Бидний хүн нэг бүрд сургуулиасаа хойшхи үүсмэл ойлголт танил болсон байх. Ихэвчлэн оюутнууд үүнийг ойлгоход хэцүү байдаг нь эргэлзээгүй, маш чухал зүйл юм. Энэ нь хүмүүсийн амьдралын янз бүрийн салбарт идэвхтэй ашиглагдаж байгаа бөгөөд инженерийн олон бүтээн байгуулалтууд нь дериватив ашиглан олж авсан математик тооцоололд тулгуурласан байв. Гэхдээ тоонуудын дериватив гэж юу болох, тэдгээрийг хэрхэн тооцоолох, бидэнд хаана хэрэгтэй болох талаар дүн шинжилгээ хийхээсээ өмнө түүх рүү орцгооё.
Түүх
Математик анализын үндэс болсон деривативын тухай ойлголтыг (энэ нь байгальд байдаггүй учраас "зохион бүтээсэн" гэж хэлэх нь дээр байх) бидний сайн мэдэх Исаак Ньютон юм. бүх нийтийн таталцлын хуулийг нээсэн. Биеийн хурд ба хурдатгалын мөн чанарыг хооронд нь холбохын тулд энэ ойлголтыг физикт анх ашигласан хүн юм. Мөн олон эрдэмтэд Ньютоныг энэхүү гайхамшигт шинэ бүтээлийнх нь төлөө магтсаар байгаа, учир нь тэр үнэндээ дифференциал ба интеграл тооцооллын үндэс, үнэн хэрэгтээ "тооцоо" хэмээх математикийн бүхэл бүтэн чиглэлийн үндэс суурийг тавьсан юм. Хэрэв тэр үед Нобелийн шагналыг Ньютон өндөр магадлалтайгаар хэд хэдэн удаа хүртэх байсан.
Өөр мундаг оюун ухаангүй бол болохгүй. Ньютоноос бусад ньЛеонхард Эйлер, Луи Лагранж, Готфрид Лейбниц зэрэг математикийн нэрт суутнууд дериватив ба интегралыг хөгжүүлэх чиглэлээр ажилласан. Тэдний ачаар бид дифференциал тооцооллын онолыг өнөөг хүртэл байгаа хэлбэрээр нь хүлээн авсан юм. Дашрамд дурдахад үүсмэлийн геометрийн утгыг Лейбниц нээсэн бөгөөд энэ нь функцын графикт шүргэгч налуугийн тангенсаас өөр юу ч биш болсон юм.
Тооны дериватив гэж юу вэ? Сургуульд тохиолдсон зүйлээ бага зэрэг давтъя.
Дериватив гэж юу вэ?
Энэ ойлголтыг хэд хэдэн янзаар тодорхойлж болно. Хамгийн энгийн тайлбар бол дериватив нь функцийн өөрчлөлтийн хурд юм. Х-ийн зарим у функцийн графикийг төсөөлөөд үз дээ. Хэрэв энэ нь шулуун биш бол график дахь зарим муруй, өсөлт буурах үетэй байна. Хэрэв бид энэ графикийн хязгааргүй жижиг интервалыг авбал шулуун шугамын сегмент болно. Тэгэхээр y координатын дагуух энэ хязгааргүй жижиг сегментийн хэмжээг х координатын дагуух хэмжээтэй харьцуулсан харьцаа нь тухайн цэг дэх энэ функцийн дериватив болно. Хэрэв бид функцийг тодорхой цэг дээр биш, бүхэлд нь авч үзвэл дериватив функц, өөрөөр хэлбэл х-ээс у-ийн тодорхой хамаарлыг олж авна.
Үүсвэр нь функцийн өөрчлөлтийн хурд гэсэн физик утгыг илэрхийлэхээс гадна геометрийн утгатай. Бид одоо түүний тухай ярих болно.
