Цогцолбор тоо: тодорхойлолт ба үндсэн ойлголт

2024 Зохиолч: Angel Austin | [email protected]. Хамгийн сүүлд өөрчлөгдсөн: 2023-12-17 05:36

Квадрат тэгшитгэлийн шинж чанарыг судлахдаа хязгаарлалт тогтоосон - тэгээс бага дискриминантын хувьд шийдэл байхгүй. Бодит тооны багцын тухай ярьж байна гэж шууд заасан. Математикчийн сониуч ухаан сонирхолтой байх болно - бодит үнэ цэнийн тухай зүйлд агуулагдах нууц нь юу вэ?

Цаг хугацаа өнгөрөхөд математикчид нийлмэл тоо гэдэг ойлголтыг гаргаж ирсэн ба энд хасах нэгийн хоёр дахь язгуурын нөхцөлт утгыг нэгж болгон авдаг.

Түүхэн мэдээлэл

Математикийн онол энгийнээс нийлмэл рүү дэс дараалан хөгждөг. "Цогц тоо" гэдэг ойлголт хэрхэн үүссэн, яагаад хэрэгтэй байгааг олж мэдэцгээе.

Эрт дээр үеэс математикийн үндэс нь ердийн тооцоо байсан. Судлаачид зөвхөн байгалийн үнэт зүйлсийг мэддэг байсан. Нэмэх, хасах нь энгийн байсан. Эдийн засгийн харилцаа улам ээдрээтэй болохын хэрээр ижил утгыг нэмэхийн оронд үржүүлэх аргыг хэрэглэж эхэлсэн. Урвуу үйлдэл байдагүржүүлэх - хуваах.

Натурал тооны тухай ойлголт нь арифметик үйлдлийн хэрэглээг хязгаарласан. Бүхэл тоон утгуудын багц дээр хуваах бүх асуудлыг шийдэх боломжгүй юм. Бутархайтай ажиллах нь эхлээд рационал утгын тухай ойлголт, дараа нь иррациональ утгууд руу хөтөлсөн. Хэрэв оновчтой бол шугам дээрх цэгийн яг байршлыг зааж өгөх боломжтой бол иррациональ хувьд ийм цэгийг зааж өгөх боломжгүй юм. Та зөвхөн интервалыг ойролцоогоор гаргаж болно. Рационал ба иррационал тоонуудын нэгдэл нь бодит олонлогийг бүрдүүлсэн бөгөөд үүнийг өгөгдсөн масштабтай тодорхой шугам хэлбэрээр дүрсэлж болно. Шугамын дагуух алхам бүр нь натурал тоо бөгөөд тэдгээрийн хооронд рационал ба иррационал утгууд байна.

Онолын математикийн эрин үе эхэллээ. Одон орон, механик, физикийн хөгжил нь улам бүр нарийн төвөгтэй тэгшитгэлийн шийдлийг шаарддаг. Ерөнхийдөө квадрат тэгшитгэлийн язгуурууд олдсон. Илүү төвөгтэй куб олон гишүүнтийг шийдэх үед эрдэмтэд зөрчилдөөнтэй тулгарсан. Сөрөгөөс шоо язгуур гэсэн ойлголт нь утга учиртай боловч квадрат язгуурын хувьд тодорхойгүй байдлыг олж авдаг. Түүнээс гадна квадрат тэгшитгэл нь зөвхөн кубын онцгой тохиолдол юм.

1545 онд Итали Ж. Кардано зохиомол тооны тухай ойлголтыг нэвтрүүлэхийг санал болгов.

Энэ тоо нь хасах нэгийн хоёр дахь язгуур юм. Цогцолбор тоо гэдэг нэр томьёо эцэст нь ердөө гурван зуун жилийн дараа алдарт математикч Гауссын бүтээлүүдэд бий болсон. Тэрээр алгебрийн бүх хуулиудыг төсөөллийн тоо хүртэл албан ёсоор өргөжүүлэхийг санал болгов. Бодит шугамыг сунгасанонгоцууд. Дэлхий илүү том.

