Геометр нь үзэсгэлэнтэй, учир нь алгебраас ялгаатай нь таны юу бодож, яагаад бодсон нь тэр бүр тодорхойгүй байдаг нь объектын харагдах байдлыг өгдөг. Төрөл бүрийн биетүүдээс бүрдсэн энэ гайхамшигт ертөнцийг ердийн олон талт дүрсээр чимэглэсэн.
Ердийн олон талтуудын тухай ерөнхий мэдээлэл
Олон хүмүүсийн үзэж байгаагаар энгийн олон талт буюу Платоны хатуу биетүүд гэж нэрлэгддэг тул өвөрмөц шинж чанартай байдаг. Шинжлэх ухааны хэд хэдэн таамаглалууд эдгээр объектуудтай холбоотой байдаг. Эдгээр геометрийн биетүүдийг судалж эхлэхэд та ердийн олон талт тухай ойлголтын талаар бараг юу ч мэдэхгүй гэдгээ ойлгодог. Сургуульд эдгээр объектуудыг танилцуулах нь үргэлж сонирхолтой байдаггүй тул олон хүн тэднийг юу гэж нэрлэдэгийг нь ч санахгүй байна. Ихэнх хүмүүс зөвхөн шоо л санаж байна. Геометрийн биетүүдийн аль нь ч ердийн олон талт шиг төгс байдаггүй. Эдгээр геометрийн биетүүдийн бүх нэр нь Эртний Грекээс гаралтай. Тэд нүүрний тоог илэрхийлдэг: тетраэдр - дөрвөн талт, зургаан талт - зургаан талт, октаэдр - октаэдр, додекаэдр - арван хоёр талт, икосахэдр - хорин талт. Эдгээр бүх геометрийн биетүүдПлатоны ертөнцийн үзэл баримтлалд чухал байр суурь эзэлдэг. Тэдгээрийн дөрөв нь элемент буюу биетүүдийг дүрсэлсэн: тетраэдр - гал, икосаэдр - ус, шоо - шороо, октаэдр - агаар. Додекаэдр нь байгаа бүх зүйлийг шингээсэн. Энэ нь орчлон ертөнцийн бэлгэдэл байсан тул гол нь гэж тооцогддог байв.
Олон өнцөгтийн тухай ойлголтын ерөнхий ойлголт
Олон өнцөгт нь хязгаарлагдмал тооны олон өнцөгтүүдийн цуглуулга бөгөөд:
- аль ч олон өнцөгтийн тал бүр нь нэгэн зэрэг ижил тал дээр байгаа өөр нэг олон өнцөгтийн тал байна;
- олон өнцөгт тус бүрээс хажууд нь байгаа олон өнцөгтийг дайран өнгөрч бусад руу очих боломжтой.
Олон өнцөгтийг бүрдүүлэгч олон өнцөгт нь түүний нүүр, талууд нь ирмэг юм. Олон өнцөгтийн оройнууд нь олон өнцөгтүүдийн оройнууд юм. Хэрэв олон өнцөгт гэдэг ойлголтыг хавтгай хаалттай тасархай шугам гэж ойлговол олон өнцөгтийн нэг тодорхойлолтонд хүрнэ. Хэрэв энэ ойлголт нь тасархай шугамаар хязгаарлагдсан хавтгайн хэсгийг илэрхийлж байгаа бол олон өнцөгт хэсгүүдээс бүрдсэн гадаргууг ойлгох хэрэгтэй. Гүдгэр олон өнцөгт нь хавтгайн нэг талд нүүртэйгээ зэргэлдээ орших бие юм.
Полиэдрон ба түүний элементүүдийн өөр нэг тодорхойлолт
Геометрийн биеийг хязгаарласан олон өнцөгтүүдээс тогтсон гадаргуу нь олон өнцөгт юм. Тэдгээр нь:
- гүдгэр бус;
- гүдгэр (зөв ба буруу).
Энгийн олон өнцөгт нь хамгийн их тэгш хэмтэй гүдгэр олон өнцөгт юм. Энгийн олон өнцөгтийн элементүүд:
- тетраэдр: 6 ирмэг, 4 нүүр, 5 орой;
- гексаэдр (шоо): 12, 6, 8;
- додекаэдр: 30, 12, 20;
- октаэдр: 12, 8, 6;
- икосаэдр: 30, 20, 12.
Эйлерийн теорем
Энэ нь топологийн хувьд бөмбөрцөгтэй тэнцэх ирмэг, орой болон нүүрний тоонуудын хоорондын хамаарлыг тогтооно. Төрөл бүрийн ердийн олон талтуудын орой ба нүүрний тоог (B + D) нэмж, тэдгээрийг ирмэгүүдийн тоотой харьцуулах замаар нэг хэв маягийг тогтоож болно: нүүр ба оройн тооны нийлбэр нь ирмэгийн тоо (P) нэмэгдсэнтэй тэнцүү байна. 2-оор. Та энгийн томъёо гаргаж болно:
B + D=R + 2
Энэ томьёо нь бүх гүдгэр олон талтуудад үнэн юм.
