1900 онд өнгөрсөн зууны хамгийн агуу эрдэмтдийн нэг Дэвид Хилберт математикийн шийдэгдээгүй 23 бодлогын жагсаалтыг гаргажээ. Тэдгээрийн ажил нь хүний мэдлэгийн энэ чиглэлийг хөгжүүлэхэд асар их нөлөө үзүүлсэн. 100 жилийн дараа Клэй математикийн хүрээлэнгээс Мянганы бодлого гэгддэг 7 бодлогын жагсаалтыг гаргажээ. Тэд тус бүрт 1 сая долларын шагнал санал болгосон.
Зуу гаруй жилийн турш эрдэмтдийн сэтгэлийг зовоож байсан оньсого хоёр жагсаалтын дунд гарч ирсэн цорын ганц асуудал бол Риманы таамаглал байв. Тэр шийдвэрээ хүлээсээр л байна.
Богино намтар тэмдэглэл
Георг Фридрих Бернхард Риманн 1826 онд Ганновер хотод ядуу пасторын өнөр өтгөн гэр бүлд төрсөн бөгөөд ердөө 39 жил амьдарсан. Тэрээр 10 бүтээл хэвлүүлж чадсан. Гэсэн хэдий ч Риманн амьдралынхаа туршид багш Иоганн Гауссын залгамжлагч гэж тооцогддог байв. Залуу эрдэмтэн 25 настайдаа "Комплекс хувьсагчийн функцийн онолын үндэс" сэдвээр эрдмийн зэрэг хамгаалжээ. Дараа нь тэр томъёолсонтүүний алдартай таамаглал.
Эхлэх тоо
Хүн тоолж сурснаар математик бий болсон. Үүний зэрэгцээ тоонуудын талаархи анхны санаанууд гарч ирсэн бөгөөд тэд хожим нь ангилахыг оролдсон. Тэдний зарим нь нийтлэг шинж чанартай байдаг нь ажиглагдсан. Тухайлбал, натурал тоонуудын дотроос, тухайлбал, объектын тоог тоолох (тоолох) эсвэл тодорхойлоход ашигласан тоонуудаас зөвхөн нэг болон өөр хоорондоо хуваагддаг бүлгийг ялгадаг. Тэднийг энгийн гэж нэрлэдэг. Ийм тооны олонлогийн хязгааргүй байдлын теоремын гоёмсог нотолгоог Евклид "Элементүүд" номондоо өгсөн. Одоогоор тэдний эрэн хайх ажиллагаа үргэлжилж байна. Ялангуяа аль хэдийн мэдэгдэж байгаа хамгийн том тоо нь 274 207 281 – 1.
Эйлерийн томьёо
Эвклид анхны олонлогийн хязгааргүй байдлын тухай ойлголтын зэрэгцээ анхны хүчин зүйл болгон задлах цорын ганц боломжтой хоёр дахь теоремыг мөн тодорхойлсон. Үүний дагуу аливаа эерэг бүхэл тоо нь зөвхөн нэг олонлог анхны тооны үржвэр юм. 1737 онд Германы агуу математикч Леонхард Эйлер Евклидийн анхны хязгааргүй байдлын теоремыг доорх томъёогоор илэрхийлсэн.
Үүнийг zeta функц гэж нэрлэдэг бөгөөд s нь тогтмол бөгөөд p нь бүх анхны утгыг авдаг. Тэлэлтийн өвөрмөц байдлын тухай Евклидийн мэдэгдэл үүнээс шууд гарсан.
Riemann Zeta функц
Айлерын томьёог сайтар нягталж үзвэл бүрэн байнаЭнэ нь анхны болон бүхэл тоонуудын хоорондын хамаарлыг тодорхойлдог тул гайхалтай. Эцсийн эцэст, зөвхөн анхны тооноос хамаарах хязгааргүй олон илэрхийллийг зүүн талд нь үржүүлж, бүх эерэг бүхэл тоонуудын нийлбэрийг баруун талд нь байрлуулна.
Риманн Эйлерээс илүү явсан. Тоонуудын хуваарилалтын асуудлын түлхүүрийг олохын тулд тэрээр бодит ба нийлмэл хувьсагчийн томъёог тодорхойлохыг санал болгов. Тэр бол дараа нь Риманы зета функцийн нэрийг авсан хүн юм. Эрдэмтэн 1859 онд "Өгөгдсөн утгаас хэтрэхгүй анхны тооны тухай" гэсэн өгүүлэл нийтэлж, бүх санаагаа нэгтгэн дүгнэжээ.
