Энгийн бөгөөд товчоор хэлбэл хамрах хүрээ гэдэг нь аливаа функцийн авч болох утгууд юм. Энэ сэдвийг бүрэн судлахын тулд та дараах цэгүүд болон ойлголтуудыг аажмаар задлах хэрэгтэй. Эхлээд функцийн тодорхойлолт болон түүний үүссэн түүхийг ойлгоцгооё.
Функц гэж юу вэ
Бүх нарийн шинжлэх ухаан нь тухайн хувьсагчид бие биенээсээ ямар нэгэн байдлаар хамааралтай байдаг олон жишээг бидэнд өгдөг. Жишээлбэл, бодисын нягт нь түүний масс, эзэлхүүнээр бүрэн тодорхойлогддог. Тогтмол эзэлхүүн дэх хамгийн тохиромжтой хийн даралт нь температураас хамаарч өөрчлөгддөг. Эдгээр жишээнүүд нь бүх томьёо нь функциональ гэж нэрлэгддэг хувьсагчдын хоорондын хамааралтай холбоотой байдаг.
Функц гэдэг нь нэг хэмжигдэхүүн нөгөө хэмжигдэхүүнээс хамаарлыг илэрхийлдэг ойлголт юм. Энэ нь y=f(x) хэлбэртэй, энд y нь функцын утга бөгөөд энэ нь х аргументаас хамаарна. Тиймээс y нь x-ийн утгаас хамааралтай хувьсагч гэж хэлж болно. x-ийн хамт авч болох утгууд ньөгөгдсөн функцийн муж (D(y) эсвэл D(f)), үүний дагуу y-ийн утгууд нь функцийн утгуудын багцыг бүрдүүлдэг (E(f) эсвэл E(y)). Функцийг ямар нэг томъёогоор өгөх тохиолдол байдаг. Энэ тохиолдолд тодорхойлолтын домэйн нь томьёотой тэмдэглэгээ нь утга учиртай ийм хувьсагчийн утгаас бүрдэнэ.
Тохирох эсвэл тэнцүү онцлогууд байна. Эдгээр нь хүчинтэй утгуудын тэнцүү мужтай хоёр функц бөгөөд функцийн өөрийн утга нь бүх ижил аргументуудад тэнцүү байна.
Шинжлэх ухааны олон хуулиудыг бодит амьдрал дээрх нөхцөл байдалтай адилхан нэрлэсэн байдаг. Математик функцийн талаар ийм сонирхолтой баримт бас бий. Ижил хязгаартай өөр хоёр функцийн хязгаарын тухай теорем байдаг - хоёр цагдаагийн тухай. Тэд үүнийг ингэж тайлбарлаж байна: Хоёр цагдаа нэг хоригдлыг тэдний дундах камер руу хөтөлж байгаа тул гэмт хэрэгтэн тийшээ очихоос өөр аргагүйд хүрдэг.
Түүхэн онцлогийн лавлагаа
Функцийн тухай ойлголт тэр даруй эцсийн бөгөөд тодорхой болоогүй, удаан хугацааны туршид бий болсон. Нэгдүгээрт, 17-р зууны сүүлчээр хэвлэгдсэн Фермагийн "Хавт болон хатуу газруудын танилцуулга ба судалгаа"-д дараах зүйлийг дурджээ:
Төгсгөлийн тэгшитгэлд хоёр үл мэдэгдэх зүйл байвал зай бий.
Ерөнхийдөө энэ бүтээл нь функциональ хамаарал болон түүний материаллаг дүр төрхийг (газар=шугам) ярьдаг.
Мөн яг тэр үед Рене Декарт "Геометр" (1637) бүтээлдээ шулуунуудыг тэгшитгэлээр нь судалсан нь дахин баримт юм.хоёр хэмжигдэхүүн бие биенээсээ хамаарах хамаарал.
"Функц" гэсэн нэр томьёо нь зөвхөн 17-р зууны төгсгөлд Лейбництэй хамт гарч ирсэн боловч орчин үеийн тайлбарт биш юм. Тэрээр шинжлэх ухааны ажилдаа функцийг муруй шугамтай холбоотой янз бүрийн сегмент гэж үзсэн.
Гэхдээ аль хэдийн 18-р зуунд функцийг илүү зөв тодорхойлж эхэлсэн. Бернулли дараах зүйлийг бичсэн:
Функц нь хувьсагч ба тогтмолоос бүрдэх утга юм.
Эйлерийн бодол ч үүнтэй ойр байсан:
Хувьсах хэмжигдэхүүний функц нь энэ хувьсах хэмжигдэхүүн, тоо эсвэл тогтмол хэмжигдэхүүнээс ямар нэгэн байдлаар бүтсэн аналитик илэрхийлэл юм.
Зарим хэмжигдэхүүн бусдаас хамааралтай байх үед сүүлийнх нь өөрчлөгдөхөд өөрөө өөрчлөгддөг бол эхнийх нь сүүлчийнх нь функц гэж нэрлэгддэг.
