Шууд призм гэж юу вэ? Шинж чанар ба томъёо. Даалгаврын жишээ

2024 Зохиолч: Angel Austin | [email protected]. Хамгийн сүүлд өөрчлөгдсөн: 2023-12-17 05:36

Стереометр нь гурван хэмжээст геометрийн дүрсийн шинж чанарыг судалдаг шинжлэх ухаан юм. Геометрийн асуудлуудад гарч ирдэг алдартай эзэлхүүний дүрсүүдийн нэг бол шулуун призм юм. Энэ нийтлэлд энэ нь юу болохыг авч үзье, мөн гурвалжин суурьтай призмийг дэлгэрэнгүй тайлбарлая.

Призм ба түүний төрлүүд

Призм нь орон зайд олон өнцөгт параллель хөрвүүлсний үр дүнд үүссэн дүрс юм. Энэхүү геометрийн үйлдлийн үр дүнд хэд хэдэн параллелограмм, бие биетэйгээ параллель хоёр ижил олон өнцөгтөөс бүрдсэн дүрс үүсдэг. Параллелограмм нь призмийн талууд, олон өнцөгт нь түүний суурь юм.

Аливаа призм нь n+2 тал, 3n ирмэг, 2n оройтой байх ба энд n нь олон өнцөгт суурийн өнцөг буюу талуудын тоо юм. Зураг нь 7 тал, 10 орой, 15 ирмэг бүхий таван өнцөгт призмийг харуулж байна.

Харгалзан үзэх ангиллын дүрсийг хэд хэдэн төрлийн призмээр төлөөлдөг. Бид тэдгээрийг товч жагсаав:

• хотгор ба гүдгэр;
• ташуу ба шулуун;
• буруу зөв.

Зураг бүр нь жагсаасан гурван төрлийн ангиллын аль нэгэнд хамаарна. Геометрийн асуудлыг шийдэхдээ энгийн ба шулуун призмийн тооцоог хийх нь хамгийн хялбар байдаг. Сүүлчийн талаар өгүүллийн дараагийн догол мөрөнд илүү дэлгэрэнгүй авч үзэх болно.

Шууд призм гэж юу вэ?

Шулуун призм гэдэг нь бүх талыг 90° өнцөгтэй дөрвөлжин хэлбэрээр дүрсэлсэн хотгор буюу гүдгэр, энгийн ба жигд бус призм юм. Хэрэв талуудын дөрвөлжингийн дор хаяж нэг нь тэгш өнцөгт эсвэл дөрвөлжин биш бол призмийг ташуу гэж нэрлэдэг. Өөр нэг тодорхойлолтыг өгч болно: шулуун призм нь аль ч хажуугийн ирмэг нь өндөртэй тэнцүү байх өгөгдсөн ангийн ийм дүрс юм. Призмийн h өндөрт суурийн хоорондох зайг тооцно.

Шууд призм гэсэн өгөгдсөн тодорхойлолтуудын аль аль нь тэнцүү бөгөөд өөрөө хангалттай. Эдгээрээс харахад аль ч суурь ба тал бүрийн хоорондох бүх хоёр өнцөгт өнцөг нь 90° байна.

Бодлого шийдвэрлэхдээ шулуун дүрстэй ажиллахад тохиромжтой гэж дээр хэлсэн. Энэ нь өндөр нь хажуугийн хавирганы урттай тохирч байгаатай холбоотой юм. Сүүлийн баримт нь зургийн эзэлхүүн болон түүний хажуугийн гадаргуугийн талбайг тооцоолох үйл явцыг хөнгөвчилдөг.

Шууд призмийн эзэлхүүн

Эзлэхүүн - аливаа орон зайн дүрст хамаарах утга бөгөөд энэ нь авч үзсэн гадаргуугийн хоорондох зайны хэсгийг тоогоор илэрхийлдэг.обьект. Призмийн эзэлхүүнийг дараах ерөнхий томъёогоор тооцоолж болно:

V=S_oцаг.