Үндсэн тодорхойлолтууд
Ердийн олон өнцөгтийн тухай ойлголтыг нэг өгүүлбэрээр тайлбарлах боломжгүй. Энэ нь илүү утга учиртай, эзэлхүүнтэй байдаг. Байгууллагыг ийм гэж хүлээн зөвшөөрөхийн тулд хэд хэдэн тодорхойлолтыг хангасан байх ёстой. Дараах нөхцөл хангагдсан тохиолдолд геометрийн бие ердийн олон өнцөгт болно:
- энэ нь гүдгэр;
- түүний орой бүр дээр ижил тооны ирмэгүүд нийлдэг;
- бүх нүүр нь бие биетэйгээ тэнцүү жирийн олон өнцөгт хэлбэртэй;
- түүний бүх хоёр өнцөгт өнцөг нь тэнцүү.
Ердийн олон талтуудын шинж чанарууд
Ердийн олон талт 5 өөр төрөл байдаг:
- Шоо (гексаэдр) - дээд талдаа 90° хавтгай өнцөгтэй. Энэ нь 3 талт өнцөгтэй. Дээд талын хавтгай өнцгүүдийн нийлбэр нь 270° байна.
- Тетраэдр - дээд талын хавтгай өнцөг - 60°. Энэ нь 3 талт өнцөгтэй. Дээд талын хавтгай өнцгүүдийн нийлбэр нь 180°.
- Октаэдр - хавтгай оройн өнцөг - 60°. Энэ нь 4 талт булантай. Дээд талын хавтгай өнцгүүдийн нийлбэр нь 240° байна.
- Додекаэдр - 108° орой дээрх хавтгай өнцөг. Энэ нь 3 талт өнцөгтэй. Дээд талын хавтгай өнцгүүдийн нийлбэр нь 324° байна.
- Икосаэдр - дээд талдаа тэгш өнцөгтэй - 60°. Энэ нь 5 талт өнцөгтэй. Дээд талын хавтгай өнцгүүдийн нийлбэр нь 300° байна.
Ердийн олон талтуудын талбай
Эдгээр геометрийн биетүүдийн гадаргуугийн талбайг (S) ердийн олон өнцөгтийн талбайг түүний нүүрний тоогоор (G) үржүүлсэнээр тооцно:
S=(a: 2) x 2G ctg π/p
Ердийн олон өнцөгтийн эзэлхүүн
Энэ утгыг сууринд нь жирийн олон өнцөгт байрлуулсан ердийн пирамидын эзэлхүүнийг нүүрний тоогоор үржүүлж, түүний өндөр нь бичээстэй бөмбөрцгийн радиус (r):
V=1: 3rS
Ердийн олон талтуудын эзлэхүүн
Бусад геометрийн биетүүдийн нэгэн адил энгийн олон өнцөгтүүд өөр өөр эзэлхүүнтэй байдаг. Та тэдгээрийг тооцоолох томъёог доор харуулав:
- тетраэдр: α x 3√2: 12;
- октаэдр: α x 3√2: 3;
- икосаэдр; α x 3;
- гексаэдр (шоо): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
- додекаэдр: α x 3 (15 + 7√5): 4.
Ердийн олон өнцөгтийн элементүүд
Гексадр ба октаэдр нь хос геометрийн бие юм. Өөрөөр хэлбэл, нэгнийх нь нүүрний хүндийн төвийг нөгөөгийн орой болгон авах юм бол тэдгээрийг бие биенээсээ авч болно. Икосаэдр ба додекаэдр нь мөн давхар юм. Зөвхөн тетраэдр нь өөрөө хос юм. Евклидийн аргын дагуу та шоо дөрвөлжин нүүрэн дээр "дээвэр" барьж, зургаан өнцөгтөөс додекаэдр авч болно. Тетраэдрийн оройнууд нь ирмэгийн дагуу хос хосоороо зэргэлдээгүй кубын дурын 4 орой байх болно. Зургаан өнцөгт (шоо) -аас та бусад ердийн олон өнцөгтийг авч болно. Хэдий тоо томшгүй олон энгийн олон өнцөгт байдаг ч ердөө 5 энгийн олон өнцөгт байдаг.
Ердийн олон өнцөгтийн радиус
Эдгээр геометрийн бие бүртэй холбоотой 3 төвлөрсөн бөмбөрцөг байдаг:
- тодорхойлсон, оргил үеийг нь дайран өнгөрдөг;
- төв хэсэгт нүүр тус бүрийг нь хүрч бичээстэй;
- медиан, дунд хэсгийн бүх ирмэгийг хүрч байна.
Тайлбарласан бөмбөрцгийн радиусыг дараах томъёогоор тооцоолно:
R=a: 2 x tg π/г x tg θ: 2
Бичээстэй бөмбөрцгийн радиусыг дараах томъёогоор тооцоолно:
R=a: 2 x ctg π/p x tg θ: 2,
энд θ нь зэргэлдээх нүүрний хоорондох хоёр талт өнцөг юм.
