Ялгаварлалт ба интеграл нь дериватив агуулсан тэгшитгэл юм. Сүүлийнх нь, хэрэв бид математикийн шинж чанаруудыг дагаж мөрдвөл ердийн болон хувийн гэж хуваагддаг. Деривативууд нь өөрчлөлтийн хурдыг илэрхийлэх ба дифференциал тэгшитгэл нь шийдлийн явцад байнга өөрчлөгдөж, шинэ хувьсагчдыг үүсгэдэг хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын хамаарлыг тодорхойлдог.
Их сургуулийн профессор нь интеграл бүхий нарийн төвөгтэй үйлдлүүдийг хялбархан удирдаж, тэдгээрийг нэг бүхэл болгон хувиргаж, дараа нь урвуу аргаар тооцооллыг баталж чадна. Гэсэн хэдий ч нарийн төвөгтэй томьёоны нарийн ширийн зүйлийг хурдан санах чадвар хүн бүрд байдаггүй тул ой санамжаа сэргээх эсвэл шинэ материал олж мэдэхийг зөвлөж байна.
Утга ба үндсэн хэрэглээ
Шинжлэх ухааны ном зохиолд деривативыг аль нэг хувьсагч дээр үндэслэн функцийг хувиргах хурд гэж тодорхойлдог. Ялгаалах нь тооцооллын мөн чанар бөгөөд үүнийг цэг рүү шүргэгч хайх эхлэлтэй харьцуулж болно. Та бүхний мэдэж байгаагаар сүүлийнх нь янз бүрийн төрлүүдтэй байдагхайхын тулд тооцоолох томъёог шаарддаг. P цэг дээрх графикт шүргэгчийн налууг олох хэрэгтэй гэж бодъё. Үүнийг яаж хийх вэ? Зориулалтын объектоор нуман хэлбэртэй тууз зурж, хуваах шугам авах хүртэл дээш өргөхөд хангалттай.
Х-ийн f функцийг х=a цэг дээр ялгах боломжтой гэж нэрлэдэг. Жишээ үзүүлье:
f '(а)=lim (h=0) × f(а + h) – f(а)/h
Тэгшитгэлийг функцүүдийн дифференциал болон интегралд оруулахын тулд түүний байрлалыг дурын x цэгт боломжтой болгохын тулд үүнийг тасалдуулж болохгүй. Урьдчилан бүдүүвч дүрсийг хийснээр та мэдэгдлийн үнэн зөвийг шалгаж болно. Ийм учраас f'(x) домэйн нь түүний хязгаар байгаагаар тодорхойлогддог.
y=f(x)-ийг х-ийн функц гэж үзвэл f(x)-ийн дериватив нь dy/dx байна. Энэ нь мөн шугаман тэгшитгэл гэж тодорхойлогддог бөгөөд y дээр шаардлагатай өгөгдлийг олох шаардлагатай.
Гэхдээ эхний тохиолдолд y-ийн деривативыг хайж байгаа бол дараагийн тохиолдолд x-ийн f(x)-ийг олох хэрэгтэй.
d/dx × (f(x)) la эсвэл df/dx la
Тиймээс, f(x) функцын гадаргуу дээр байрлах цэг дэх х-тэй харьцуулахад өөрчлөгдөх хурдны тэмдэглэгээ.
Хэрэв бид домайндаа ялгах боломжтой f' деривативыг мэдэж байвал f утгыг нь олж чадна. Интеграл тооцоонд бид f' функцийн эсрэг дериватив буюу командыг f гэж нэрлэдэг. Үүнийг тооцоолох аргыг антидифференциал гэж нэрлэдэг.эсвэл нэгтгэх.
Төрөл ба маягтууд
Хараат бустай холбоотой хамааралтай хувьсагчийн деривативуудыг агуулсан нэг буюу хэд хэдэн гишүүнчлэлийн тэгшитгэлийг дифференциал гэж нэрлэдэг. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь шийдвэрлэх явцад өөрчлөгдөх энгийн эсвэл хувийн тоон утгуудын багцаас бүрдэнэ.
Одоогоор дараах төрлийн дифференциал тэгшитгэлүүд байна.
Энгийн. Хувьсагчаас шууд хамааралтай энгийн тэгшитгэл:
dy/dx + 5x=5y
Хэсэгчилсэн дериватив:
dy/dx + dy/dt=x3-t3
d2y/dx2 – c2 × d2 y/dt2
Хамгийн өндөр коэффициент. Энэ төрөл нь доорх жишээнд үзүүлсэн шиг дифференциал тэгшитгэлийн дарааллаар оролцдогоороо онцлог бөгөөд энэ нь 3-тай тэнцүү байна. Тоо нь байгаа хүмүүсийн хамгийн өндөр нь гэж тооцогддог:
d3y/dx2 + 5 × dy/dx + y=√x
Функцууд нь хэд хэдэн хэлбэртэй байж болох ч интеграл болон ялгах томьёо бүхий нэг ишлэл ашиглах нь зүйтэй.
y’=dy/dx
y''=d2y/dx2
y'''=d3y/dx3
Шугаман. Тэгшитгэл дэх хувьсагчийг нэгийн зэрэглэлд хүргэнэ. Энэ төрлийн функцийн график нь ихэвчлэн шулуун шугам юм. Жишээлбэл, (3x + 5), гэхдээ (x3 + 4x2) нь өөр шийдэл шаарддаг тул ийм төрлийнх биш.
dy/dx + xy=5x
Шугаман бус. Тэгш байдлыг олж авах давхар арга бүхий цувралын аливаа интеграл, ялгаварлал - авч үзсэн хэлбэрийг үзнэ үү:
d2y/dx2- ln y=10
Үр дүнг хурдан авах аргууд
Олсон мэдлэгээ практикт хэрхэн даван туулах, хэрэгжүүлэх арга хэлбэрийг харах нь хангалтгүй. Одоогоор дифференциал тэгшитгэлийг шийдэх хэд хэдэн арга бий.