Үндсэн ойлголт

Бодит багцад хязгаарлалттай хэд хэдэн функцийг эргэн санах:

y=arcsin(x), сөрөг ба эерэг 1-ийн хооронд тодорхойлогддог.
y=ln(x), аравтын логарифм нь эерэг аргументтай утга учиртай.
квадрат язгуур y=√x, зөвхөн x ≧ 0-д тооцсон.

I=√(-1) гэж тэмдэглэснээр бид төсөөллийн тоо гэх мэт ойлголтыг нэвтрүүлж байгаа бөгөөд энэ нь дээрх функцүүдийн тодорхойлолтын мужаас бүх хязгаарлалтыг арилгах болно. y=arcsin(2), y=ln(-4), y=√(-5) гэх мэт илэрхийллүүд нь нийлмэл тооны зарим орон зайд утга учиртай.

Алгебрийн хэлбэрийг бодит x ба y утгуудын олонлог дээр z=x + i×y илэрхийлэл хэлбэрээр бичиж болно, мөн i² =-1.

Шинэ үзэл баримтлал нь аливаа алгебрийн функцийг ашиглахад тавьсан бүх хязгаарлалтыг арилгаж, бодит болон төсөөллийн утгуудын координат дахь шулуун шугамын графиктай төстэй болно.

Цогцолбор онгоц

Комплекс тоонуудын геометр хэлбэр нь тэдгээрийн олон шинж чанарыг дүрслэн харуулах боломжийг бидэнд олгодог. Re(z) тэнхлэг дээр бид бодит x утгуудыг, Im(z) дээр y-ийн төсөөллийн утгуудыг тэмдэглээд дараа нь хавтгай дээрх z цэг нь шаардлагатай цогц утгыг харуулах болно.

Тодорхойлолт:

Re(z) - бодит тэнхлэг.
Im(z) - төсөөллийн тэнхлэг гэсэн үг.
z - комплекс тооны нөхцөлт цэг.
Тэгээс z хүртэлх векторын уртын тоон утгыг гэнэ.модуль.
Бодит болон зохиомол тэнхлэгүүд онгоцыг дөрөвний нэг болгон хуваадаг. Координатын эерэг утгатай бол - I улирал. Бодит тэнхлэгийн аргумент 0-ээс бага, төсөөллийн тэнхлэг 0-ээс их бол II улирал. Координатууд сөрөг байх үед - III улирал. Сүүлийн дөрөв дэх улирал нь олон эерэг бодит утгууд ба сөрөг төсөөлөлтэй утгыг агуулдаг.

Тиймээс x ба y координатын утга бүхий хавтгайд комплекс тооны цэгийг үргэлж төсөөлж болно. Бодит хэсгийг төсөөлж буй хэсгээс нь ялгахын тулд i дүрийг оруулсан болно.

Properties

Төсөөллийн аргументийн утга тэг байх үед бид бодит тэнхлэгт байрлах, бодит олонлогт хамаарах ердөө л тоо (z=x) авна.
Бодит аргументийн утга тэг болох онцгой тохиолдол z=i×y илэрхийлэл нь төсөөллийн тэнхлэг дээрх цэгийн байршилтай тохирч байна.
z=x + i×y-ийн ерөнхий хэлбэр нь аргументуудын тэг бус утгуудад зориулагдсан болно. Дөрөвний аль нэг дэх нийлмэл тоог тодорхойлох цэгийн байршлыг заана.

Тригонометрийн тэмдэглэгээ

Туйлын координатын систем болон sin, cos тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолтыг эргэн сана. Эдгээр функцүүдийн тусламжтайгаар хавтгай дээрх аль ч цэгийн байршлыг дүрслэх боломжтой нь ойлгомжтой. Үүнийг хийхийн тулд туйлын цацрагийн урт ба бодит тэнхлэгт налуу өнцгийг мэдэхэд хангалттай.

Тодорхойлолт. ∣z ∣ хэлбэрийн оролтыг cos(ϴ) тригонометрийн функцууд болон төсөөллийн i ×sin(ϴ) хэсгийн нийлбэрээр үржүүлснийг тригонометрийн комплекс тоо гэнэ. Энд тэмдэглэгээ нь бодит тэнхлэгт налуугийн өнцөг юм

ϴ=arg(z) ба r=∣z∣, цацрагийн урт.

Тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолт ба шинж чанаруудаас маш чухал Moivre томьёо дараах байдалтай байна:

zⁿ =r × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).

Энэ томьёог ашигласнаар тригонометрийн функц агуулсан олон тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд тохиромжтой. Ялангуяа эрх мэдэлд хүрэх асуудал гарч ирэхэд.

Модуль ба үе шат

Цогцолбор багцын тайлбарыг дуусгахын тулд бид хоёр чухал тодорхойлолтыг санал болгож байна.

Пифагорын теоремыг мэдсэнээр туйлын координатын систем дэх цацрагийн уртыг тооцоолоход хялбар байдаг.

r=∣z∣=√(x² + y²), нийлмэл орон зайн дээрх ийм тэмдэглэгээг " модуль" ба хавтгай дээрх 0-ээс цэг хүртэлх зайг тодорхойлдог.

Цогц туяаны бодит ϴ шугам руу хазайх өнцгийг ихэвчлэн фаз гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт нь бодит болон төсөөллийн хэсгүүдийг цикл функц ашиглан дүрсэлсэн болохыг харуулж байна. Тухайлбал:

x=r × cos(ϴ);
y=r × sin(ϴ);

Урвуу нь үе шат нь алгебрийн утгуудтай дараах томъёогоор холбогдоно:

ϴ=arctan(x / y) + µ, геометрийн функцүүдийн үечлэлийг харгалзан µ залруулга оруулсан болно.

Эйлерийн томьёо

Математикчид экспоненциал хэлбэрийг ихэвчлэн ашигладаг. Нийлмэл хавтгай дугааруудыг

илэрхийллээр бичнэ

z=r × eⁱ^×^ϴ , энэ нь Эйлерийн томьёогоос үүсэлтэй.

Энэ бичлэгийг физик хэмжигдэхүүнүүдийн практик тооцоололд өргөн ашигладаг. Маягт дахь танилцуулгын хэлбэрЭкспоненциал комплекс тоо нь ялангуяа синусоид гүйдэл бүхий хэлхээг тооцоолох шаардлагатай болж, өгөгдсөн хугацаатай функцүүдийн интегралуудын утгыг мэдэх шаардлагатай болдог инженерийн тооцоололд ялангуяа тохиромжтой байдаг. Тооцоолол нь өөрөө янз бүрийн машин, механизмыг зохион бүтээхэд туслах хэрэгсэл болдог.

Үйлдлийг тодорхойлох

Өмнө дурьдсанчлан, математикийн үндсэн функцуудтай ажиллах бүх алгебрийн хуулиуд комплекс тоонд хамаарна.

Нийлбэрийн үйлдэл

Цогцолбор утгыг нэмэхэд тэдгээрийн бодит болон төсөөлөл хэсгүүдийг мөн нэмнэ.

z=z₁ + z₂ энд z₁ болон z2 _{- ерөнхий комплекс тоо. Илэрхийлэлийг хувиргаж, хаалт нээж тэмдэглэгээг хялбаршуулсаны дараа бид жинхэнэ аргументыг авна x=(x}1 _{+ x}2_{), төсөөлөл y аргументыг авна.=(y 1} + y₂).

График дээр энэ нь сайн мэддэг параллелограммын дүрмийн дагуу хоёр векторыг нэмсэн мэт харагдаж байна.

Хасах үйлдэл

Нэг тоо эерэг, нөгөө нь сөрөг, өөрөөр хэлбэл толин тусгалын хэсэгт байрлах үед нэмэх онцгой тохиолдол гэж үздэг. Алгебрийн тэмдэглэгээ нь бодит болон төсөөллийн хэсгүүдийн ялгаа шиг харагдаж байна.

z=z₁ - z₂, эсвэл аргументуудын утгыг харгалзан нэмэхтэй адил үйл ажиллагааны хувьд бид бодит утгуудыг олж авна x=(x₁ - x₂) болон төсөөллийн y=(y₁- y₂).

Цогц хавтгай дээрх үржүүлэх

Олон гишүүнттэй ажиллах дүрмийг ашиглан бид томьёог гаргаж авдагнийлмэл тоо бодох.

