Математикийн шинжлэх ухаанд нэлээд олон бэрхшээл, асуултууд байдаг бөгөөд ихэнх хариулт нь үргэлж тодорхой байдаггүй. Багцуудын үндсэн байдал гэх мэт сэдэв нь үл хамаарах зүйл байсангүй. Үнэн хэрэгтээ энэ нь объектын тооны тоон илэрхийлэлээс өөр зүйл биш юм. Ерөнхий утгаараа олонлог бол аксиом бөгөөд түүнд ямар ч тодорхойлолт байдаггүй. Энэ нь хоосон, хязгаарлагдмал эсвэл хязгааргүй байж болох аливаа объект, эс тэгвээс тэдгээрийн багц дээр суурилдаг. Нэмж дурдахад энэ нь бүхэл тоо эсвэл натурал тоо, матриц, дараалал, сегмент, шугамыг агуулна.
Одоо байгаа хувьсагчдын тухай
Үндсэн утгагүй хоосон эсвэл хоосон олонлог нь дэд олонлог учраас үндсэн элемент гэж тооцогддог. Хоосон бус S олонлогийн бүх дэд олонлогуудын цуглуулга нь олонлогуудын багц юм. Тиймээс өгөгдсөн олонлогийн хүчийг олон, төсөөлж болохуйц, гэхдээ ганц гэж үздэг. Энэ олонлогийг S-ийн чадлын олонлог гэж нэрлэдэг ба P (S) гэж тэмдэглэнэ. Хэрэв S нь N элементийг агуулж байвал P(S) нь 2^n дэд олонлогуудыг агуулна, учир нь P(S)-ийн дэд олонлог нь ∅ эсвэл S-ийн r элемент агуулсан дэд олонлог, r=1, 2, 3, … Хязгааргүй бүх зүйлээс бүрддэг. M олонлогийг чадлын хэмжигдэхүүн гэж нэрлэх ба P (M)-ээр бэлгэдлээр тэмдэглэнэ.
Олонлогийн онолын элементүүд
Энэ мэдлэгийн салбарыг Жорж Кантор (1845-1918) боловсруулсан. Өнөөдөр энэ нь математикийн бараг бүх салбарт хэрэглэгддэг бөгөөд түүний үндсэн хэсэг болж үйлчилдэг. Олонлогийн онолд элементүүдийг жагсаалт хэлбэрээр дүрсэлж, төрлөөр (хоосон олонлог, дан олонлог, хязгаарлагдмал ба хязгааргүй олонлог, тэнцүү ба эквивалент, бүх нийтийн), нэгдэл, огтлолцол, ялгаа, тооны нэмэх зэргээр өгөгддөг. Бид өдөр тутмын амьдралдаа олон тооны түлхүүр, шувуудын сүрэг, боодол хөзөр гэх мэт зүйлсийн цуглуулгын талаар ихэвчлэн ярьдаг. Математикийн 5-р анги болон түүнээс дээш ангид натурал, бүхэл тоо, анхны, нийлмэл тоо байдаг.
Дараах багцуудыг авч үзэж болно:
- натурал тоо;
- цагаан толгойн үсэг;
- үндсэн магадлал;
- өөр талтай гурвалжин.
Эдгээр заасан жишээнүүд нь сайн тодорхойлсон объектуудын багц гэдгийг харж болно. Өөр хэдэн жишээг авч үзье:
- дэлхийн хамгийн алдартай таван эрдэмтэн;
- нийгмийн долоон сайхан охин;
- гурван шилдэг мэс засалч.
"Хамгийн алдартай", "хамгийн үзэсгэлэнтэй", "хамгийн сайн" гэсэн шалгуурууд нь хүн бүрт харилцан адилгүй байдаг тул эдгээр үндсэн жишээнүүд нь сайн тодорхойлогдсон объектуудын цуглуулга биш юм.
Багцууд
Энэ утга нь сайн тодорхойлсон өөр өөр объектуудын тоо юм.гэж үзвэл:
- үгийн багц нь ижил утгатай, нэгтгэсэн анги бөгөөд элементүүдийг агуулна;
- объектууд, гишүүд тэгш нөхцөлтэй;
- багцыг ихэвчлэн A, B, C том үсгээр тэмдэглэдэг;
- тогтоосон элементүүдийг a, b, c жижиг үсгээр илэрхийлнэ.
