Математик болон боловсруулалтын хувьд аналитик дохионы тухай ойлголт (товчхондоо - C, AC) нь сөрөг давтамжийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдгүй цогц функц юм. Энэ үзэгдлийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүд нь Гильбертийн хувиргалтаар бие биетэйгээ холбоотой бодит функцууд юм. Аналитик дохио нь химийн шинжлэх ухаанд нэлээд түгээмэл тохиолддог үзэгдэл бөгөөд мөн чанар нь энэ ойлголтын математик тодорхойлолттой төстэй юм.
Тоглолт
Бодит функцийн аналитик дүрслэл нь анхны функц болон түүний Гильберт хувиргалтыг агуулсан аналитик дохио юм. Энэхүү дүрслэл нь математикийн олон зохицуулалтыг хөнгөвчилдөг. Гол санаа нь бодит функцийн Фурье хувирлын (эсвэл спектрийн) сөрөг давтамжийн бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь ийм спектрийн Гермитийн тэгш хэмийн улмаас илүүдэлтэй байдаг. Эдгээр сөрөг давтамжийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг ашиглахгүйгээр хаяж болноХэрэв та оронд нь нарийн төвөгтэй функцтэй ажиллахыг хүсч байгаа бол мэдээллийн алдагдал. Энэ нь зарим онцлог шинж чанаруудыг илүү хүртээмжтэй болгож, SSB зэрэг модуляц, демодуляцийн техникийг гаргахад хялбар болгодог.
Сөрөг бүрэлдэхүүн хэсгүүд
Удирдаж буй функц нь сөрөг давтамжийн бүрэлдэхүүнгүй (өөрөөр хэлбэл аналитик хэвээр байгаа) л бол цогцолбороос бодит руу хөрвүүлэх нь зүгээр л төсөөллийн хэсгийг хаях явдал юм. Аналитик дүрслэл нь векторын тухай ойлголтын ерөнхий ойлголт юм: вектор нь цаг хугацааны хувьд өөрчлөгддөггүй далайц, фаз, давтамжаар хязгаарлагддаг бол аналитик дохионы чанарын шинжилгээ нь цаг хугацааны хувьд өөрчлөгддөг параметрүүдийг тодорхойлох боломжийг олгодог.
Агшин зуурын далайц, агшин зуурын фаз болон давтамжийг зарим хэрэглээнд C-ийн орон нутгийн онцлогийг хэмжих, илрүүлэхэд ашигладаг. Аналитик дүрслэлийн өөр нэг хэрэглээ нь модуляцлагдсан дохионы демодуляцитай холбоотой. Туйлын координатууд нь AM болон фазын (эсвэл давтамж) модуляцын нөлөөг хялбархан салгаж, зарим төрлийн модуляцийг үр дүнтэйгээр устгадаг.
Тэгвэл бодит коэффициент бүхий энгийн бага дамжуулалтын шүүлтүүр нь сонирхсон хэсгийг таслах боломжтой. Өөр нэг сэдэл нь хамгийн их давтамжийг бууруулах явдал бөгөөд энэ нь нэрийн бус түүвэрлэлтийн хамгийн бага давтамжийг бууруулдаг. Давтамжийн шилжилт нь дүрслэлийн математикийн ашиг тусыг алдагдуулдаггүй. Тиймээс, энэ утгаараа доош хөрвүүлсэн нь аналитик хэвээр байна. Гэсэн хэдий ч, бодит төлөөлөл сэргээхзүгээр л жинхэнэ бүрэлдэхүүн хэсгийг гаргаж авах энгийн асуудал байхаа больсон. Дээш хөрвүүлэх шаардлагатай бөгөөд хэрэв дохиог түүвэрлэсэн бол (дискрет хугацаа) өөр нэр өгөхөөс зайлсхийхийн тулд интерполяци (дээд түүвэрлэлт) шаардлагатай байж болно.
Хувьсагч
Үзэл баримтлал нь ихэвчлэн түр зуурынх байдаг ганц хувьсагч үзэгдлийн хувьд маш сайн тодорхойлогдсон байдаг. Энэхүү түр зуурын шинж чанар нь олон тооны математикчдыг төөрөлдүүлдэг. Хоёр ба түүнээс дээш хувьсагчийн хувьд аналитик С-г өөр өөр аргаар тодорхойлж болох ба доор хоёр хандлагыг үзүүлэв.
