулуун шугам нь P-ээр дамжих ёстой. Энэ тохиолдолд v¯ вектор мөн энэ цэгийг агуулсан байх ёстой. Сүүлийн баримт нь нэг мөрийг P ба v¯ ашиглан тодорхойлж болно гэсэн үг юм. Үүнийг дараах тэгшитгэлээр бичнэ:
Q=P + λ × v¯
Энд Q нь шугаманд хамаарах дурын цэг юм. Энэ цэгийг тохирох параметр λ сонгох замаар олж авч болно. Бичсэн тэгшитгэлийг вектор тэгшитгэл, v¯-г шулуун шугамын чиглэлийн вектор гэнэ. Үүнийг P-г дайран өнгөрөхөөр байрлуулж, λ параметрээр уртыг нь өөрчилснөөр бид Q цэг бүрийг шулуун шугамаар авна.
Координатын хэлбэрээр тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичнэ:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ × (a; b; c)
Мөн тодорхой (параметр) хэлбэрээр та бичиж болно:
x=x0+ λ × a;
y=y0+ λ × b;
z=z0+ λ × c
Дээрх илэрхийлэлд гурав дахь координатыг хасвал хавтгай дээрх шулуун шугамын вектор тэгшитгэлүүд гарна.
Чиглэлийн векторыг мэдэх нь ямар даалгаварт хэрэгтэй вэ ?
Дүрмээр бол эдгээр нь шугамын параллелизм ба перпендикуляр байдлыг тодорхойлох даалгавар юм. Мөн чиглэлийг тодорхойлдог шууд векторыг шулуун ба цэг ба шулуун шугамын хоорондох зайг тооцоолохдоо хавтгайтай харьцуулахад шулуун шугамын үйл ажиллагааг тодорхойлоход ашигладаг.
ХоёрХэрэв чиглэлийн векторууд нь байвал шулуунууд параллель байх болно. Үүний дагуу шулуунуудын перпендикуляр байдлыг тэдгээрийн векторуудын перпендикуляр байдлыг ашиглан нотолсон болно. Эдгээр төрлийн бодлогод хариултыг авахын тулд авч үзсэн векторуудын скаляр үржвэрийг тооцоолоход хангалттай.
Шугаман ба цэгийн хоорондох зайг тооцоолох даалгаврын хувьд чиглэлийн векторыг харгалзах томъёонд тодорхой тусгасан болно. Үүнийг бичье:
d=|[P1P2¯ × v¯] | / |v¯|
Энд P1P2¯ - P1 болон P цэгүүд дээр бүтээгдсэн. 2 чиглүүлсэн сегмент. P2 цэг нь дурын бөгөөд v¯ вектортой шулуун дээр байрладаг бол P1 цэг нь хол байх ёстой цэг юм. шийдэмгий байх. Энэ нь бие даасан эсвэл өөр шугам эсвэл хавтгайд хамаарах байж болно.
Шулуун хоорондын зайг зөвхөн параллель эсвэл огтлолцох үед тооцоолох нь утга учиртай гэдгийг анхаарна уу. Хэрвээ огтлолцвол d нь тэг болно.
Дээрх d-ийн томьёо нь хавтгай ба түүнтэй параллель шулуун шугамын хоорондох зайг тооцоолоход мөн хүчинтэй бөгөөд зөвхөн энэ тохиолдолд P1 хавтгайд хамаарах ёстой.
Болж буй векторыг хэрхэн ашиглахыг илүү сайн харуулахын тулд хэд хэдэн асуудлыг шийдье.
Вектор тэгшитгэлийн бодлого
Шулуун шугамыг дараах тэгшитгэлээр дүрсэлдэг нь мэдэгдэж байна:
y=3 × x - 4
Та тохирох илэрхийллийг бичих хэрэгтэйвектор хэлбэр.
Энэ бол ерөнхий хэлбэрээр бичигдсэн, сургуулийн сурагч бүрийн мэддэг шулуун шугамын ердийн тэгшитгэл юм. Үүнийг вектор хэлбэрээр хэрхэн дахин бичихийг үзүүлье.
Илэрхийлэлийг дараах байдлаар илэрхийлж болно:
(x; y)=(x; 3 × x - 4)
Нээвэл анхны тэгш байдал гарч ирдэг нь харагдаж байна. Одоо бид түүний баруун талыг хоёр вектор болгон хувааснаар тэдгээрийн зөвхөн нэг нь x-г агуулна, бидэнд:байна.
(x; y)=(x; 3 × x) + (0; -4)
Х-ийг хаалтнаас гаргаж, Грек тэмдгээр тэмдэглэж, баруун талын векторуудыг солиход л үлддэг:
(x; y)=(0; -4) + λ × (1; 3)
Бид анхны илэрхийллийн вектор хэлбэрийг авсан. Шулуун шугамын чиглэлийн вектор координат нь (1; 3).
Мөрүүдийн харьцангуй байрлалыг тодорхойлох даалгавар
Хоёр мөр орон зайд өгөгдсөн:
(x; y; z)=(1; 0; -2) + λ × (-1; 3; 1);
(x; y; z)=(3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)
Тэд параллель байна уу, огтолж байна уу эсвэл огтолж байна уу?
