Цилиндр бол сургуулийн геометрийн хичээлд (хатуу геометрийн хэсэг) судалдаг энгийн гурван хэмжээст дүрсүүдийн нэг юм. Энэ тохиолдолд цилиндрийн эзэлхүүн ба массыг тооцоолох, түүнчлэн түүний гадаргуугийн талбайг тодорхойлоход асуудал ихэвчлэн гардаг. Тэмдэглэгдсэн асуултын хариултыг энэ нийтлэлд өгсөн болно.
Цилиндр гэж юу вэ?
Цилиндрийн масс, түүний эзэлхүүн хэд вэ гэсэн асуултын хариултыг үргэлжлүүлэхийн өмнө энэ орон зайн дүрс нь юу болохыг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Цилиндр бол гурван хэмжээст объект гэдгийг нэн даруй тэмдэглэх нь зүйтэй. Өөрөөр хэлбэл, орон зайд та декартын тэгш өнцөгт координатын систем дэх тэнхлэг бүрийн дагуу түүний гурван параметрийг хэмжиж болно. Үнэн хэрэгтээ цилиндрийн хэмжээг хоёрдмол утгагүй тодорхойлохын тулд зөвхөн хоёр параметрийг нь мэдэхэд хангалттай.
Цилиндр нь хоёр тойрог ба цилиндр гадаргуугаас бүрдсэн гурван хэмжээст дүрс юм. Энэ объектыг илүү тодорхой дүрслэхийн тулд тэгш өнцөгтийг аваад түүний аль нэг талыг тойрон эргүүлэхэд хангалттай бөгөөд энэ нь эргэлтийн тэнхлэг болно. Энэ тохиолдолд эргэдэг тэгш өнцөгт нь дүрсийг дүрслэх болноэргэлт - цилиндр.
Хоёр дугуй гадаргууг цилиндрийн суурь гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээр нь тодорхой радиусаар тодорхойлогддог. Суурийн хоорондох зайг өндөр гэж нэрлэдэг. Хоёр суурь нь цилиндр гадаргуугаар хоорондоо холбогддог. Хоёр тойргийн төвийг дайран өнгөрөх шугамыг цилиндрийн тэнхлэг гэж нэрлэдэг.
Эзэлхүүн ба гадаргуугийн талбай
Дээрээс харж байгаачлан цилиндрийг өндөр h ба түүний суурийн радиус r гэсэн хоёр үзүүлэлтээр тодорхойлно. Эдгээр параметрүүдийг мэдсэнээр авч үзсэн биеийн бусад бүх шинж чанарыг тооцоолох боломжтой. Хамгийн гол нь:
- Суурийн талбай. Энэ утгыг томъёогоор тооцоолно: S1=2pir2, энд pi нь pi нь 3, 14-тэй тэнцүү. 2-р орон Цилиндр нь хоёр ижил суурьтай тул томьёо дээр гарч ирнэ.
- Цилиндр гадаргуугийн талбай. Үүнийг дараах байдлаар тооцоолж болно: S2=2pirh. Энэ томъёог ойлгоход хялбар байдаг: хэрэв цилиндр гадаргууг нэг сууринаас нөгөөд нь босоогоор нь огтолж, өргөжүүлбэл тэгш өнцөгтийг олж авах бөгөөд түүний өндөр нь цилиндрийн өндөртэй тэнцүү байх ба өргөн нь гурван хэмжээст дүрсийн суурийн тойрог. Үүссэн тэгш өнцөгтийн талбай нь h ба 2pir-тэй тэнцүү талуудын үржвэр тул дээрх томьёог гаргана.
- Цилиндрийн гадаргуугийн талбай. Энэ нь S1 ба S2 талбайн нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд бид дараахийг авна: S3=S 1 + S2=2pir2 + 2pir h=2pi r(r+h).
- Эзлэхүүн. Энэ утгыг олоход хялбар, та нэг суурийн талбайг зургийн өндрөөр үржүүлэхэд л хангалттай: V=(S1/2)h=pir 2 ц.
Цилиндрийн массыг тодорхойлох
Эцэст нь өгүүллийн сэдэв рүү шууд орох нь зүйтэй болов уу. Цилиндрийн массыг хэрхэн тодорхойлох вэ? Үүнийг хийхийн тулд та түүний эзлэхүүнийг, дээр дурдсан тооцоолох томъёог мэдэх хэрэгтэй. Мөн түүний бүрдсэн бодисын нягтрал. Массыг энгийн томъёогоор тодорхойлно: m=ρV, энд ρ нь тухайн объектыг бүрдүүлж буй материалын нягт юм.