Энэ үзэгдлийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүд нь нэг хувьсагчтай ижил төстэй үзэгдлийн хувьд тодорхойлогдсон вектор утгатай моноген дохионы хоёр элементтэй тохирч байна. Гэсэн хэдий ч моногенийг энгийн аргаар дурын тооны хувьсагчид хүртэл өргөтгөж, n-хувьсагчийн дохионы тохиолдолд (n + 1) хэмжээст вектор функцийг үүсгэж болно.
Дохионы хувиргалт
Та бодит бүрэлдэхүүн хэсгийн Хилберт хувиргалт болох төсөөллийн (Q) бүрэлдэхүүнийг нэмснээр бодит дохиог аналитик болгон хувиргаж болно.
Дашрамд хэлэхэд энэ нь түүний дижитал боловсруулалтын хувьд шинэ зүйл биш юм. Нэг талын зурвас (SSB) AM үүсгэх уламжлалт аргуудын нэг нь фазын арга нь аналог резистор-конденсатор сүлжээнд аудио дохионы Hilbert хувиргалтыг үүсгэх замаар дохио үүсгэх явдал юм. Энэ нь зөвхөн эерэг давтамжтай тул үүнийг зөвхөн нэг хажуугийн зурвас бүхий модуляцлагдсан RF дохио болгон хувиргахад хялбар байдаг.
Тодорхойлолтын томьёо
Аналитик дохионы илэрхийлэл нь дээд комплекс хагас хавтгайн хил дээр тодорхойлогдсон холоморф комплекс функц юм. Дээд талын хагас хавтгайн хил нь санамсаргүй давхцаж байгаа тул C-г зураглалаар өгөгдөнө fa: R → C. Өнгөрсөн зууны дунд үеэс Денис Габор 1946 онд энэ үзэгдлийг тогтмол далайц, үе шатыг судлахад ашиглахыг санал болгосноос хойш, дохио нь олон програмыг олсон. Энэ үзэгдлийн онцлогийг онцлон тэмдэглэсэн [Vak96], энд зөвхөн аналитик дохионы чанарын шинжилгээ нь далайц, фаз, давтамжийн физик нөхцөлтэй тохирч байгааг харуулсан.
Сүүлийн амжилт
Сүүлийн хэдэн арван жилд зураг/видео боловсруулалтаас эхлээд газар хөдлөлт, цахилгаан соронзон, цахилгаан соронзон гэх мэт физикийн олон хэмжээст хэлбэлзлийн процесс хүртэлх салбарт үүссэн асуудлуудаас үүдэн дохиог олон хэмжүүрээр судлах сонирхол бий болсон. таталцлын долгион. Хэд хэдэн хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд аналитик С (чанарын шинжилгээ) -ийг зөв ерөнхийлөн дүгнэхийн тулд энгийн нийлмэл тоонуудыг тохиромжтой байдлаар өргөтгөх алгебрийн бүтцэд найдах хэрэгтэй гэдгийг ерөнхийд нь хүлээн зөвшөөрдөг. Ийм бүтээцийг ихэвчлэн гиперкомплекс тоо [SKE] гэж нэрлэдэг.
Эцэст нь, гиперкомплекс аналитик дохио fh байгуулах боломжтой байх ёстой: Rd → S, зарим ерөнхий гиперкомплекс алгебрийн системийг төлөөлдөг бөгөөд энэ нь агшин зуурын далайцыг олж авахын тулд шаардлагатай бүх шинж чанарыг байгалийн жамаар өргөтгөдөг.үе шат.
Суралцах
Хэд хэдэн нийтлэл нь агшин зуурын далайц ба фазын судалгаанд зориулагдсан гиперкомплекс тооллын системийг зөв сонгох, Фурьегийн гиперкомплексийн хувиргалт ба Гилбертийн бутархай хувиргалтыг тодорхойлохтой холбоотой янз бүрийн асуудалд зориулагдсан болно. Энэ ажлын ихэнх нь Cd, кватернионууд, Клеарон алгебрууд, Кэйли-Диксон байгууламжууд гэх мэт янз бүрийн орон зайн шинж чанарууд дээр үндэслэсэн.