Тэг биш векторууд (-1; 3; 1) ба (1; 2; 0) нь эдгээр шугамын хөтөч болно. Эдгээр тэгшитгэлийг параметрийн хэлбэрээр илэрхийлж, эхнийх нь координатыг хоёр дахь хэсэгт орлуулъя. Бид дараахыг авна:
x=1 - λ;
y=3 × λ;
z=-2 + λ;
x=3 + γ=1 - λ=>γ=-2 - λ;
y=2 + 2 × γ=3 × λ=> γ=3 / 2 × λ - 1;
z=2=-2 + λ=> λ=4
Олдсон λ параметрийг дээрх хоёр тэгшитгэлд орлуулбал:
γ=-2 - λ=-6;
γ=3 / 2 × λ - 1=5
γ параметр нь нэгэн зэрэг хоёр өөр утгыг авах боломжгүй. Энэ нь шугамууд нь нэг нийтлэг цэггүй, өөрөөр хэлбэл огтлолцдог гэсэн үг юм. Тэг биш векторууд хоорондоо параллель биш тул тэдгээр нь параллель биш (тэдгээрийн параллель байхын тулд нэг вектороор үржүүлснээр хоёр дахь координат гарах тоо байх ёстой).
Онгоцны математик тайлбар
Сансарт хавтгай тавихын тулд бид ерөнхий тэгшитгэлийг өгнө:
A × x + B × y + C × z + D=0
Энд латин том үсэг нь тодорхой тоог илэрхийлдэг. Тэдгээрийн эхний гурав нь онгоцны хэвийн векторын координатыг тодорхойлдог. Хэрэв n¯-ээр тэмдэглэгдсэн бол:
n¯=(A; B; C)
Энэ вектор хавтгайд перпендикуляр тул түүнийг чиглүүлэгч гэж нэрлэдэг. Түүний мэдлэг, түүнчлэн тухайн хавтгайд хамаарах аливаа цэгийн мэдэгдэж буй координат нь сүүлийнхийг онцгойлон тодорхойлдог.
Хэрэв P(x1; y1; z1)-д хамаарах бол хавтгай, дараа нь D огтлолцлыг дараах байдлаар тооцоолно:
D=-1 × (A × x1+ B × y1 + C × z1)
Онгоцны ерөнхий тэгшитгэлийг ашиглан хэд хэдэн бодлого шийдье.
Даалгаваронгоцны хэвийн векторыг олох
Онгоцыг дараах байдлаар тодорхойлсон:
(y - 3) / 2 + (x + 1) / 3 - z / 4=1
Түүний чиглэлийн векторыг хэрхэн олох вэ?
Дээрх онолоос үзэхэд n¯ хэвийн векторын координатууд нь хувьсагчдын урд талын коэффициентууд юм. Үүнтэй холбогдуулан n¯-ийг олохын тулд тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр бичих хэрэгтэй. Бидэнд:
1 / 3 × x + 1 / 2 × y - 1 / 4 × z - 13 / 6=0
Тэгвэл онгоцны хэвийн вектор нь:
n¯=(1/3; 1/2; -1/4)
Хавтгайн тэгшитгэл зохиох асуудал
Гурван цэгийн координатыг өгсөн:
M1(1; 0; 0);
M2(2; -1; 5);
M3(0; -2; -2)
Эдгээр бүх цэгийг агуулсан хавтгайн тэгшитгэл ямар байх вэ.
Нэг шулуунд хамаарахгүй гурван цэгээр дамжуулан зөвхөн нэг хавтгай зурж болно. Үүний тэгшитгэлийг олохын тулд эхлээд n¯ онгоцны чиглэлийн векторыг тооцоолно. Үүнийг хийхийн тулд бид дараах байдлаар ажиллана: хавтгайд хамаарах дурын хоёр векторыг олж, тэдгээрийн вектор үржвэрийг тооцоолно. Энэ нь энэ хавтгайд перпендикуляр байх векторыг өгөх болно, өөрөөр хэлбэл n¯. Бидэнд:
M1M2¯=(1; -1; 5); M1M3¯=(-1; -2; -2);
n¯=[M1M2¯ × M1M 3¯]=(12; -3; -3)
Зурахын тулд M1 цэгийг авна уухавтгай илэрхийллүүд. Бид дараахыг авна:
D=-1 × (12 × 1 + (-3) × 0 + (-3) × 0)=-12;
12 × x - 3 × y - 3 × z - 12=0=>
4 × x - y - z - 4=0
Бид эхлээд огторгуй дахь хавтгайд чиглэсэн чиглэлийн векторыг тодорхойлж ерөнхий хэлбэрийн илэрхийллийг олж авсан.
Хэвийн векторын координатыг энгийн аргаар тодорхойлох боломжийг олгодог тул онгоцтой холбоотой асуудлыг шийдвэрлэхдээ хөндлөн үржвэрийн шинж чанарыг санах хэрэгтэй.