Алгебрийн ерөнхий дүрмийн дагуу z=z₁×z₂ аргумент бүрийг тайлбарлаж, ижил төстэй зүйлсийг жагсаана уу. Бодит болон зохиомол хэсгүүдийг дараах байдлаар бичиж болно:

x=x₁ × x₂ - y₁ × y₂,
y=x₁ × y₂ + x₂ × y _1.

Бид экспоненциал нийлмэл тоо ашиглавал илүү гоё харагдаж байна.

Илэрхийлэл дараах байдалтай байна: z=z₁ × z₂ =r₁ × eⁱ^ϴ¹ × r₂ × eiϴ2^=r1 _{× r2} × e_i(^ϴ¹⁺^ϴ2).

Цаашилбал, модулиудыг үржүүлж, үе шатуудыг нэмнэ.

Хэлтэс

Хуваах үйлдлийг үржүүлэхийн урвуу гэж үзэх үед бид экспоненциал тэмдэглэгээнд энгийн илэрхийлэлийг олж авдаг. z₁ утгыг z₂-д хуваах нь тэдгээрийн модулиуд болон фазын зөрүүг хуваасны үр дүн юм. Албан ёсоор комплекс тоон экспоненциал хэлбэрийг ашиглахдаа дараах байдлаар харагдана:

z=z₁ / z₂ =r₁ × e ⁱ^ϴ¹ / r₂ × eⁱ ^ϴ²=r₁ / r_{2× e}i(ϴ1-ϴ 2).

Алгебрийн тэмдэглэгээний хэлбэрээр нийлмэл хавтгайн тоог хуваах үйлдлийг арай илүү төвөгтэй бичдэг:

z=z₁ / z_2.

Аргументуудыг тайлбарлаж, олон гишүүнт хувиргалтуудыг хийснээр утгыг авахад хялбар байдагx=x₁ × x₂ + y₁ × y₂, тус тус y=x₂ × y₁ - x₁ × y₂ Гэсэн хэдий ч тайлбарласан зайд z₂ ≠ 0 байвал энэ илэрхийлэл утга учиртай болно.

Үндэсийг задлах

Дээрх бүх зүйлийг илүү нарийн төвөгтэй алгебрийн функцуудыг тодорхойлоход ашиглаж болно - дурын зэрэглэлд хүргэх ба түүн рүү урвуу - үндсийг задлах.

n хүчийг нэмэгдүүлэх ерөнхий ойлголтыг ашигласнаар бид дараах тодорхойлолтыг олж авна:

zⁿ =(r × eⁱ^ϴ).

Нийтлэг шинж чанаруудыг ашиглан дараах байдлаар дахин бичнэ үү:

zⁿ =rⁿ × eⁱ^ϴ.

Бид нийлмэл тоог нэг зэрэгтэй болгох энгийн томъёог авсан.

Зэрэглэлийн тодорхойлолтоос бид маш чухал үр дүнг олж авдаг. Төсөөллийн нэгжийн тэгш хүч үргэлж 1 байна. Төсөөллийн нэгжийн сондгой хүч үргэлж -1 байна.

Одоо урвуу функцийг судалцгаая - үндсийг задлах.

Тэмдэглэгээнд хялбар болгох үүднээс n=2 гэж авъя. С комплекс C хавтгай дээрх z цогц утгын w квадрат язгуурыг z=± илэрхийлэл гэж үзнэ. тэг. w ≦ 0-ийн хувьд шийдэл байхгүй.

Хамгийн энгийн квадрат тэгшитгэлийг харцгаая z² =1. Комплекс тооны томьёог ашиглан r² × eⁱ^2ϴ =r² × eⁱ^2ϴ=ei0^{. Бичлэгээс харахад r}2 ^{=1 ба ϴ=0 байгаа тул бид 1-тэй тэнцэх өвөрмөц шийдэлтэй байна. Гэхдээ энэ нь z=-1 нь квадрат язгуурын тодорхойлолтод тохирно гэсэн ойлголттой зөрчилдөж байна.}