Дараа нь бид дохиог олон хэмжүүрээр судлахад зориулсан зарим бүтээлийг л жагсаах болно. Бидний мэдэж байгаагаар 1990-ээд оны эхээр олон хувилбарт аргын анхны бүтээлүүдийг олж авсан. Үүнд гиперкомплекс хувиргалтуудын тухай Эллийн ажил [Ell92]; Булоугийн олон хэмжилтийн аналитик урвалын аргыг (аналитик дохио) ерөнхий болгох ажил [BS01] ба Фельсберг, Соммер нарын моноген дохион дээрх ажил.
Цаашид хэтийн төлөв
Гиперкомплекс дохио нь 1D тохиолдолд бидэнд байгаа бүх ашигтай шинж чанарыг өргөжүүлэх төлөвтэй байна. Юуны өмнө бид хэмжилтийн агшин зуурын далайц, үе шатыг ялгаж, нэгтгэх чадвартай байх ёстой. Хоёрдугаарт, нийлмэл аналитик дохионы Фурье спектр нь зөвхөн эерэг давтамжид хадгалагддаг тул бид гиперкомплекс Фурье хувиргалт нь өөрийн хэт үнэлэгдсэн спектртэй байх болно гэж бид хүлээж байгаа бөгөөд энэ нь зөвхөн гиперкомплекс орон зайн эерэг квадратад л хадгалагдах болно. Учир нь энэ нь маш чухал.
Гуравдугаарт, нийлмэл ойлголтын нийлмэл хэсгүүданалитик дохио нь Гильбертийн хувиргалттай холбоотой бөгөөд гиперкомплекс орон зай дахь коньюгат бүрдэл хэсгүүд нь мөн Гильбертийн хувиргалтын зарим хослолтой холбоотой байх ёстой гэж бид үзэж болно. Эцэст нь хэлэхэд, гиперкомплекс дохиог гиперкомплекс орон зай дахь зарим хэлбэрийн зааг дээр тодорхойлсон хэд хэдэн гиперкомплекс хувьсагчийн зарим гиперкомплекс голоморф функцийн өргөтгөл гэж тодорхойлох ёстой.
Бид эдгээр асуудлыг дэс дарааллаар шийдэж байна. Юуны өмнө бид Фурьегийн интеграл томьёог судалж, Гилбертийн 1-D хувиргалт нь өөрчлөгдсөн Фурье интеграл томъёотой холбоотой болохыг харуулж байна. Энэ баримт нь гиперкомплекс тооллын систем болон холоморф функцэд хамааралгүйгээр агшин зуурын далайц, фаз, давтамжийг тодорхойлох боломжийг олгодог.
Интегралын өөрчлөлт
Бид өөрчилсөн Фурьегийн интеграл томьёог хэд хэдэн хэмжигдэхүүн болгон өргөтгөж, агшин зуурын далайц болон фаз болгон цуглуулж болох бүх шаардлагатай фазын шилжсэн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг тодорхойлох замаар үргэлжлүүлнэ. Хоёрдугаарт, бид хэд хэдэн гиперкомплекс хувьсагчийн голоморф функцууд байгаа эсэх тухай асуулт руу ханддаг. [Sch93]-ын дараа эллипс (e2i=−1) генераторуудын үүсгэсэн коммутатив ба ассоциатив гиперкомплекс алгебр нь гиперкомплекс аналитик дохиог амьдрахад тохиромжтой орон зай болох нь тодорхой болсон тул бид ийм гиперкомплекс алгебрийг Шеферийн орон зай гэж нэрлээд тэмдэглэнэ. тэрСд.
Тиймээс аналитик дохионы гиперкомплекс нь полидискийн зааг дээрх голоморф функцээр тодорхойлогддог / зарим гиперкомплекс орон зай дахь хавтгайн дээд тал нь үүнийг бид ерөнхий Шеферийн орон зай гэж нэрлэдэг ба Sd гэж тэмдэглэдэг. Дараа нь бид Sd дахь полидиск доторх гипер гадаргуу дээр тооцоологдох Sd → Sd функцүүдийн Кошигийн интеграл томьёоны үнэн зөвийг ажиглаж, гиперкомплекс коньюгат бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй холбоотой харгалзах бутархай Гильберт хувиргалтыг гаргаж авдаг. Эцэст нь, Шеферийн орон зай дахь утгууд бүхий Фурье хувиргалтыг зөвхөн сөрөг бус давтамжтайгаар дэмждэг болох нь харагдаж байна. Энэ нийтлэлийн ачаар та аналитик дохио гэж юу болохыг олж мэдсэн.
