Бертрангийн парадокс бол магадлалын онолын сонгодог тайлбарын асуудал юм. Иосеф үүнийг Calcul des probabilités (1889) бүтээлдээ ямар нэгэн механизм эсвэл арга санамсаргүй хэмжигдэхүүн үүсгэдэг бол магадлалыг сайн тодорхойлох боломжгүй гэсэн жишээ болгон танилцуулсан.
Асуудлын мэдэгдэл
Бертрангийн парадокс дараах байдалтай байна.
Эхлээд тойрог дотор сийлсэн тэгш талт гурвалжинг бод. Энэ тохиолдолд диаметрийг санамсаргүй байдлаар сонгоно. Гурвалжны талаас урт байх магадлал хэд вэ?
Бертран гурван аргумент хийсэн нь бүгд зөв мэт боловч өөр үр дүн өгсөн.
Санамсаргүй төгсгөлийн арга
Та тойрог дээрх хоёр газрыг сонгоод тэдгээрийг холбосон нум зурах хэрэгтэй. Тооцооллын хувьд Бертрангийн магадлалын парадоксыг авч үзнэ. Гурвалжин нь түүний орой нь хөвчний төгсгөлийн аль нэгтэй давхцаж байхаар эргэлддэг гэж төсөөлөх шаардлагатай. Төлбөр төлөх нь зүйтэйХэрэв нөгөө хэсэг нь хоёр газрын хоорондох нуман дээр байвал тойрог нь гурвалжны хажуугаас урт байна гэдгийг анхаарна уу. Нумын урт нь тойргийн гуравны нэг тул санамсаргүй хөвч урт байх магадлал 1/3 байна.
Сонголтын арга
Тойргийн радиус болон дээрх цэгийг сонгох шаардлагатай. Үүний дараа та диаметртэй перпендикуляр энэ газраар хөвчийг барих хэрэгтэй. Магадлалын онолын Бертраны парадоксыг тооцоолохын тулд гурвалжинг радиустай перпендикуляр байхаар эргүүлсэн гэж төсөөлөх хэрэгтэй. Сонгосон цэг нь тойргийн төвд ойрхон байвал хөвч нь хөлөөс урт байна. Мөн энэ тохиолдолд гурвалжны тал нь радиусыг хоёр хуваана. Иймд хөвч нь бичээстэй зургийн талаас урт байх магадлал 1/2 байна.
Санамсаргүй хөвч
Дунд цэгийн арга. Тойрог дээр байрлах газрыг сонгож, өгөгдсөн дунд хөвчийг үүсгэх шаардлагатай. Сонгосон байршил нь 1/2 радиустай төвлөрсөн тойрог дотор байвал тэнхлэг нь бичээстэй гурвалжны ирмэгээс урт байна. Жижиг тойргийн талбай нь том зургийн дөрөвний нэг юм. Тиймээс санамсаргүй хөвчний магадлал нь бичээстэй гурвалжны талаас урт бөгөөд 1/4-тэй тэнцүү байна.
Дээр дурдсанчлан сонгох аргууд нь диаметр болох тодорхой хөвчүүдэд өгөх жингээр ялгаатай байдаг. 1-р аргад хөвч бүрийг диаметртэй эсэхээс үл хамааран яг нэг аргаар сонгож болно.
2-р аргад шулуун шугам бүрийг хоёр аргаар сонгож болно. Харин өөр ямар ч хөвч сонгох болноболомжуудын зөвхөн нэг нь.
3-р аргын дунд цэгийн сонголт бүр нэг параметртэй байна. Бүх диаметрийн дунд цэг болох тойргийн төвөөс бусад нь. Үүссэн магадлалд нөлөөлөхгүйгээр параметрүүдийг хасахын тулд бүх асуултыг "захиалах" замаар эдгээр асуудлаас зайлсхийх боломжтой.
Сонгосон аргуудыг мөн дараах байдлаар дүрсэлж болно. Диаметр биш хөвчийг дунд цэгээр нь ялган танина. Дээр дурдсан гурван сонголтын арга тус бүр нь дунд хэсгийн өөр хуваарилалтыг бий болгодог. Мөн 1 ба 2-р сонголтууд нь хоёр өөр жигд бус хуваалтыг өгдөг бол 3-р арга нь жигд хуваарилалтыг өгдөг.