Хэрэв "a" нь А олонлогийн элемент бол "а" нь А-д харьяалагддаг гэж хэлнэ. "Харьяалах" хэллэгийг Грекийн "∈" (epsilon) тэмдэгтээр тэмдэглэе. Ийнхүү a ∈ A болох нь харагдаж байна. Хэрэв 'b' нь А-д хамаарахгүй элемент бол үүнийг b ∉ A гэж илэрхийлнэ. 5-р ангийн математикийн хичээлд ашигладаг зарим чухал олонлогуудыг дараах гурван аргыг ашиглан төлөөлдөг:
- програм;
- бүртгэл эсвэл хүснэгт;
- формац үүсгэх дүрэм.
Дэлгэрэнгүй шалгаж үзэхэд өргөдлийн маягтыг дараах үндсэн дээр үндэслэнэ. Энэ тохиолдолд багцын элементүүдийн тодорхой тайлбарыг өгсөн болно. Тэд бүгд буржгар хаалтанд бэхлэгдсэн байдаг. Жишээ нь:
- 7-оос бага сондгой тооны багц - {7-с бага} гэж бичсэн;
- 30-аас их ба 55-аас бага тооны багц;
- багшаас илүү жинтэй ангийн сурагчдын тоо.
Бүртгэлийн (хүснэгт) хэлбэрт олонлогийн элементүүдийг {} хос хаалтанд жагсааж, таслалаар тусгаарлана. Жишээ нь:
- Эхний таван натурал тооны олонлогийг N гэж тэмдэглэе. Тиймээс N=→ бүртгэлийн маягт
- Англи цагаан толгойн бүх эгшгийн багц. Тиймээс V={a, e, i, o, u, y} → бүртгэлийн маягт
- Бүх сондгой тооны олонлог 9-өөс бага. Иймд X={1, 3, 5, 7} → хэлбэрбүртгэл
- "Математик" үгийн бүх үсгийн багц. Тиймээс Z={M, A, T, H, E, I, C, S} → Бүртгэлийн маягт
- W нь жилийн сүүлийн дөрвөн сарын багц юм. Тиймээс W={9, 10, 11, 12-р сар} → бүртгэл.
Элементүүдийг жагсаасан дараалал нь хамаагүй, гэхдээ тэдгээрийг давтаж болохгүй гэдгийг анхаарна уу. Барилгын тогтсон хэлбэрийг тухайн тохиолдолд дүрэм, томьёо эсвэл операторыг хос хаалтанд бичдэг бөгөөд ингэснээр багцыг зөв тодорхойлсон болно. Багц үүсгэгчийн маягт дээрх бүх элемент нь тухайн утгын гишүүн болохын тулд ижил өмчтэй байх ёстой.
Олонлогийн дүрслэлийн энэ хэлбэрт олонлогийн элементийг "x" тэмдэгт эсвэл хоёр цэгийн тэмдэг бүхий бусад хувьсагчаар тайлбарладаг (":" эсвэл "|"-г заахдаа ашигладаг). Жишээ нь: P нь 12-оос их тоологдох тооны олонлог байг. Олонлог үүсгэгч хэлбэрт P - {тоологдох тоо ба 12-оос их тоо} гэж бичнэ. Энэ нь тодорхой хэлбэрээр унших болно. Өөрөөр хэлбэл, "P нь х тоолох боломжтой, 12-оос их байх x элементийн багц юм."
Олонлогийг дүрслэх гурван аргыг ашиглан шийдсэн жишээ: -2 ба 3-ын хоорондох бүхэл тооны тоо. Доорх олонлогийн өөр өөр төрлийн жишээг үзүүлэв:
- Ямар ч элемент агуулаагүй, ∅ тэмдгээр тэмдэглэгдсэн, phi гэж уншигдах хоосон эсвэл хоосон олонлог. Жагсаалтын хэлбэрээр ∅ нь {} гэж бичигдэнэ. Элементүүдийн тоо 0 тул хязгаарлагдмал олонлог хоосон байна. Жишээлбэл, бүхэл тоон утгуудын багц 0-ээс бага байна.
