Функцийн экстремум цэг гэж юу байдгийг ойлгохын тулд эхний болон хоёр дахь дериватив байгаа эсэхийг мэдэх, тэдгээрийн физик утгыг ойлгох шаардлагагүй. Эхлээд та дараах зүйлийг ойлгох хэрэгтэй:
- function extrema нь дур мэдэн жижиг хороололд функцын утгыг ихэсгэх эсвэл эсрэгээр нь багасгах;
- Экстремум цэг дээр функцийн завсарлага байх ёсгүй.
Одоо ч мөн адил, зөвхөн энгийн хэлээр. Бөмбөг үзэгний үзүүрийг хар. Хэрэв үзэг нь босоо байрлалтай, бичээсийг нь дээш нь байрлуулсан бол бөмбөгний хамгийн дунд хэсэг нь хамгийн дээд цэг болох хамгийн дээд цэг болно. Энэ тохиолдолд бид дээд тал нь ярьж байна. Одоо, хэрэв та үзэгний үзүүрийг доош нь эргүүлбэл, бөмбөгний голд аль хэдийн хамгийн бага функц байх болно. Энд өгөгдсөн зургийн тусламжтайгаар та бичиг хэргийн харандаагаар жагсаасан заль мэхийг төсөөлж болно. Тиймээс функцийн экстремумууд нь үргэлж чухал цэгүүд байдаг: түүний максимум эсвэл минимум. Графикийн зэргэлдээ хэсэг нь дур зоргоороо хурц эсвэл гөлгөр байж болно, гэхдээ энэ нь хоёр талдаа байх ёстой, зөвхөн энэ тохиолдолд цэг нь экстремум болно. Хэрэв диаграм нь зөвхөн нэг талд байгаа бол энэ цэг нь нэг талдаа байсан ч экстремум болохгүйэкстремум нөхцөл хангагдсан. Одоо функцийн экстремумыг шинжлэх ухааны үүднээс судалъя. Нэг цэгийг экстремум гэж үзэхийн тулд шаардлагатай бөгөөд хангалттай:
- эхний дериватив нь тэгтэй тэнцүү эсвэл тухайн үед байхгүй байсан;
- эхний дериватив энэ үед тэмдэгээ өөрчилсөн.
Нөхцөлийг дээд эрэмбийн деривативын үүднээс арай өөрөөр тайлбарладаг: цэг дээр дифференциалагдах функцийн хувьд тэгтэй тэнцүү биш сондгой эрэмбийн дериватив байхад хангалттай. доод эрэмбийн деривативууд байх ёстой бөгөөд тэгтэй тэнцүү байх ёстой. Энэ бол дээд математикийн сурах бичгүүдийн теоремуудын хамгийн энгийн тайлбар юм. Гэхдээ хамгийн энгийн хүмүүсийн хувьд энэ асуудлыг жишээгээр тайлбарлах нь зүйтэй юм. Үүний үндэс нь ердийн парабол юм. Нэн даруй захиалгаа өг, тэг цэг дээр хамгийн багадаа байна. Жаахан математик:
- эхний дериватив (X2)|=2X, тэг цэгийн хувьд 2X=0;
- хоёр дахь дериватив (2X)|=2, тэг цэгийн хувьд 2=2.
Энэ бол нэгдүгээр эрэмбийн дериватив болон дээд эрэмбийн деривативын аль алинд нь функцийн экстремумуудыг тодорхойлох нөхцлийн энгийн жишээ юм. Хоёрдахь дериватив нь арай дээр яригдсан тэгтэй тэнцүү бус сондгой эрэмбийн ижил дериватив гэдгийг бид нэмж хэлж болно. Хоёр хувьсагчийн функцийн экстремумын тухай ярихад хоёр аргументийн нөхцөл хангагдсан байх ёстой. Хэзээерөнхийлөлт хийгдэж, дараа нь хэсэгчилсэн деривативуудыг ашигладаг. Өөрөөр хэлбэл, нэгдүгээр эрэмбийн дериватив хоёулаа тэгтэй тэнцүү эсвэл ядаж нэг нь байхгүй үед экстремум байх шаардлагатай. Экстремум байгаа эсэхийг шалгахын тулд хоёр дахь эрэмбийн деривативын үржвэр ба функцийн холимог хоёрдугаар эрэмбийн деривативын квадратын хоорондох зөрүү болох илэрхийлэлийг судалдаг. Хэрэв энэ илэрхийлэл тэгээс их байвал экстремум байна, тэг байвал асуулт нээлттэй хэвээр байх бөгөөд нэмэлт судалгаа шаардлагатай болно.