Бертраны асуудлыг шийдэх сонгодог парадокс нь хөвчийг "санамсаргүй байдлаар" сонгосон аргаас хамаарна. Хэрэв санамсаргүй сонголтын аргыг урьдчилан зааж өгсөн бол асуудал нь тодорхой шийдэлтэй байдаг. Учир нь бие даасан арга бүр өөрийн гэсэн хөвчний хуваарилалттай байдаг. Бертрангийн үзүүлсэн гурван шийдвэр нь сонгон шалгаруулах өөр өөр горимд нийцэж байгаа бөгөөд нэмэлт мэдээлэл байхгүй тохиолдолд нэгийг нь нөгөөгөөсөө илүүд үзэх шалтгаан байхгүй. Иймээс, дурдсан асуудалд ганц шийдэл байхгүй байна.
Ерөнхий хариултыг хэрхэн өвөрмөц болгох жишээ бол хөвчний төгсгөлийн цэгүүдийг 0-с c-ийн хооронд тэгшхэн байрлуулахыг зааж өгөх бөгөөд энд c нь тойргийн тойрог юм. Энэ хуваарилалт нь Бертрангийн эхний аргументтай адил бөгөөд үр дүнд нь гарах өвөрмөц магадлал нь 1/3 байх болно.
Энэ Бертран Расселын парадокс болон сонгодог урлагийн бусад өвөрмөц чанаруудБоломжийн тайлбарууд нь илүү хатуу томъёоллыг зөвтгөдөг. Магадлалын давтамж болон субъективист Байезийн онол багтана.
Бертрангийн парадокс юу байна
1973 онд бичсэн "The Well-posed Problem" нийтлэлдээ Эдвин Жэйнс өөрийн өвөрмөц шийдлийг санал болгосон. Тэрээр Бертрангийн парадокс нь "хамгийн их мунхаглал" гэсэн зарчим дээр үндэслэсэн болохыг тэмдэглэв. Энэ нь та асуудлын мэдэгдэлд тусгаагүй аливаа мэдээллийг ашиглах ёсгүй гэсэн үг юм. Жэйнс Бертрангийн асуудал тойргийн байрлал, хэмжээг тодорхойлдоггүй гэдгийг онцолжээ. Тиймээс аливаа тодорхой, бодитой шийдвэр нь хэмжээ, албан тушаалд "хайхрамжгүй" байх ёстой гэж үзсэн.
Загварын зорилгоор
Бүх хөвчийг 2 см-ийн тойрог дээр санамсаргүй байдлаар байрлуулсан гэж үзвэл одоо та холоос түүн рүү сүрэл шидэх хэрэгтэй.
Дараа нь том дүрст тохирох жижиг диаметртэй (жишээ нь 1 см) өөр тойрог авах хэрэгтэй. Дараа нь энэ жижиг тойрог дээрх хөвчүүдийн тархалт хамгийн ихдээ байгаатай ижил байх ёстой. Хэрэв хоёр дахь зураг эхнийх нь дотор хөдөлж байвал магадлал нь зарчмын хувьд өөрчлөгдөх ёсгүй. 3-р аргын хувьд дараах өөрчлөлт гарахыг харахад маш амархан: жижиг улаан тойрог дээрх хөвчүүдийн тархалт нь том тойрог дээрх тархалтаас чанарын хувьд ялгаатай байх болно.
1-р аргын хувьд ч мөн адил. Графикаар харахад илүү хэцүү байдаг.
2-р арга бол цорын ганц арга юмЭнэ нь масштаб болон орчуулгын инвариант болж хувирдаг.
3-р арга нь зүгээр л өргөтгөх боломжтой юм шиг байна.
1-р арга аль нь ч биш.
Гэсэн хэдий ч Жейнс эдгээр аргуудыг хүлээн зөвшөөрөх эсвэл үгүйсгэхийн тулд инвариантуудыг тийм ч амархан ашиглаагүй. Энэ нь үндэслэлтэй утгын талуудад тохирох өөр нэг тайлбарлаагүй арга байх боломжийг үлдээх болно. Жэйнс инварианцийг тодорхойлсон интеграл тэгшитгэлийг ашигласан. Магадлалын тархалтыг шууд тодорхойлох. Түүний асуудалд интеграл тэгшитгэлүүд үнэхээр өвөрмөц шийдэлтэй байдаг бөгөөд үүнийг дээрх санамсаргүй радиусын хоёр дахь арга гэж нэрлэсэн.