Нягт гэдэг ойлголт нь орон зайн нэгж эзэлхүүн дэх бодисын массыг тодорхойлдог. Жишээлбэл. Төмөр нь модноос илүү нягтралтай гэдгийг мэддэг. Энэ нь ижил хэмжээтэй төмөр ба модон материалын хувьд эхнийх нь сүүлчийнхээс хамаагүй их масстай (ойролцоогоор 16 дахин) гэсэн үг юм.
Зэс цилиндрийн массыг тооцоолох
Энгийн асуудлыг авч үзье. Зэсээр хийсэн цилиндрийн массыг олох шаардлагатай. Тодорхой байхын тулд цилиндрийг 20 см диаметртэй, 10 см өндөртэй болго.
Та асуудлыг шийдэж эхлэхээсээ өмнө эх сурвалжтай харьцах хэрэгтэй. Цилиндрийн радиус нь түүний диаметрийн хагастай тэнцүү бөгөөд энэ нь r=20/2=10 см, өндөр нь h=10 см гэсэн үг юм. Бодлого дээр авч үзсэн цилиндр нь зэсээр хийгдсэн тул лавлагааны өгөгдөлд бид энэ материалын нягтын утгыг бичнэ: ρ=8, 96 г/см3 (20 °C температурт).
Одоо та асуудлыг шийдэж эхлэх боломжтой. Эхлээд эзлэхүүнийг тооцоолъё: V=pir2h=3, 14(10)210=3140 см3. Дараа нь цилиндрийн масс нь: m=ρV=8.963140=28134 грамм буюу ойролцоогоор 28 килограмм болно.
Харгалзах томъёонд ашиглахдаа нэгжийн хэмжээсийг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Тиймээс, асуудалд бүх параметрүүдийг сантиметр, граммаар харуулсан.
Нэг төрлийн ба хөндий цилиндр
Дээрх үр дүнгээс харахад харьцангуй жижиг хэмжээтэй (10 см) зэс цилиндр нь том (28 кг) жинтэй болохыг харж болно. Энэ нь зөвхөн хүнд материалаар хийгдсэнээс гадна нэгэн төрлийн шинж чанартай байдагтай холбоотой юм. Массыг тооцоолох дээрх томьёог зөвхөн цилиндрийг бүхэлд нь (гадна болон дотор) ижил материалаар хийсэн, өөрөөр хэлбэл нэгэн төрлийн байвал ашиглах боломжтой тул энэ баримтыг ойлгох нь чухал юм.
Практикт хөндий цилиндрийг ихэвчлэн ашигладаг (жишээлбэл, усны цилиндр торх). Өөрөөр хэлбэл, тэдгээр нь зарим материалын нимгэн хуудаснаас хийгдсэн боловч дотор нь хоосон байна. Хөндий цилиндрийн хувьд массыг тооцоолох томъёог ашиглах боломжгүй.
Хөндий цилиндрийн массыг тооцоолох
Зэсийн цилиндр дотор хоосон байвал ямар масстай болохыг тооцоолох нь сонирхолтой юм. Жишээ нь зөвхөн d=2 мм-ийн зузаантай нимгэн зэс хуудаснаас хийцгээе.
Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд тухайн объект хийгдсэн зэсийн эзэлхүүнийг олох хэрэгтэй. Цилиндрийн эзэлхүүн биш. Учир нь зузаанхуудас нь цилиндрийн хэмжээстэй харьцуулахад бага (d=2 мм ба r=10 см), дараа нь цилиндрийн гадаргуугийн талбайг бүхэлд нь үржүүлж объектын хийсэн зэсийн эзэлхүүнийг олж болно. зэс хуудасны зузааныг бид авна: V=dS 3=d2pir(r+h). Өмнөх асуудлын өгөгдлийг орлуулснаар бид дараахийг авна: V=0.223, 1410(10+10)=251.2 см3. Нүхтэй цилиндрийн массыг үйлдвэрлэхэд шаардагдах зэсийн эзэлхүүнийг зэсийн нягтралаар үржүүлэх замаар олж авч болно: м \u003d 251.28.96 \u003d 2251 г буюу 2.3 кг. Өөрөөр хэлбэл, хөндий цилиндр нь нэгэн төрлийнхээс 12 (28, 1/2, 3) дахин бага жинтэй.