Функцийн график
Функцийн график нь координатын хавтгайн тэнхлэгт хамаарах бүх цэгүүдээс бүрдэх ба тэдгээрийн абсциссууд нь аргументийн утгуудыг авдаг бөгөөд эдгээр цэгүүд дээрх функцийн утгууд нь ординат юм.
Функцийн хамрах хүрээ нь түүний графиктай шууд холбоотой, учир нь хэрэв хүчинтэй утгын мужид абсциссыг хассан бол та график дээр хоосон цэг зурах эсвэл графикийг тодорхой хязгаарт зурах хэрэгтэй. Жишээлбэл, y=tgx хэлбэрийн графикийг авбал x=pi / 2 + pin, n∉R утгыг тодорхойлох талбараас хасна, шүргэгч графикийн хувьд та зурах хэрэгтэй.±pi/2 цэгүүдийг дайран өнгөрөх y тэнхлэгтэй параллель босоо шугамууд (тэдгээрийг асимптот гэж нэрлэдэг).
Функцуудыг нарийвчлан, нарийн судлах аливаа математикийн тооцоолол хэмээх том салбарыг бүрдүүлдэг. Математикийн анхан шатны хичээлд функцийн талаархи энгийн асуултууд, жишээлбэл, энгийн график байгуулах, функцийн зарим үндсэн шинж чанарыг тогтоох зэрэг асуудлыг хөнддөг.
Ямар функцийг тохируулах боломжтой
Функц нь:
- томьёо байх, жишээ нь: y=cos x;
- хэлбэрийн (x; y) дурын хос хүснэгтээр тохируулна;
- нэн даруй график харагдацтай болно, үүний тулд маягтын өмнөх зүйлийн (x; y) хосуудыг координатын тэнхлэгүүд дээр харуулах ёстой.
Өндөр түвшний асуудлуудыг шийдвэрлэхдээ болгоомжтой байгаарай, бараг ямар ч илэрхийллийг y (x) функцийн утгын зарим аргументтай холбоотой функц гэж үзэж болно. Ийм ажлуудаас тодорхойлолтын домэйныг олох нь шийдлийн түлхүүр байж болно.
Хамрах хүрээ юу вэ?
Функцийг судлах эсвэл бүтээхийн тулд хамгийн түрүүнд мэдэх ёстой зүйл бол түүний хамрах хүрээ юм. График нь зөвхөн функц байж болох цэгүүдийг агуулсан байх ёстой. Тодорхойлолтын домэйныг (x) мөн хүлээн зөвшөөрөгдөх утгын домэйн (ODZ гэж товчилсон) гэж нэрлэж болно.
Функцийн графикийг зөв бөгөөд хурдан бүтээхийн тулд та энэ функцийн домайныг мэдэх хэрэгтэй, учир нь графикийн харагдах байдал, үнэнч байдал нь үүнээс хамаардаг.барилга. Жишээлбэл, y=√x функцийг бүтээхийн тулд та x нь зөвхөн эерэг утгыг авах боломжтой гэдгийг мэдэх хэрэгтэй. Тиймээс энэ нь зөвхөн эхний координатын квадратад баригдсан.
Энгийн функцүүдийн жишээн дээрх тодорхойлолтын хамрах хүрээ
Арсеналдаа математик нь цөөн тооны энгийн, тодорхойлогдсон функцуудтай. Тэд хязгаарлагдмал хүрээтэй. Энэ асуудлыг шийдэх нь таны өмнө төвөгтэй гэж нэрлэгддэг функцтэй байсан ч хүндрэл учруулахгүй. Энэ бол хэд хэдэн энгийн зүйлийн нэгдэл юм.
- Тиймээс функц нь бутархай байж болно, жишээлбэл: f(x)=1/x. Тиймээс хувьсагч (бидний аргумент) хуваарьт байгаа бөгөөд бутархайн хуваагч нь 0-тэй тэнцүү байж болохгүй гэдгийг хүн бүр мэддэг тул аргумент нь 0-ээс бусад ямар ч утгыг авч болно. Тэмдэглэгээ нь дараах байдлаар харагдах болно: D(y)=x∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞). Хэрэв хуваарьт хувьсагчтай ямар нэг илэрхийлэл байгаа бол та x-ийн тэгшитгэлийг шийдэж, хуваагчийг 0 болгон хувиргах утгуудыг хасах хэрэгтэй. Схемийн дүрслэлийн хувьд сайн сонгосон 5 цэг хангалттай. Энэ функцийн график нь (0; 0) цэгээр дамжин өнгөрч буй босоо асимптот бүхий гипербол болон Үхэр ба Ой тэнхлэгүүдийг хослуулах болно. График дүрс нь асимптоттой огтлолцож байвал ийм алдааг хамгийн бүдүүлэг гэж үзнэ.