Өөрөөр хэлбэл, суурийн өндөр ба талбайн үржвэр нь хүссэн V утгыг өгнө. Шулуун призмийн сууриуд тэнцүү тул S_{o талбайг тодорхойлно.} та тэдгээрийн аль нэгийг нь авч болно.

Дээрх томьёог тусгайлан шулуун призмийн төрөлтэй харьцуулахад ашиглахын давуу тал нь хажуугийн ирмэгийн урттай давхцаж байгаа тул зургийн өндрийг олоход маш хялбар байдаг.

Хажуугийн хэсэг

Харж буй ангийн шулуун дүрсийн эзлэхүүн төдийгүй түүний хажуугийн гадаргууг тооцоход тохиромжтой. Үнэн хэрэгтээ түүний аль ч тал нь тэгш өнцөгт эсвэл дөрвөлжин юм. Оюутан бүр эдгээр хавтгай дүрсүүдийн талбайг хэрхэн тооцоолохыг мэддэг тул үүний тулд зэргэлдээх талуудыг хооронд нь үржүүлэх шаардлагатай.

Призмийн суурь нь талууд нь a_i-тэй тэнцүү дурын n өнцөг гэж үзье. i индекс 1-ээс n хүртэл үргэлжилнэ. Нэг тэгш өнцөгтийн талбайг дараах байдлаар тооцоолно:

S_i=a_ih.

Хажуугийн гадаргуугийн S_b бүх талбайн S_i тэгш өнцөгтүүдийг нэмбэл тооцоолоход хялбар болно. Энэ тохиолдолд бид S_bшулуун призмийн эцсийн томъёог авна:

S_b=h∑_i=1(a_i)=hP_o.

Тиймээс шулуун призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбайг тодорхойлохын тулд түүний өндрийг нэг суурийн периметрээр үржүүлэх шаардлагатай.

Гурвалжин призмийн асуудал

Шулуун призм өгөгдсөн гэж үзье. Суурь нь тэгш өнцөгт гурвалжин юм. Энэ гурвалжны хөл нь 12 см ба 8 см бөгөөд призмийн өндөр 15 см бол зургийн эзэлхүүн болон түүний нийт талбайг тооцоолох шаардлагатай.

Эхлээд шулуун призмийн эзэлхүүнийг тооцоолъё. Сууриндаа байрлах гурвалжин (тэгш өнцөгт) нь талбайтай:

S_o=a₁a₂/2=128/2=48см².

Таны таамаглаж байгаачлан a₁ болон a₂ нь энэ тэгшитгэлийн хөл юм. Суурийн талбай ба өндрийг (асуудлын нөхцөлийг харна уу) мэдэж байгаа тул V-ийн томъёог ашиглаж болно:

V=S_oh=4815=720см³.

Зургийн нийт талбай нь суурийн талбай ба хажуугийн гадаргуу гэсэн хоёр хэсгээс бүрдэнэ. Хоёр суурийн талбайнууд нь:

S_2o=2S_o=482=96см².

Хажуугийн гадаргуугийн талбайг тооцоолохын тулд та тэгш өнцөгт гурвалжны периметрийг мэдэх хэрэгтэй. Пифагорын теоремоор түүний гипотенузыг a₃ тооцоолбол:

a₃ =√(a₁²+ a₂ 2^)=√(122^{+ 8}2^{)=14.42 см.}

Тэгвэл баруун призмийн суурийн гурвалжны периметр нь:

болно.

P=a₁+ a₂+ a₃=12 + 8 + 14, 42=34, 42 см.

Өмнөх догол мөрөнд бичсэн S_b томъёог хэрэглэвэл,авах:

S_b=hP=1534, 42=516, 3 см.

S_2o ба S_b талбайнуудыг нэмбэл судлагдсан геометрийн дүрсийн нийт гадаргуугийн талбайг авна:

S=S_2o+ S_b=96 + 516, 3=612, 3см^2.

Тусгай төрлийн шилээр хийсэн гурвалжин призмийг оптикт гэрэл ялгаруулах биетийн спектрийг судлахад ашигладаг. Ийм призм нь дисперсийн үзэгдлийн улмаас гэрлийг бүрэлдэхүүн давтамж болгон задлах чадвартай.