- Мэдээж <0 байх ёсгүй. Тиймээс энэхоосон багц.
- Ганц хувьсагч агуулсан олонлогийг синглтон олонлог гэнэ. Энгийн ч биш, нийлмэл ч биш.
Төгсгөлийн багц
Тодорхой тооны элемент агуулсан олонлогийг төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй олонлог гэнэ. Хоосон гэдэг нь эхнийхийг хэлдэг. Жишээ нь, солонгон дээрх бүх өнгөний багц.
Infinity бол олонлог юм. Түүний доторх элементүүдийг тоолж болохгүй. Өөрөөр хэлбэл ижил төстэй хувьсагчдыг хязгааргүй олонлог гэж нэрлэдэг. Жишээ нь:
- хавтгайн бүх цэгийн багцын хүч;
- бүх анхны тооны багц.
Гэхдээ олонлогийн нэгдлийн бүх үндсэн шинж чанарыг жагсаалт хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй гэдгийг та ойлгох хэрэгтэй. Жишээ нь, бодит тоо, учир нь тэдгээрийн элементүүд нь ямар нэгэн тодорхой загварт тохирохгүй.
Багцын үндсэн тоо нь өгөгдсөн хэмжигдэхүүн дэх өөр өөр элементийн тоо юм. Үүнийг n (A) гэж тэмдэглэнэ.
Жишээ нь:
- A {x: x ∈ N, x <5}. A={1, 2, 3, 4}. Тиймээс n (A)=4.
- B=ALGEBRA үгийн үсгүүдийн багц.
Багцыг харьцуулах эквивалент багц
Хэрэв үндсэн тоо нь ижил байвал А ба В багцын хоёр кардинал нь ийм байна. Ижил олонлогийн тэмдэг нь "↔" юм. Жишээ нь: A ↔ B.
Тэгш олонлогууд: ижил элементүүдийг агуулж байгаа бол A ба B олонлогуудын хоёр үндсэн байдал. А-аас авсан коэффициент бүр нь В-ийн хувьсагч бөгөөд В тус бүр нь А-ийн заасан утга юм. Иймд A=B. Төрөл бүрийн кардиналуудын холбоо, тэдгээрийн тодорхойлолтыг өгсөн жишээн дээр тайлбарлав.
Төгсгөл ба хязгааргүйн мөн чанар
Төгсгөлтэй олонлог ба хязгааргүй олонлогын үндсэн ялгаа нь юу вэ?
Эхний утга нь хоосон эсвэл хязгаарлагдмал тооны элементтэй бол дараах нэртэй байна. Хязгаарлагдмал олонлогт хувьсагч нь хязгаарлагдмал тоотой бол түүнийг зааж өгч болно. Жишээ нь, натурал тоог ашиглан 1, 2, 3. Мөн жагсаалтын үйл явц зарим N-д дуусдаг. Төгсгөлтэй S олонлогт тоологддог өөр өөр элементийн тоог n (S) гэж тэмдэглэнэ. Үүнийг мөн захиалга эсвэл кардинал гэж нэрлэдэг. Стандарт зарчмын дагуу бэлгэдлээр тэмдэглэнэ. Тиймээс хэрэв S олонлог нь Оросын цагаан толгой бол 33 элементийг агуулна. Элемент нэг багцад нэгээс олон удаа тохиолддоггүй гэдгийг санах нь чухал.
Багц доторх хязгааргүй
Элементүүдийг тоолох боломжгүй бол олонлогийг хязгааргүй гэж нэрлэдэг. Хэрэв энэ нь ямар ч n-ийн хувьд хязгааргүй (өөрөөр хэлбэл тоолж баршгүй) натурал тоо 1, 2, 3, 4 байвал. Төгсгөлгүй олонлогийг хязгааргүй гэж нэрлэдэг. Одоо бид авч үзэж буй тоон утгуудын жишээг хэлэлцэж болно. Эцсийн үнийн сонголт:
- Q={25-аас бага натурал тоо} байг. Тэгвэл Q нь хязгаарлагдмал олонлог ба n (P)=24.
