Математик нь эртний үеэс гаралтай. Түүний ачаар архитектур, барилга, цэргийн шинжлэх ухаан нь хөгжлийн шинэ үе шатыг өгч, математикийн тусламжтайгаар олж авсан ололт амжилт нь ахиц дэвшлийн хөдөлгөөнд хүргэв. Өнөөдрийг хүртэл математик бусад бүх салбарт байдаг гол шинжлэх ухаан хэвээр байна.
Хүүхдүүд боловсролтой болохын тулд 1-р ангиасаа эхлэн энэ орчинд аажмаар уусч эхэлдэг. Математикийг ойлгох нь маш чухал бөгөөд энэ нь хүн бүрийн амьдралын туршид нэг хэмжээгээр тохиолддог. Энэ нийтлэл нь үндсэн элементүүдийн нэг болох дериватив олох, хэрэглэхэд дүн шинжилгээ хийх болно. Хүн бүр энэ ойлголтыг хэр өргөнөөр ашигладаг болохыг төсөөлж чадахгүй. Тодорхой салбар эсвэл шинжлэх ухаанд деривативын 10 гаруй хэрэглээг авч үзье.
Үүсмэлийг функцийг судлахад ашиглах
Дериватив нь ийм хязгаар юмаргументын илтгэгч тэг болох хандлагатай үед функцийн өсөлтийг түүний аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцаа. Дериватив нь функцийг судлахад зайлшгүй шаардлагатай зүйл юм. Жишээлбэл, сүүлийнх, экстремум, гүдгэр, хонхорхойн өсөлт, бууралтыг тодорхойлоход ашиглаж болно. Математикийн их, дээд сургуулийн 1, 2-р курсын оюутнуудын заавал судлах хөтөлбөрт дифференциал тооцоолол орсон.
Хамрах хүрээ ба функц тэг
Графикийг судлах эхний үе шат нь тодорхойлолтын хүрээг, илүү ховор тохиолдолд утгыг олохоос эхэлдэг. Тодорхойлолтын домэйн нь абсцисса тэнхлэгийн дагуу тавигддаг, өөрөөр хэлбэл эдгээр нь OX тэнхлэг дээрх тоон утгууд юм. Ихэнхдээ хамрах хүрээг аль хэдийн тохируулсан байдаг, гэхдээ хэрэв тийм биш бол x аргументын утгыг үнэлэх хэрэгтэй. Хэрэв аргументын зарим утгын хувьд функц утгагүй байвал энэ аргумент хамрах хүрээнээс хасагдана гэж бодъё.
Функцийн тэгийг энгийн аргаар олно: f(x) функцийг тэгтэй тэнцүүлж, үүссэн тэгшитгэлийг нэг x хувьсагчтай холбоотойгоор шийдэх ёстой. Тэгшитгэлийн олж авсан язгуурууд нь функцийн тэг, өөрөөр хэлбэл эдгээр x-д функц 0 байна.
Өсөх, бууруулах
Нэг хэвийн байдлын функцуудыг судлахын тулд дериватив ашиглахыг хоёр байр сууринаас авч үзэж болно. Монотон функц нь деривативын зөвхөн эерэг утгатай эсвэл зөвхөн сөрөг утгатай категори юм. Энгийнээр хэлбэл, уг функц нь судалж буй бүх интервалд зөвхөн нэмэгддэг эсвэл зөвхөн буурдаг:
- Параметрийг нэмэгдүүлэх. Чиг үүрэгf`(x)-ийн дериватив тэгээс их байвал f(x) нэмэгдэнэ.
- Уурах параметр. f`(x)-ийн дериватив тэгээс бага бол f(x) функц буурна.
Тагенс ба налуу
Үүсмэлийг функцийг судлахад хэрэглэх нь мөн тухайн цэг дээрх функцийн графикт шүргэгч (өнцөгт чиглэсэн шулуун) тодорхойлогддог. Цэг дэх шүргэгч (x0) - цэгийг дайран өнгөрөх ба координат нь (x0, f(x) функцэд хамаарах шулуун. 0 )) ба налуу f`(x0).
y=f(x0) + f`(x0)(x - x0) - функцийн графикийн өгөгдсөн цэгт шүргэгчийн тэгшитгэл.