2015 онд бичсэн нийтлэлдээ Алон Дри Жэйнсийн зарчим Бертрандын өөр хоёр шийдлийг гаргаж чадна гэж нотолсон байна. Инвариант байдлын дээрх шинж чанаруудын математикийн хэрэгжилт нь өвөрмөц биш бөгөөд тухайн хүний ашиглахаар шийдсэн санамсаргүй сонголтын үндсэн процедураас хамаарна гэж зохиогч баталж байна. Тэрээр Бертрангийн гурван шийдэл тус бүрийг эргүүлэх, масштаблах, хөрвүүлэх инварианцийг ашиглан олж авч болохыг харуулж байна. Үүний зэрэгцээ, Жэйнсийн зарчим нь хайхрамжгүй байдлын аргатай адил тайлбарлагдах ёстой гэж дүгнэж байна.
Физик туршилт
2-р арга нь статистикийн механик, хийн бүтэц зэрэг физиологийн тодорхой ойлголтуудад байдаг хувиргах инвариантуудыг хангадаг цорын ганц шийдэл юм. Мөн санал болгож буй зүйлдЖэйнсийн жижиг тойргоос сүрэл шидэх туршилт.
Гэсэн хэдий ч бусад аргуудын дагуу хариулт өгөх практик туршилтуудыг зохион байгуулж болно. Жишээлбэл, санамсаргүй эхний цэгийн аргын шийдэлд хүрэхийн тулд та талбайн төвд тоолуур хавсаргаж болно. Хоёр бие даасан эргэлтийн үр дүнд хөвчний эцсийн газруудыг онцлон тэмдэглэе. Гурав дахь аргын шийдэлд хүрэхийн тулд тойргийг жишээлбэл, моласаар бүрхэж, ялаа буух эхний цэгийг дунд хөвч болгон тэмдэглэж болно. Хэд хэдэн судлаачид янз бүрийн дүгнэлт гаргахын тулд судалгаа хийж, үр дүнг эмпирик байдлаар баталсан.
Сүүлийн үйл явдлууд
Николас Шакел 2007 онд бичсэн "Бертрангийн парадокс ба хайхрамжгүй байдлын зарчим" нийтлэлдээ зуу гаруй жилийн дараа асуудал шийдэгдээгүй хэвээр байна гэж үзэж байна. Тэрээр хайхрамжгүй байх зарчмыг няцаав. Цаашилбал, Даррелл Р. Роботтом 2013 онд гаргасан "Бертран Расселийн парадокс дахин давтагдсан: Яагаад бүх шийдэл практик биш" гэсэн нийтлэлдээ санал болгож буй бүх шийдвэр нь түүний асуулттай ямар ч холбоогүй болохыг харуулж байна. Тиймээс парадоксыг шийдэх нь урьд бодож байснаас хамаагүй хэцүү байх нь тодорхой болсон.
Шекель өнөөг хүртэл олон эрдэмтэн, шинжлэх ухаанаас хол хүмүүс Бертрандын парадоксыг шийдвэрлэх гэж оролдсоор ирсэн гэж онцолжээ. Үүнийг хоёр өөр аргын тусламжтайгаар даван туулсан хэвээр байна.
Эцвивалент бус бодлогуудын ялгааг авч үзсэн болон асуудлыг үргэлж зөв гэж үзсэн асуудлууд. Шакел номондоо Луисаас иш татсан байдагМаринофф (Ялгаварлах стратегийн ердийн илэрхийлэл болгон) ба Эдвин Жэйнс (сайн бодож боловсруулсан онолын зохиогчийн хувьд).
Гэсэн хэдий ч Диедерик Аэртс, Массимилиано Сассоли де Бианчи нар "Цогцолбор асуудлыг шийдвэрлэх" бүтээлдээ Бертрангийн парадоксыг шийдвэрлэхийн тулд байрыг холимог стратегиас хайх ёстой гэж үзэж байна. Эдгээр зохиогчдын үзэж байгаагаар эхний алхам бол санамсаргүй байдлаар ангилж буй аж ахуйн нэгжийн мөн чанарыг тодорхой зааж өгөх замаар асуудлыг засах явдал юм. Зөвхөн үүнийг хийсний дараа аливаа асуудлыг зөв гэж үзэж болно. Жэйнс ингэж бодож байна.
Тиймээс үүнийг шийдэхийн тулд дээд зэргийн мунхаг зарчмыг ашиглаж болно. Үүний тулд, мөн асуудал нь хөвчийг хэрхэн сонгохыг заагаагүй тул уг зарчмыг янз бүрийн боломжуудын түвшинд биш, харин илүү гүнзгийрүүлэн ашигладаг.