Юуг анхаарч үзэхгүй байгаагаа олж мэдье. Хэрэв бид тригонометрийн тэмдэглэгээг эргэн санах юм бол бид мэдэгдлийг сэргээдэг - үе шат ϴ үе үе өөрчлөгдөхөд комплекс тоо өөрчлөгддөггүй. Үеийн утгыг p гэж тэмдэглэвэл r² × eⁱ^2ϴ =ei(0+p)^{, эндээс 2ϴ=0 + p, эсвэл ϴ=p / 2. Иймд e}i0 ^{=1 ба e}i^p^/2 =-1. Бид хоёр дахь шийдлийг авсан бөгөөд энэ нь квадрат язгуурын ерөнхий ойлголттой тохирч байна.

Тиймээс нийлмэл тооны дурын язгуурыг олохын тулд бид процедурыг дагах болно.

Экспоненциал хэлбэрийг бичнэ үү w=∣w∣ × eⁱ⁽^arg (w) + pk), k нь дурын бүхэл тоо.
Хүссэн тоог мөн Эйлер хэлбэрээр илэрхийлнэ z=r × eⁱ^ϴ.
Үндэс задлах функцийн ерөнхий тодорхойлолтыг ашиглах r eⁱ ϴ ^{=∣w∣ × e}i(arg(w) + pk).
Модуль ба аргументуудын тэгш байдлын ерөнхий шинж чанаруудаас бид rⁿ =∣w∣ ба nϴ=arg (w) + p×k гэж бичнэ.
Комплекс тооны язгуурын эцсийн бичлэгийг z=√∣w∣ × eⁱ ⁽) томъёогоор тодорхойлно. ^arg (w) + pk ^{) /} .
Санамж. Тодорхойлолтоор ∣w∣-ийн утга,эерэг бодит тоо тул аливаа зэргийн язгуур утга учиртай.

Талбар ба залгалт

Төгсгөлд нь бид комплекс тоо бүхий хэрэглээний бодлогуудыг шийдвэрлэхэд ач холбогдол багатай ч математикийн онолыг цаашид хөгжүүлэхэд зайлшгүй шаардлагатай хоёр чухал тодорхойлолтыг өгсөн болно.

Нэмэх ба үржүүлэх илэрхийлэл нь z цогцолбор хавтгайн аль ч элементийн аксиомыг хангаж байвал талбар үүсгэнэ гэж хэлнэ:

Цогц нийлбэр нь нийлмэл нэр томъёоны байршлыг өөрчлөхөөс өөрчлөгддөггүй.
Мэдэгдэл үнэн - нийлмэл илэрхийлэлд хоёр тооны дурын нийлбэрийг утгаар нь сольж болно.
z + 0=0 + z=z үнэн байх саармаг утга 0 байна.
Аливаа z-ийн хувьд эсрэгээр - z байдаг бөгөөд үүн дээр нэмэх нь тэг өгдөг.
Ногцолбор хүчин зүйлсийн газрыг солих үед цогц бүтээгдэхүүн өөрчлөгддөггүй.
Дурын хоёр тооны үржүүлгийг утгаараа сольж болно.
Төвийг сахисан утга 1 байна, үржүүлснээр комплекс тоо өөрчлөгддөггүй.
z ≠ 0 бүрийн хувьд z^-1-ийн урвуу тоо 1-ээр үрждэг.
Хоёр тооны нийлбэрийг гуравны нэгээр үржүүлэх нь тус бүрийг энэ тоогоор үржүүлж үр дүнг нэмэх үйлдэлтэй тэнцэнэ.
0 ≠ 1.

z₁ =x + i×y ба z₂ =x - i×y тоог коньюгат гэнэ.

Теорем. Холболтын хувьд энэ мэдэгдэл үнэн байна:

Нийлбэрийн коньюгаци нь коньюгат элементүүдийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
Бүтээгдэхүүний коньюгат ньхолболтын бүтээгдэхүүн.
Холбооны нийлбэр нь тухайн тоотой тэнцүү байна.

Ерөнхий алгебрийн хувьд ийм шинж чанарыг талбайн автоморфизм гэж нэрлэдэг.

Жишээ

Өгөгдсөн дүрэм, комплекс тоонуудын томьёог дагаснаар та тэдгээртэй хялбар ажиллах боломжтой.