Медиан бөмбөрцгийн радиусыг дараах томъёогоор тооцоолж болно:
ρ=a cos π/p: 2 sin π/h,
энд h утга=4, 6, 6, 10 эсвэл 10. Хязгаарлагдмал болон бичээстэй радиусуудын харьцаа p ба q-тай харьцуулахад тэгш хэмтэй байна. Энэтомъёогоор тооцоолсон:
R/r=tg π/p x tg π/q
Олон талтуудын тэгш хэм
Энгийн олон талтуудын тэгш хэм нь эдгээр геометрийн биетүүдийн гол сонирхлыг төрүүлдэг. Энэ нь орон зайд ижил тооны орой, нүүр, ирмэгийг үлдээдэг биеийн ийм хөдөлгөөн гэж ойлгогддог. Өөрөөр хэлбэл, тэгш хэмийн хувирлын нөлөөгөөр ирмэг, орой, нүүр нь анхны байрлалаа хадгалах эсвэл өөр ирмэг, орой эсвэл нүүрний анхны байрлал руу шилждэг.
Ердийн олон талтуудын тэгш хэмийн элементүүд нь ийм геометрийн бүх төрлийн биетүүдийн онцлог шинж юм. Энд бид аль нэг цэгийг анхны байрлалдаа үлдээдэг ижил хувиргалтуудын тухай ярьж байна. Тиймээс, та олон өнцөгт призмийг эргүүлэхэд хэд хэдэн тэгш хэмийг олж авах боломжтой. Тэдгээрийн аль нэгийг нь тусгалын бүтээгдэхүүн болгон төлөөлж болно. Тэгш тооны тусгалын үржвэр болох тэгш хэмийг шулуун гэж нэрлэдэг. Хэрэв энэ нь сондгой тооны тусгалын үржвэр бол урвуу гэж нэрлэдэг. Тиймээс шугамын эргэн тойрон дахь бүх эргэлтүүд нь шууд тэгш хэмтэй байдаг. Олон өнцөгтийн тусгал нь урвуу тэгш хэм юм.
Энгийн олон талтуудын тэгш хэмийн элементүүдийг илүү сайн ойлгохын тулд бид тетраэдрийн жишээг авч болно. Энэ геометрийн дүрсийн аль нэг орой ба төвийг дайран өнгөрөх аливаа шулуун шугам нь түүний эсрэг талын нүүрний төвийг дайран өнгөрнө. Шугамын эргэн тойронд 120 ° ба 240 ° эргэх бүр олон тооны байна.тетраэдрийн тэгш хэм. Энэ нь 4 орой, 4 нүүртэй тул зөвхөн найман шууд тэгш хэмтэй байдаг. Ирмэгийн дунд болон энэ биеийн төвийг дайран өнгөрөх аль ч шугам нь түүний эсрэг талын ирмэгийн дундуур дамждаг. Шулуун шугамын эргэн тойронд хагас эргэлт гэж нэрлэгддэг аливаа 180 ° эргэлт нь тэгш хэм юм. Тетраэдр гурван хос ирмэгтэй тул өөр гурван шууд тэгш хэмтэй байна. Дээр дурдсан зүйлс дээр үндэслэн бид ижил өөрчлөлтийг оруулаад шууд тэгш хэмийн нийт тоо арван хоёрт хүрнэ гэж дүгнэж болно. Тетраэдр нь өөр ямар ч шууд тэгш хэмтэй байдаггүй, гэхдээ 12 урвуу тэгш хэмтэй байдаг. Тиймээс тетраэдр нь нийт 24 тэгш хэмээр тодорхойлогддог. Ойлгомжтой болгохын тулд та энгийн тетраэдрийн загварыг картоноор хийж, энэ геометрийн бие үнэхээр ердөө 24 тэгш хэмтэй эсэхийг шалгаарай.
Додекаэдр ба икосаэдр нь биеийн бөмбөрцөгт хамгийн ойр байдаг. Икосаэдр нь хамгийн олон нүүртэй, хамгийн том хоёр талт өнцөгтэй бөгөөд бичээстэй бөмбөрцөгт хамгийн чанга дарагдах боломжтой. Додекаэдр нь хамгийн бага өнцгийн согогтой, орой дээрх хамгийн том цул өнцөгтэй. Тэр өөрийн тодорхойлсон бөмбөрцөгийг дээд зэргээр дүүргэж чадна.
Олон талтуудын шүүрүүд
Багадаа бүгдээрээ нааж байсан энгийн боодолгүй олон талт дүрсүүд олон ойлголттой. Хэрэв тал бүр нь олон өнцөгтийн зөвхөн нэг талтай тодорхойлогддог олон өнцөгтүүдийн цуглуулга байгаа бол талуудыг тодорхойлох нь хоёр нөхцлийг хангасан байх ёстой:
- олон өнцөгт бүрээс байгаа олон өнцөгтүүдийг давж болнотодорхойлсон тал;
- тодорхойлсон талууд ижил урттай байх ёстой.
Эдгээр нөхцлийг хангасан олон өнцөгтүүдийн олонлогийг олон өнцөгтийн хөгжил гэж нэрлэдэг. Эдгээр байгууллага бүр хэд хэдэн байгууллагатай. Жишээлбэл, нэг шоо 11 ширхэгтэй.