- R={5-аас 45 хүртэлх бүхэл тоо} байг. Тэгвэл R нь хязгаарлагдмал олонлог ба n (R)=38.
- S={тоо модуль 9} байг. Дараа нь S={-9, 9} нь хязгаарлагдмал олонлог ба n (S)=2.
- Бүх хүмүүсийн багц.
- Бүх шувуудын тоо.
Хязгааргүй жишээ:
- онгоцонд байгаа цэгүүдийн тоо;
- шугаман хэсгийн бүх цэгийн тоо;
- 3-т хуваагдах эерэг бүхэл тоонуудын багц хязгааргүй;
- бүх бүхэл ба натурал тоо.
Тиймээс, дээрх үндэслэлээс төгсгөлтэй болон хязгааргүй олонлогийг хэрхэн ялгах нь тодорхой байна.
Тасралтгүй багцын хүч
Хэрэв бид олонлог болон байгаа бусад утгыг харьцуулж үзвэл багцад нэмэлтийг хавсаргасан болно. Хэрэв ξ нь универсал, А нь ξ-ийн дэд олонлог бол A-ийн нэмэлт нь А-ийн элемент биш ξ-ийн бүх элементүүдийн тоо юм. Бэлгэ тэмдгийн хувьд, ξ-д хамаарах A-ийн нэмэлт нь A' болно. Жишээлбэл, 2, 4, 5, 6 нь ξ-ийн цорын ганц элемент бөгөөд A-д хамаарахгүй. Иймд A'={2, 4, 5, 6}
Үндсэн байдлын үргэлжлэл бүхий багц нь дараах онцлогтой:
- бүх нийтийн хэмжигдэхүүнийг нөхөх нь тухайн хоосон утга юм;
- энэ хоосон олонлог хувьсагч нь бүх нийтийнх;
- хэмжээ болон түүний нэмэлт нь салангид байна.
Жишээ нь:
- Натурал тооны тоог бүх нийтийн олонлог, А нь тэгш байг. Тэгвэл A '{x: x нь ижил цифрүүдтэй сондгой олонлог}.
- Цагаан толгойн үсгийн багц ξ=Let Let. A=гийгүүлэгчийн багц. Дараа нь A '=эгшгийн тоо.
- Универсал багцын нэмэлт нь хоосон хэмжигдэхүүн юм. ξ-ээр тэмдэглэж болно. Дараа нь ξ '=ξ-д ороогүй элементүүдийн олонлог. φ хоосон олонлогийг бичиж тэмдэглэнэ. Тиймээс ξ=φ. Тиймээс универсал багцын нэмэлт хэсэг хоосон байна.
Математикт "үргэлжлэл"-ийг заримдаа бодит шугамыг илэрхийлэхэд ашигладаг. Мөн ерөнхийдөө ижил төстэй объектуудыг тайлбарлахын тулд:
- тасралт (тогтоосон онолд) - бодит шугам эсвэл харгалзах үндсэн тоо;
- шугаман - бодит шугамын тодорхой шинж чанарыг хуваалцдаг аливаа эрэмбэлэгдсэн багц;
- тасралт (топологид) - хоосон бус нягт холбогдсон хэмжигдэхүүн орон зай (заримдаа Hausdorff);
- хязгааргүй олонлог бүхэл тооноос их боловч бодит тооноос бага гэсэн таамаглал;
- тасралтгүй байдлын хүч нь бодит тооны багцын хэмжээг илэрхийлэх үндсэн тоо юм.
Үндсэндээ ямар нэгэн гэнэтийн өөрчлөлтгүйгээр нэг төлөвөөс нөгөө төлөвт аажмаар шилжих шилжилтийг тайлбарладаг тасралтгүй (хэмжилт), онол эсвэл загвар юм.