Үүсмэлийн геометрийн утга: f(x) функцийн дериватив нь өгөгдсөн х цэгт энэ функцийн графикт үүссэн шүргэгчийн налуутай тэнцүү байна. Өнцгийн коэффициент нь эргээд эерэг чиглэлд OX тэнхлэгт (абсцисса) шүргэгчийн налуу өнцгийн тангенстай тэнцүү байна. Энэ үр дүн нь функцын графикт деривативыг хэрэглэхэд үндэс суурь болно.
Хамгийн их оноо
Судалгаанд дериватив ашиглах нь дээд ба доод оноог олох явдал юм.
Хамгийн бага ба дээд оноог олж тогтоохын тулд та:
- f(x) функцийн деривативыг ол.
- Үүссэн тэгшитгэлийг тэг болго.
- Тэгшитгэлийн язгуурыг ол.
- Дээд болон доод цэгүүдийг ол.
Хэт туйлуудыг олохын тулдонцлог:
- Дээрх аргыг ашиглан хамгийн бага ба хамгийн их оноог ол.
- Эдгээр оноог анхны тэгшитгэлд орлуулж ymax ба ymin
-г тооцоол.
Функцийн хамгийн их цэг нь интервал дээрх f(x) функцийн хамгийн том утга, өөрөөр хэлбэл xmax.
Функцийн хамгийн бага цэг нь интервал дээрх f(x) функцийн хамгийн бага утга, өөрөөр хэлбэл xнэр
Экстремум цэгүүд нь функцийн хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүд болон экстремумтай ижил байна (yмакс. ба yхамгийн бага) - экстремум цэгүүдэд тохирох функцын утгууд.
Гүдгэр ба хотгор
Та график зурахдаа дериватив ашиглан гүдгэр ба хотгорыг тодорхойлж болно:
- (a, b) интервал дээр шалгасан f(x) функц нь энэ интервал доторх бүх шүргэгчийнхээ доор байрласан бол хотгор байна.
- (a,b) интервал дээр судлагдсан f(x) функц нь энэ интервал доторх бүх шүргэгчийнхээ дээгүүр байрласан бол гүдгэр байна.
Гүдгэр ба хотгорыг ялгах цэгийг функцийн гулзайлтын цэг гэнэ.
Таслах цэгийг олохын тулд:
- Хоёр дахь төрлийн чухал цэгүүдийг ол (хоёр дахь дериватив).
- Мусгалалтын цэгүүд нь эсрэг талын хоёр тэмдгийг тусгаарладаг чухал цэгүүд юм.
- Функцийн гулзайлтын цэг дээрх функцийн утгыг тооцоолох.
Хэсэгчилсэн дериватив
ХэрэглээНэгээс олон үл мэдэгдэх хувьсагч ашигласан асуудалд ийм төрлийн деривативууд байдаг. Ихэнх тохиолдолд ийм деривативууд нь функцын графикийг, илүү нарийвчлалтайгаар, орон зайд хоёр тэнхлэгийн оронд гурван, тиймээс гурван хэмжигдэхүүн (хоёр хувьсагч ба нэг тогтмол) байдаг гадаргууг зурахад тааралддаг.
Хэсэгчилсэн деривативыг тооцоолох үндсэн дүрэм бол нэг хувьсагчийг сонгож, үлдсэнийг нь тогтмол гэж үзэх явдал юм. Иймд хэсэгчилсэн деривативыг тооцоолохдоо тогтмол нь тоон утга юм шиг болдог (олон дериватив хүснэгтэд тэдгээрийг C=const гэж тэмдэглэдэг). Ийм деривативын утга нь OX ба OY тэнхлэгийн дагуух z=f(x, y) функцийн өөрчлөлтийн хурд, өөрөөр хэлбэл баригдсан гадаргуугийн хонхор, товойсон эгц байдлыг тодорхойлдог.
Физикийн дериватив
Деривативыг физикт ашиглах нь өргөн тархсан бөгөөд чухал юм. Физик утга: замын цаг хугацааны дериватив нь хурд, хурдатгал нь цаг хугацааны хувьд хурдны дериватив юм. Физик утгаас нь авч үзвэл үүсмэл үгийн утгыг бүрэн хадгалан физикийн янз бүрийн салбаруудад олон салбарыг татах боломжтой.