- Гэхдээ язгуурын домайн гэж юу вэ? Хувьсагч агуулсан радикал илэрхийлэл (f(x)=√(2x + 5)) бүхий функцийн муж нь мөн өөрийн гэсэн нюанстай (зөвхөн тэгш градусын язгуурт хамаарна). гэх мэтарифметик язгуур нь эерэг илэрхийлэл буюу 0-тэй тэнцүү бол язгуур илэрхийлэл нь 0-ээс их буюу тэнцүү байх ёстой, бид дараах тэгш бус байдлыг шийднэ: 2x + 5 ≧ 0, x ≧ -2, 5, тиймээс түүний домэйн функц: D(y)=x ∈ (-2, 5; +∞). График нь координатын эхний квадратад байрлах 90 градус эргүүлсэн параболын салбаруудын нэг юм.
- Хэрэв бид логарифмын функцтэй харьцаж байгаа бол логарифмын суурь болон логарифмын тэмдгийн доорх илэрхийлэлд хязгаарлалт байгаа гэдгийг санах хэрэгтэй, энэ тохиолдолд та тодорхойлолтын мужийг дараах байдлаар олж болно. дагадаг. Бидэнд функц байна: y=loga(x + 7), бид тэгш бус байдлыг шийднэ: x + 7 > 0, x > -7. Тэгвэл энэ функцийн муж нь D(y)=x ∈ (-7; +∞). байна.
- Мөн y=tgx ба y=ctgx хэлбэрийн тригонометрийн функцүүдэд анхаарлаа хандуулаарай, учир нь y=tgx=sinx/cos/x ба y=ctgx=cosx/sinx тул та утгыг хасах хэрэгтэй Энэ үед хуваагч нь тэгтэй тэнцүү байж болно. Хэрэв та тригонометрийн функцүүдийн графикийг мэддэг бол тэдгээрийн домайныг ойлгох нь энгийн ажил юм.
Нэг төвөгтэй функцүүдтэй ажиллах нь хэрхэн өөр байна
Хэд хэдэн үндсэн дүрмийг санаарай. Хэрэв бид нарийн төвөгтэй функцтэй ажиллаж байгаа бол ямар нэг зүйлийг шийдэх, хялбарчлах, бутархай нэмэх, хамгийн бага нийтлэг хуваагч руу багасгах, үндсийг задлах шаардлагагүй болно. Өөр өөр (ижил) үйлдлүүд нь функцийн хамрах хүрээг өөрчилж, буруу хариулт өгөх тул бид энэ функцийг судлах ёстой.
Жишээ нь бид нарийн төвөгтэй функцтэй: y=(x2 - 4)/(x - 2). Бид бутархайн хуваагч ба хуваагчийг багасгаж чадахгүй, учир нь энэ нь зөвхөн x ≠ 2 тохиолдолд л боломжтой бөгөөд энэ нь функцийн мужийг олох даалгавар тул бид тоологчийг хүчин зүйлд тооцдоггүй бөгөөд тэгш бус байдлыг шийддэггүй, учир нь нүцгэн нүдэнд харагдахуйц функц байхгүй утга. Энэ тохиолдолд х нь 2-ын утгыг авч чадахгүй, учир нь хуваагч 0-д очиж чадахгүй тул тэмдэглэгээ нь дараах байдалтай харагдана: D(y)=x ∉ (-∞; 2) ∪ (2; +∞).
Харилцан үйлдлүүд
Эхлэхийн тулд функц нь зөвхөн өсөлт, бууралтын интервалд л буцах боломжтой гэдгийг хэлэх нь зүйтэй. Урвуу функцийг олохын тулд тэмдэглэгээн дэх x ба у-г сольж, x-ийн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй. Тодорхойлолтын домэйн болон үнэ цэнийн домайнууд зүгээр л урвуу байна.
Урвах чадварын гол нөхцөл нь функцийн монотон интервал бөгөөд хэрэв функц нь өсөлт буурах интервалтай бол аль нэг интервалын урвуу функцийг (өсөх, буурах) зохиох боломжтой.
Жишээ нь y=ex экспоненциал функцийн хувьд эсрэг тал нь натурал логарифм функц y=logea=lna. Тригонометрийн хувьд эдгээр нь arc- угтвартай функцууд байх болно: y=sinx ба y=arcsinx гэх мэт. Графикуудыг зарим тэнхлэг эсвэл асимптотуудтай харьцуулахад тэгш хэмтэй байрлуулна.
Дүгнэлт
Зөвшөөрөгдөх утгын хүрээг хайх нь функцүүдийн графикийг (хэрэв байгаа бол) шалгахад хүргэдэг.тэгш бус байдлын шаардлагатай тодорхой системийг бүртгэж, шийдвэрлэх.
Тиймээс энэ нийтлэл нь функцын хамрах хүрээ нь юу болох, түүнийг хэрхэн олох талаар ойлгоход тусалсан. Энэ нь танд суурь сургуулийн хичээлийг сайн ойлгоход тусална гэж найдаж байна.