Риманн ямар ч бодит s>1-д нийлдэг Эйлерийн цувралыг ашиглахыг санал болгосон. Хэрэв ижил томьёог комплекс s-д хэрэглэвэл цуваа нь 1-ээс их бодит хэсэгтэй энэ хувьсагчийн дурын утгын хувьд нийлнэ. Риман аналитик үргэлжлүүлэх процедурыг хэрэглэж, zeta(s)-ийн тодорхойлолтыг бүх комплекс тоонд өргөтгөсөн боловч нэгжийг "хаясан". s=1 үед zeta функц хязгааргүй болж нэмэгддэг тул үүнийг хассан.
Практик мэдрэмж
Логик асуулт гарч ирнэ: Риманы тэг таамаглал дээр гол үүрэг гүйцэтгэдэг zeta функц яагаад сонирхолтой бөгөөд чухал вэ? Та бүхний мэдэж байгаагаар одоогийн байдлаар натурал тоонуудын дунд анхны тоонуудын тархалтыг тайлбарлах энгийн загвар олдоогүй байна. Риманн x-ээс хэтрэхгүй анхны тоон pi(x) тоо нь зета функцийн өчүүхэн бус тэгүүдийн тархалтаар илэрхийлэгддэг болохыг олж мэдсэн. Түүнээс гадна Риманы таамаглалзарим криптографийн алгоритмуудын ажиллах хугацааны тооцоог батлах зайлшгүй нөхцөл.
Риманы таамаг
Өнөөдрийг хүртэл нотлогдоогүй энэхүү математикийн бодлогын анхны томьёоллын нэг нь иймэрхүү сонсогдож байна: 0 zeta функцууд нь бодит хэсэг нь ½-тэй тэнцүү цогц тоонууд юм. Өөрөөр хэлбэл, тэдгээр нь Re s=½ шугам дээр байрлана.
Мөн Риманы ерөнхий таамаглал байдаг бөгөөд энэ нь ижил мэдэгдэл боловч зета функцүүдийн ерөнхий ойлголтыг Дирихлет L-функц гэж нэрлэдэг (доорх зургийг харна уу).
Томъёонд χ(n) - зарим тоон тэмдэгт (модуль k).
Риманы мэдэгдлийг одоо байгаа түүврийн өгөгдөлтэй нийцэж байгаа эсэхийг шалгасан тул тэг таамаглал гэж нэрлэдэг.
Риманн маргалдсанаар
Германы математикчийн хэлсэн үгийг анхнаасаа энгийн байдлаар бичсэн байдаг. Баримт нь тухайн үед эрдэмтэн анхны тооны тархалтын теоремыг батлах гэж байсан бөгөөд энэ нөхцөлд энэ таамаглал онцгой ач холбогдолгүй байв. Гэсэн хэдий ч бусад олон асуудлыг шийдвэрлэхэд түүний үүрэг асар их юм. Тийм ч учраас Риманы таамаглалыг одоо олон эрдэмтэд математикийн нотлогдоогүй хамгийн чухал асуудал гэж хүлээн зөвшөөрдөг.
Өмнө дурьдсанчлан тархалтын теоремыг батлахад Риманы бүрэн таамаглал шаардлагагүй бөгөөд зета функцийн ямар ч өчүүхэн бус тэгийн бодит хэсэг нь 1-д байгааг логикоор зөвтгөхөд хангалттай.0 ба 1 хооронд. Энэ шинж чанараас харахад дээрх яг томьёонд гарч буй zeta функцийн бүх 0-ийн нийлбэр нь төгсгөлөг тогтмол байна. Их хэмжээний x утгуудын хувьд энэ нь бүрмөсөн алдагдаж болно. Хэт том х-ийн хувьд ч өөрчлөгддөггүй томьёоны цорын ганц гишүүн бол х өөрөө юм. Үлдсэн нарийн төвөгтэй нэр томъёо нь үүнтэй харьцуулахад асимптотоор алга болдог. Тэгэхээр жигнэсэн нийлбэр нь x хандлагатай байна. Энэ нөхцөл байдлыг анхны тоонуудын тархалтын тухай теоремын үнэнийг баталгаажуулсан гэж үзэж болно. Тиймээс Риманы зета функцийн тэг нь онцгой үүрэг гүйцэтгэдэг. Энэ нь ийм утга нь задралын томъёонд чухал хувь нэмэр оруулж чадахгүй гэдгийг нотлоход оршино.
Риманы дагалдагчид
Сүрьеэ өвчний улмаас эмгэнэлтэй үхэл энэ эрдэмтэнд хөтөлбөрөө логик төгсгөлд нь хүргэх боломжийг олгосонгүй. Гэсэн хэдий ч Ш-Ж түүний ажлыг авсан. де ла Валле Пуссин, Жак Хадамард нар. Тэд бие биенээсээ үл хамааран анхны тооны тархалтын теоремыг гаргасан. Хадамард, Пуссин нар өчүүхэн бус бүх 0 zeta функцууд нь эгзэгтэй бүсэд байгааг баталж чадсан.