Хэсэг сонгох
Асуудлын энэ хэсэг нь бүх боломжит аргуудын дунд мета-дунджийг тооцоолохыг шаарддаг бөгөөд зохиогчид үүнийг бүх нийтийн дундаж гэж нэрлэдэг. Үүнийг шийдвэрлэхийн тулд тэд ялгах аргыг ашигладаг. Винерийн үйл явц дахь магадлалын хуулийг тодорхойлоход юу хийж байгаагаас санаа авсан. Тэдний сайн тавьсан асуудал нь анхны зохиогчийнхоос ялгаатай ч тэдний үр дүн Жэйнсийн тоон дүгнэлттэй нийцэж байна.
Эдийн засаг, худалдааны салбарт бүтээгч Жозеф Бертрангийн нэрээр нэрлэгдсэн Бертран Парадокс нь хоёр тоглогч (пүүс) Нэшийн тэнцвэрт байдалд хүрдэг нөхцөл байдлыг дүрсэлдэг. Хоёр пүүс ахиу зардалтай тэнцүү үнийг тогтоох үед(MS).
Бертрангийн парадокс нь үндэслэл дээр суурилдаг. Энэ нь Курногийн өрсөлдөөн гэх мэт загваруудад пүүсүүдийн тоо нэмэгдэх нь үнийн ахиу зардалтай нийлдэгтэй холбоотой байдаг. Эдгээр өөр загваруудад Бертрангийн парадокс нь зардлаас дээгүүр үнэ тогтоосноор эерэг ашиг олдог цөөн тооны пүүсүүдийн олигополь байдалд байдаг.
Эхлэхийн тулд А ба В хоёр пүүс нэг төрлийн бүтээгдэхүүн борлуулдаг бөгөөд тус бүр нь ижил үйлдвэрлэл, түгээлтийн зардалтай байдаг гэж үзэх нь зүйтэй. Үүнээс үзэхэд худалдан авагчид зөвхөн үнэд тулгуурлан бүтээгдэхүүнийг сонгодог. Энэ нь эрэлт хязгааргүй үнийн уян хатан гэсэн үг юм. А ч, Б ч бусдаас өндөр үнэ тогтоохгүй, учир нь энэ нь Бертрангийн парадокс бүхэлдээ нурж унах болно. Зах зээлд оролцогчдын нэг нь өрсөлдөгчдөө бууж өгөх болно. Хэрэв тэд ижил үнэ тогтоовол компаниуд ашгаа хуваалцах болно.
Харин аливаа пүүс үнээ бага зэрэг буулгавал зах зээлийг бүхэлд нь авч, мэдэгдэхүйц өндөр өгөөжтэй болно. А болон Б үүнийг мэддэг учраас бүтээгдэхүүнээ эдийн засгийн хувьд огт ашиггүй зарах хүртэл тэд өрсөлдөгчөө бууруулахыг хичээх болно.
Сүүлийн үеийн ажил Бертрандын холимог стратегийн парадокс дээр монополь нийлбэр хязгааргүй байх нөхцөлд эдийн засгийн эерэг ашиг бүхий нэмэлт тэнцвэрт байдал байж болохыг харуулсан. Эцсийн ашгийн хувьд үнийн өрсөлдөөний эерэг өсөлт нь холимог тэнцвэрт байдал, тэр ч байтугай илүү ерөнхий тохиолдолд боломжгүй гэдгийг харуулсан.холбоотой системүүд.
Үнэндээ бол бодит бүтээгдэхүүнүүд үнээс өөр ямар нэг байдлаар (жишээ нь шошгон дээр хэт их мөнгө төлөх) бараг үргэлж ялгаатай байдаг тул эдийн засаг дахь Бертрангийн парадокс практикт ховор харагддаг. Пүүсүүд үйлдвэрлэх, түгээх чадвараа хязгаарладаг. Ийм учраас хоёр бизнес ижил зардалтай байх нь ховор.
Бертрандын үр дүн нь хачирхалтай, учир нь пүүсүүдийн тоо нэгээс хоёр болж өсвөл үнэ нь монополь байдлаас өрсөлдөх чадвартай болж буурч, улмаар өсөх пүүсүүдийн тоотой ижил түвшинд хэвээр үлдэнэ. Энэ нь тийм ч бодитой биш, учир нь бодит байдал дээр зах зээлийн эрх мэдэл бүхий цөөн хэдэн пүүстэй зах зээлүүд ахиу зардлаас дээгүүр үнийг тогтоодог. Эмпирик шинжилгээнээс харахад хоёр өрсөлдөгчтэй ихэнх салбар эерэг ашиг олдог.