Геометрийн мэдрэмж
Тоонуудын дериватив нь өөрөө тодорхой тоог илэрхийлдэг бөгөөд энэ нь зохих ойлголтгүй бол авчрахгүй.утгагүй. Дериватив нь зөвхөн функцийн өсөлт, бууралтын хурдыг харуулдаг төдийгүй тухайн цэг дэх функцийн графиктай шүргэгч налуугийн тангенсыг харуулдаг. Маш тодорхой тодорхойлолт биш. Үүнийг илүү нарийвчлан шинжилж үзье. Бидэнд функцийн график байна гэж бодъё (хүүхдийн хувьд муруйг авъя). Энэ нь хязгааргүй олон цэгтэй боловч зөвхөн нэг цэгийн хамгийн их эсвэл хамгийн бага цэгүүд байдаг. Ямар ч ийм цэгээр дамжуулан тухайн цэг дэх функцийн графиктай перпендикуляр шугам татах боломжтой. Ийм шугамыг шүргэгч гэж нэрлэнэ. Бид үүнийг OX тэнхлэгтэй огтлолцох хүртэл зарцуулсан гэж бодъё. Тиймээс шүргэгч ба OX тэнхлэгийн хооронд олж авсан өнцгийг деривативаар тодорхойлно. Илүү нарийвчлалтайгаар энэ өнцгийн тангенс үүнтэй тэнцүү байх болно.
Тусгай тохиолдлын талаар бага зэрэг ярилцаж, тооны деривативуудад дүн шинжилгээ хийцгээе.
Онцгой тохиолдол
Бид аль хэдийн хэлсэнчлэн тооны дериватив нь тухайн цэг дэх деривативын утгууд юм. Жишээ нь y=x2 функцийг авч үзье. Дериватив х нь тоо бөгөөд ерөнхий тохиолдолд 2x-тэй тэнцүү функц юм. Хэрэв бид x0=1 цэгийн деривативыг тооцоолох шаардлагатай бол y'(1)=21=2 болно. Бүх зүйл маш энгийн. Сонирхолтой тохиолдол бол комплекс тооны дериватив юм. Бид нийлмэл тоо гэж юу болох талаар дэлгэрэнгүй тайлбар хийхгүй. Энэ бол төсөөллийн нэгж гэж нэрлэгддэг квадрат нь -1 тоог агуулсан тоо юм гэж хэлье. Ийм деривативыг тооцоолох нь зөвхөн дараах тохиолдолд л боломжтойнөхцөл:
1) Y ба X-д хамаарах бодит болон төсөөллийн хэсгүүдийн эхний эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив байх ёстой.
2) Эхний догол мөрөнд тайлбарласан хэсэгчилсэн деривативуудын тэгш эрхтэй холбоотой Коши-Риманы нөхцөл хангагдсан.
Өмнөх тохиолдол шиг төвөгтэй биш ч гэсэн өөр нэг сонирхолтой тохиолдол бол сөрөг тооны дериватив юм. Үнэн хэрэгтээ аливаа сөрөг тоог эерэг тоогоор -1-ээр үржүүлж болно. За, тогтмол ба функцийн дериватив нь тогтмолыг функцийн деривативаар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.
Өдөр тутмын амьдрал дахь деривативын гүйцэтгэх үүргийн талаар суралцах нь сонирхолтой байх бөгөөд бид үүнийг одоо хэлэлцэх болно.
Програм
Бидний хүн нэг бүр амьдралдаа ядаж нэг удаа математикийн хичээл өөрт нь хэрэг болохгүй гэж бодсон байх. Мөн дериватив гэх мэт төвөгтэй зүйл нь огт хэрэглэгдэхгүй байх магадлалтай. Үнэн хэрэгтээ математик бол суурь шинжлэх ухаан бөгөөд түүний бүх үр жимсийг голчлон физик, хими, одон орон судлал, тэр байтугай эдийн засаг хөгжүүлдэг. Уг дериватив нь математик анализын эхлэл байсан бөгөөд энэ нь бидэнд функцийн графикаас дүгнэлт хийх боломжийг олгосон бөгөөд үүний ачаар бид байгалийн хуулиудыг тайлбарлаж, өөрт ашигтайгаар эргүүлж сурсан.
Дүгнэлт
Мэдээж хэрэг, хүн болгонд бодит амьдрал дээр дериватив хэрэггүй байж магадгүй. Гэхдээ математик нь логикийг хөгжүүлдэг бөгөөд энэ нь мэдээж хэрэг болно. Математикийг шинжлэх ухааны хатан хаан гэж нэрлэсэн нь утгагүй юм: энэ нь мэдлэгийн бусад салбарыг ойлгох үндэс болдог.