Эдгээр эрдэмтдийн ажлын ачаар математикийн шинэ чиглэл буюу тоон аналитик онол гарч ирэв. Дараа нь бусад судлаачид Риманы ажиллаж байсан теоремын хэд хэдэн анхны баталгааг олж авсан. Ялангуяа Пал Эрдос, Атле Селберг нар үүнийг баталгаажуулсан маш нарийн төвөгтэй логик хэлхээг нээсэн бөгөөд энэ нь нарийн төвөгтэй дүн шинжилгээ хийх шаардлагагүй юм. Гэсэн хэдий ч энэ мөчид хэд хэдэн чухал ач холбогдолтойолон тооны онолын функцүүдийн ойролцооллыг багтаасан теоремууд. Үүнтэй холбогдуулан Эрдос, Атле Селберг нарын шинэ бүтээл бараг юу ч нөлөөлсөнгүй.
Асуудлын хамгийн энгийн бөгөөд үзэсгэлэнтэй нотолгоог 1980 онд Дональд Ньюман олсон. Энэ нь алдарт Коши теорем дээр үндэслэсэн.
Риманы таамаглал орчин үеийн криптографийн үндэс суурийг заналхийлж байна уу
Өгөгдлийн шифрлэлт нь иероглиф гарч ирэхтэй зэрэгцэн бий болсон, бүр тодруулбал тэдгээрийг анхны код гэж үзэж болно. Одоогоор дижитал криптографийн бүхэл бүтэн талбар байгаа бөгөөд энэ нь шифрлэлтийн алгоритмуудыг хөгжүүлж байна.
Эхний болон "хагас анхны" тоонууд, өөрөөр хэлбэл нэг ангиас зөвхөн 2 өөр тоонд хуваагддаг тоонууд нь RSA гэгддэг нийтийн түлхүүрийн системийн үндэс суурийг бүрдүүлдэг. Энэ нь хамгийн өргөн хэрэглээтэй. Ялангуяа цахим гарын үсэг үүсгэх үед ашигладаг. Дамми хүмүүст хүртээмжтэй нэр томъёогоор ярих юм бол Риманы таамаглал нь анхны тоонуудын тархалтын систем байдаг гэдгийг баталж байна. Тиймээс цахим худалдааны салбарт онлайн гүйлгээний аюулгүй байдал хамаардаг криптограф түлхүүрүүдийн хүч мэдэгдэхүйц буурч байна.
Математикийн шийдэгдээгүй бусад бодлого
Мянганы бусад зорилтуудад хэдэн үг зориулснаар нийтлэлээ дуусгах нь зүйтэй болов уу. Үүнд:
- P болон NP ангиудын тэгш байдал. Асуудлыг дараах байдлаар томъёолсон: хэрэв тухайн асуултын эерэг хариултыг олон гишүүнт цаг хугацаанд шалгавал энэ асуултын хариулт өөрөө үнэн үү?хурдан олдох уу?
- Хожийн таамаглал. Энгийнээр хэлбэл, үүнийг дараах байдлаар томъёолж болно: зарим төрлийн проекцийн алгебрийн сортуудын (орон зай) хувьд Хожийн циклүүд нь геометрийн тайлбартай объектуудын нэгдэл, өөрөөр хэлбэл алгебрийн мөчлөг юм.
- Пуанкарегийн таамаглал. Энэ бол өнөөг хүртэл батлагдсан цорын ганц Мянганы сорилт юм. Үүний дагуу 3 хэмжээст бөмбөрцгийн өвөрмөц шинж чанарыг агуулсан аливаа 3 хэмжээст биет нь хэв гажилт хүртэл бөмбөрцөг хэлбэртэй байх ёстой.
- Ян-Миллзийн квант онолыг батлах. R 4 орон зайд эдгээр эрдэмтдийн дэвшүүлсэн квант онол байгаа бөгөөд энгийн авсаархан царигийн G бүлгийн 0-р массын согогтой гэдгийг батлах шаардлагатай.
- Бирч-Свиннертон-Дайерын таамаглал. Энэ бол криптографтай холбоотой өөр нэг асуудал юм. Энэ нь зууван муруйд хүрдэг.
- Навиер-Стоксын тэгшитгэлийн шийдлүүдийн оршихуй ба жигд байдлын асуудал.
Одоо та Риманы таамаглалыг мэдэж байна. Энгийнээр хэлбэл, бид бусад Мянганы сорилтын заримыг томьёоллоо. Тэд шийдэгдэнэ, эсвэл шийдэлгүй нь нотлогдох нь цаг хугацааны асуудал. Түүгээр ч барахгүй математик нь компьютерийн тооцоолох чадварыг улам бүр ашиглаж байгаа тул үүнийг хэтэрхий удаан хүлээх шаардлагагүй юм. Гэхдээ бүх зүйл технологид захирагддаггүй бөгөөд шинжлэх ухааны асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд юуны түрүүнд зөн совин, бүтээлч байх шаардлагатай.