Хамгийн энгийн жишээг авч үзье.

Бодлого 1. 3y +5 x i=15 - 7i тэгшитгэлийг ашиглан x ба y-г тодорхойлно уу.

Шийдвэр. Комплекс тэгш байдлын тодорхойлолтыг эргэн сана, дараа нь 3y=15, 5x=-7. Иймд x=-7 / 5, y=5.

Даалгавар 2. 2 + i²⁸ ба 1 + i¹³⁵ утгуудыг тооцоол.

Шийдвэр. 28 нь тэгш тоо бөгөөд и²⁸ =1 гэсэн нийлмэл тооны тодорхойлолтын үр дагавар нь 2 + i ^{илэрхийлэл гэсэн үг юм. 28} =3. Хоёрдахь утга, i¹³⁵ =-1, дараа нь 1 + i¹³⁵ =0.

Даалгавар 3. 2 + 5i ба 4 + 3i утгуудын үржвэрийг тооцоол.

Шийдвэр. Нарийн төвөгтэй тоог үржүүлэх ерөнхий шинж чанараас бид (2 + 5i)X(4 + 3i)=8 - 15 + i(6 + 20) -ийг олж авна. Шинэ утга нь -7 + 26i байх болно.

Даалгавар 4. z³ =-i.

тэгшитгэлийн язгуурыг тооцоол.

Шийдвэр. Комплекс тоог олох хэд хэдэн арга байдаг. Боломжит хувилбаруудын нэгийг авч үзье. Тодорхойлолтоор ∣ - i∣=1, -i-ийн үе шат нь -p / 4. Анхны тэгшитгэлийг r³e^{i гэж дахин бичиж болно.}3ϴ ^=e-p/4+pk^{, эндээс z=e}-p / 12 + pk/3^{, дурын бүхэл тоо k.}

Шийдлийн багц нь дараах хэлбэртэй байна (e^-^ip/12,e^ip^/4, eⁱ² ^p/3).

Бидэнд яагаад цогцолбор тоо хэрэгтэй байна

Эрдэмтэд онол дээр ажиллаж байхдаа түүний үр дүнг практикт ашиглах талаар огт боддоггүй олон жишээг түүх мэддэг. Математик бол юуны түрүүнд оюун санааны тоглоом, шалтгаан-үр дагаврын холбоог чанд баримтлах явдал юм. Бараг бүх математик бүтээцийг интеграл ба дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд багасгадаг бөгөөд тэдгээр нь эргээд олон гишүүнтийн үндсийг олох замаар тодорхой хэмжээгээр шийдэгддэг. Энд бид эхлээд зохиомол тооны парадокстой тулгардаг.

Байгалийн судлаачид бүрэн практик асуудлыг шийдэж, янз бүрийн тэгшитгэлийн шийдлүүдийг ашиглаж, математикийн парадоксуудыг олж илрүүлдэг. Эдгээр парадоксуудын тайлбар нь үнэхээр гайхалтай нээлтүүдэд хүргэдэг. Цахилгаан соронзон долгионы хос шинж чанар нь ийм жишээ юм. Цогцолбор тоо нь тэдгээрийн шинж чанарыг ойлгоход чухал үүрэг гүйцэтгэдэг.

Энэ нь эргээд оптик, радио электроник, эрчим хүч болон бусад олон технологийн салбарт практик хэрэглээг олсон. Өөр нэг жишээ бол физик үзэгдлийг ойлгоход илүү хэцүү байдаг. Анти бодисыг үзэгний үзүүрээр таамаглаж байсан. Зөвхөн олон жилийн дараа үүнийг физикийн аргаар нэгтгэх оролдлого эхэлдэг.

Зөвхөн физикт ийм нөхцөл байдал байдаг гэж битгий бодоорой. Хиймэл оюун ухааныг судлах явцад зэрлэг ан амьтад, макромолекулуудын нийлэгжилтэнд сонирхолтой нээлтүүд хийгддэг. Мөн энэ бүхэн түүний ачаар юмбидний ухамсрын тэлэлт, байгалийн үнэт зүйлсийг энгийн нэмэх, хасахаас холдох.