Холбоо болон уулзварын асуудал
Хоёр ба түүнээс дээш олонлогийн огтлолцол нь эдгээр утгуудад нийтлэг байдаг бүх элементүүдийг агуулсан тоо гэдгийг мэддэг. Олонлогуудын нэгдэл, огтлолцлын шинж чанарыг хэрхэн ашиглах талаархи үндсэн санааг олж авахын тулд багц дээрх үгийн даалгавруудыг шийддэг. Үгсийн үндсэн асуудлыг шийдсэнбагц дараах байдалтай байна:
А ба В хоёр төгсгөлтэй олонлог байг. Эдгээр нь n (A)=20, n (B)=28 ба n (A ∪ B)=36, n (A ∩ B) -ийг ол
Венн диаграммыг ашиглан олонлогийн харилцаа:
- Хоёр олонлогийн нэгдлийг A ∪ B-г илэрхийлсэн сүүдэртэй талбараар илэрхийлж болно. A ба B нь салангид олонлог байх үед A ∪ B.
- Хоёр олонлогийн огтлолцлыг Венн диаграмаар дүрсэлж болно. А ∩ B-г илэрхийлсэн сүүдэртэй хэсэгтэй.
- Хоёр багцын ялгааг Венн диаграмаар дүрсэлж болно. A - B-г илэрхийлсэн сүүдэртэй хэсэгтэй.
- Венн диаграм ашиглан гурван багц хоорондын хамаарал. Хэрэв ξ нь бүх нийтийн хэмжигдэхүүнийг илэрхийлдэг бол A, B, C нь гурван дэд олонлог юм. Энд гурван багц бүгд давхцаж байна.
Багцын мэдээллийг нэгтгэн дүгнэж байна
Багцын үндсэн байдал нь багц дахь бие даасан элементүүдийн нийт тоогоор тодорхойлогддог. Хамгийн сүүлд заасан утгыг бүх дэд олонлогийн тоо гэж тодорхойлдог. Ийм асуудлыг судлахад арга, арга, шийдэл зайлшгүй шаардлагатай. Тиймээс, багцын үндсэн байдлын хувьд дараах жишээнүүд байж болно:
А={0, 1, 2, 3}| байг |=4, хаана | А | А багцын үндсэн байдлыг илэрхийлнэ.
Одоо та эрчим хүчний багцаа олох боломжтой. Энэ нь бас маш энгийн. Өмнө дурьдсанчлан тэжээлийн багцыг өгөгдсөн тооны бүх дэд бүлгээс тохируулсан болно. Тиймээс А-ийн бүх хувьсагч, элемент болон бусад утгыг үндсэндээ тодорхойлох хэрэгтэй. Эдгээр нь {}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, { 2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}.
Одоо хүчийг тооцоолох нь P={{}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, { 1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, { 0, 1, 2, 3}} нь 16 элементтэй. Ийнхүү олонлогийн кардинал чанар нь A=16. Энэ асуудлыг шийдэх уйтгартай, төвөгтэй арга болох нь ойлгомжтой. Гэсэн хэдий ч, та өгөгдсөн тооны чадлын багц дахь элементийн тоог шууд мэдэж болох энгийн томъёо байдаг. | P |=2 ^ N, энд N нь зарим А дахь элементийн тоо юм. Энэ томьёог энгийн комбинаторик ашиглан олж авч болно. А олонлогийн элементийн тоо 11 тул асуулт 2^11 байна.
Тиймээс олонлог гэдэг нь ямар ч боломжтой объект байж болох тоон утгаараа илэрхийлэгдсэн хэмжигдэхүүн юм. Жишээлбэл, машин, хүмүүс, тоо. Математикийн утгаараа энэ ойлголт нь илүү өргөн хүрээтэй бөгөөд ерөнхий шинж чанартай байдаг. Хэрэв эхний үе шатанд тэдгээрийн шийдлийн тоо, хувилбаруудыг эрэмбэлсэн бол дунд болон түүнээс дээш үе шатанд нөхцөл байдал, даалгавар нь төвөгтэй байдаг. Үнэн хэрэгтээ олонлогийн нэгдлийн үндсэн байдал нь тухайн объектын аль нэг бүлэгт хамаарахаар тодорхойлогддог. Өөрөөр хэлбэл, нэг элемент нь ангид хамаарах боловч нэг буюу хэд хэдэн хувьсагчтай.