Орчин үеийн ертөнцөд эрдэмтэд Курногийн өрсөлдөөний загвартай илүү нийцэх парадокс шийдлийг олохыг хичээж байна. Зах зээл дээрх хоёр пүүс төгс өрсөлдөөн болон монополь түвшний хооронд эерэг ашиг олж байгаа тохиолдолд.
Бертрангийн парадокс эдийн засагтай шууд хамааралгүй зарим шалтгаанууд:
- Хүчин чадлын хязгаар. Заримдаа пүүсүүд бүх эрэлтийг хангах хангалттай хүчин чадалтай байдаггүй. Энэ санааг анх Фрэнсис Эджворт дэвшүүлж, Бертран Эджворт загварыг бий болгосон.
- Бүхэл тоо. Нэг пүүс нөгөө пүүсийг санамсаргүй байдлаар бууруулж чаддаг тул MC-ээс дээш үнийг оруулаагүй болно.бага хэмжээний. Хэрэв үнэ нь салангид байвал (жишээлбэл, бүхэл тоон утгыг авах ёстой) нэг пүүс нөгөөгөө дор хаяж нэг рублиэр бууруулах ёстой. Энэ нь жижиг мөнгөн тэмдэгтийн үнэ MC-ээс дээгүүр байна гэсэн үг юм. Хэрэв өөр пүүс түүний үнийг өндөр тогтоовол өөр пүүс үүнийг буулгаж, зах зээлийг бүхэлд нь эзэлж чадна, Бертрандын парадокс яг үүнд л оршдог. Энэ нь түүнд ямар ч ашиг авчрахгүй. Энэ бизнес борлуулалтаа 50/50 хувиар өөр пүүстэй хуваалцахыг илүүд үзэж, цэвэр эерэг орлого олох болно.
- Бүтээгдэхүүний ялгаа. Хэрэв өөр өөр пүүсийн бүтээгдэхүүнүүд өөр хоорондоо ялгаатай байвал хэрэглэгчид хямд үнээр бүтээгдэхүүн рүү бүрэн шилжиж чадахгүй байх магадлалтай.
- Динамик өрсөлдөөн. Давтан харилцан үйлчлэл эсвэл үнийн давтан өрсөлдөөн нь үнийн тэнцвэрт байдалд хүргэж болзошгүй.
- Өндөр үнээр илүү олон бараа. Энэ нь давтагдсан харилцан үйлчлэлийн үр дүнд үүсдэг. Хэрэв нэг компани үнээ бага зэрэг өндөр тогтоовол ойролцоогоор ижил тооны худалдан авалт хийх боловч нэг зүйлээс илүү их ашиг олох болно. Тиймээс нөгөө компани нь тэмдэглэгээгээ нэмэгдүүлнэ гэх мэт. (Зөвхөн давтагдах үед, эс тэгвээс динамик өөр чиглэлд явагдана).
Олигополь
Хэрэв хоёр компани үнийн талаар тохиролцож чадвал гэрээгээ хадгалах нь тэдний урт хугацааны ашиг сонирхолд нийцнэ: үнэ цэнийн бууралтын орлого нь гэрээг дагаж мөрдөхөөс 2 дахин бага орлоготой бөгөөд нөгөө пүүс үнээ бууруулах хүртэл л үргэлжилнэ. өөрийн үнэ.
Оноолмагадлал (математикийн бусадтай адил) нь үнэндээ сүүлийн үеийн шинэ бүтээл юм. Мөн хөгжил жигдрээгүй. Магадлалын тооцоог албан ёсны болгох анхны оролдлогыг Маркиз де Лаплас хийсэн бөгөөд тэрээр уг ойлголтыг үр дүнд хүргэх үйл явдлын тооны харьцаа гэж тодорхойлохыг санал болгосон.
Энэ нь мэдээж бүх боломжит үйл явдлын тоо хязгаартай үед л утга учиртай. Үүнээс гадна бүх үйл явдал ижил магадлалтай.
Тиймээс тухайн үед эдгээр ойлголтууд ямар ч бат бөх суурьгүй мэт санагдаж байв. Тодорхойлолтыг хязгааргүй олон тооны үйл явдлын тохиолдол болгон өргөжүүлэх оролдлого нь бүр ч илүү хүндрэл учруулсан. Бертрангийн парадокс бол математикчдыг магадлалын бүх ойлголтоос болгоомжлоход хүргэсэн ийм нээлтүүдийн нэг юм.