Деривативын тусламжтайгаар дараах утгуудыг олно:
- Тавсан зайн деривативыг тооцдог кинематик дахь хурд. Хэрэв замын хоёр дахь дериватив эсвэл хурдны эхний дериватив олдвол биеийн хурдатгал олно. Үүнээс гадна материаллаг цэгийн агшин зуурын хурдыг олох боломжтой боловч үүний тулд ∆t ба ∆r өсөлтийг мэдэх шаардлагатай.
- Электродинамикт:хувьсах гүйдлийн агшин зуурын хүч, түүнчлэн цахилгаан соронзон индукцийн EMF-ийн тооцоо. Деривативыг тооцоолсноор та хамгийн их хүчийг олж чадна. Цахилгаан цэнэгийн хэмжээний дериватив нь дамжуулагч дахь гүйдлийн хүч юм.
Хими, биологийн дериватив
Хими: Дериватив нь химийн урвалын хурдыг тодорхойлоход хэрэглэгддэг. Деривативын химийн утга: функц p=p (t), энэ тохиолдолд p нь t хугацаанд химийн урвалд орох бодисын хэмжээ юм. ∆t - хугацааны өсөлт, ∆p - бодисын тоо хэмжээний өсөлт. ∆p-ийн ∆t-ийн харьцааны хязгаарыг ∆t тэглэх хандлагатай байгааг химийн урвалын хурд гэнэ. Химийн урвалын дундаж утга нь ∆p/∆t харьцаа юм. Хурдны хурдыг тодорхойлохдоо шаардлагатай бүх параметр, нөхцөлийг яг таг мэдэх, бодисын нэгдсэн төлөв, урсгалын орчныг мэдэх шаардлагатай. Энэ нь янз бүрийн үйлдвэрлэл, хүний үйл ажиллагаанд өргөн хэрэглэгддэг химийн салбарт нэлээд том тал юм.
Биологи: дундаж нөхөн үржихүйн хэмжээг тооцоолоход дериватив гэсэн ойлголтыг ашигладаг. Биологийн утга: бидэнд y=x(t) функц байна. ∆t - хугацааны өсөлт. Дараа нь зарим хувиргалтын тусламжтайгаар бид y`=P(t)=x`(t) функцийг олж авдаг - t хугацааны хүн амын амин чухал үйл ажиллагаа (нөхөн үржихүйн дундаж түвшин). Деривативын энэхүү хэрэглээ нь танд статистик мэдээлэл хөтлөх, үржихүйн хурдыг хянах гэх мэт боломжийг олгоно.
Газар зүй, эдийн засгийн дериватив
Дериватив нь газарзүйчдэд шийдэх боломжийг олгодогхүн амыг олох, сейсмографийн утгыг тооцоолох, цөмийн геофизикийн үзүүлэлтүүдийн цацраг идэвхт чанарыг тооцоолох, интерполяцийг тооцоолох зэрэг ажлууд.
Эдийн засагт тооцооллын чухал хэсэг нь дифференциал тооцоо болон деривативын тооцоо юм. Юуны өмнө энэ нь шаардлагатай эдийн засгийн үнэ цэнийн хязгаарыг тодорхойлох боломжийг бидэнд олгодог. Жишээлбэл, хөдөлмөрийн бүтээмж, зардал, ашиг хамгийн өндөр, хамгийн бага. Үндсэндээ эдгээр утгыг функцийн графикаас тооцдог бөгөөд тэдгээр нь экстремумыг олж, хүссэн хэсэгт функцийн монотон байдлыг тодорхойлдог.
Дүгнэлт
Энэхүү дифференциал тооцооллын үүрэг нь шинжлэх ухааны янз бүрийн бүтцэд өгүүлэлд дурдсанчлан оролцдог. Дериватив функцийг ашиглах нь шинжлэх ухаан, үйлдвэрлэлийн практик хэсгийн чухал элемент юм. Бид ахлах сургууль, их сургуульд нийлмэл график байгуулах, функцуудыг судлах, ажиллахыг заадаг байсан нь хоосон биш юм. Таны харж байгаагаар дериватив, дифференциал тооцоололгүйгээр амин чухал үзүүлэлт, хэмжигдэхүүнийг тооцоолох боломжгүй юм. Хүн төрөлхтөн янз бүрийн процессуудыг загварчилж, тэдгээрийг судалж, математикийн нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдэж сурсан. Үнэхээр математик бол бүх шинжлэх ухааны хатан хаан, учир нь энэ шинжлэх ухаан нь бусад бүх байгалийн болон техникийн салбаруудын үндэс суурь болдог.