Энэ нь:
- Хувьсагчийн тусгаарлалт. Жишээг dy / dx=f(y) g(x) гэж зурж болох үед гүйцэтгэнэ. Онцлог нь f ба g нь тэдгээрийн утгуудад хамаарах функцууд байдагт оршино. Үүнээс үүдэн бодлогыг өөрчлөх хэрэгтэй: 1/ f(y) dy=g(x) dx. Зөвхөн дараа нь дараагийн зүйл рүү очно уу.
- Интеграцийн хүчин зүйлийн арга. Жишээ нь dy / dx + p(x) y=q(x) үед ашиглагддаг, энд p ба q нь зөвхөн x функц болно.
Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тооцоолол нь шаардлагатай функцууд болон у-ийн деривативыг агуулсан учир y'+ P(x) y=Q(x) шиг харагдана. Нэрийн дараагийн өсөлт нь ижил зарчмаар ажилладаг. Жишээ нь, үл мэдэгдэх функцийн дериватив нь хувийн болон энгийн байж болно.
Тодорхойгүй интеграл
Хэрэв таныг аялалд явахдаа цаг хугацаанаас хамаарч дугуйныхаа хурдыг өгвөл зарцуулсан минутаар туулсан замаа тооцоолж чадах уу? Энэ даалгавар нь асар их ачаа мэт боловч салшгүй хэсэг юмЭдгээр шинж чанаруудыг аль болох үр дүнтэй даван туулахад тусалж, үр дүнд хүрнэ.
Шинжлэх ухааны уран зохиолд тэдгээрийг ялгахын эсрэг тал гэж онцолсон байдаг. Үнэн хэрэгтээ, интеграци бол аливаа зүйлийг нэгтгэх арга юм. Энэ нь бөөмсийг хооронд нь холбож, шинэ зүйлийг бий болгодог - бүхэлд нь. Аливаа ижил төстэй жишээн дэх гол зүйл бол тодорхойгүй интегралуудыг олох, интегралын үр дүнг дифференциалаар шалгах явдал юм. Энэ нь шаардлагагүй алдаанаас зайлсхийхэд тусална.
Хэрэв та санамсаргүй муруйн талбайг олох гэж байгаа бол жишээлбэл y=f(x) энэ аргыг ашиглана уу. Зөвхөн анхаарал болгоомжтой байх нь таныг алдаанаас аварна гэдгийг санаарай.
Уусмалын томьёо
Тиймээс дифференциал ба интегралчлалын үндсэн ойлголт болох функцээр урвуу тооцоолол хийхтэй танилцсаны дараа зарим үндсийг товчхон авч үзэх шаардлагатай байна. Тэдгээрийг доор жагсаав.
Тооцоолох үндсэн дүрэм
Тэгшитгэлийг дараах байдлаар илэрхийлбэл f (x) зэрэг интеграл функцуудыг амархан тэгшитгэх боломжтой:
∫ f(x) dx=F(x) + C.
Энд F (x)-г эсрэг дериватив буюу команд гэж нэрлэдэг. f(x) - интеграл. dx - нэмэлт тоон төлөөлөгчийн үүрэг гүйцэтгэдэг. C нь нэгдсэн буюу дурын тогтмол юм. x - тэгш байдлын талаас хамаарч үйлчилнэ.
Дээрх мэдэгдлээс бид цувралын интеграл ба дифференциал нь хоёр эсрэг тэсрэг үйл явц гэж дүгнэж болно. Тэд хамтдаа чиглэсэн үйл ажиллагааны нэг хэлбэр болдогтэгшитгэл дээр гүйцэтгэсэн эцсийн үр дүнг авах.
Одоо бид тооцооллын онцлогуудын талаар илүү ихийг мэдэж байгаа тул цаашид ойлгоход шаардлагатай үндсэн ялгааг тодруулахыг зөвлөж байна:
- Ялгаварлалт ба интеграцчлал нь шугаман байдлын дүрмийг нэгэн зэрэг хангаж чадна.
- Үйл ажиллагаа нь хамгийн зөв шийдлийг олоход чиглэгддэг хэдий ч шийдвэр гаргахад хязгаарлалттай байдаг.
- Олон гишүүнт жишээг ялгах үед үр дүн нь функцийн зэрэгтэй харьцуулахад 1-ээр бага байдаг бол интегралчлалын үед гарсан үр дүн нь эсрэгээр үйлчилж, өөр үр дүнд хувирдаг.
- Урьд дурьдсанчлан хоёр төрлийн шийдэл нь бие биенийхээ эсрэг байдаг. Тэдгээрийг интеграл болон ялгах томьёо ашиглан тооцдог.
- Аливаа функцийн дериватив нь өвөрмөц боловч нөгөө талаас нэг жишээнд хоёр интеграл нь тогтмолоор ялгаатай байж болно. Энэ дүрэм нь даалгаврыг гүйцэтгэх явцад гол бэрхшээлийг үүсгэдэг.
- Деривативтай харьцахдаа бид деривативуудыг нэг цэгт авч үзэж болно. Интегралтай адил тэд интервалаар функцүүдийг өгдөг.
- Геометрийн хувьд дериватив нь хэмжигдэхүүний нөгөө хэмжигдэхүүний өөрчлөлтийн хурдыг тодорхойлдог бол тодорхойгүй интеграл нь муруйг илэрхийлдэг. Энэ нь параллель чиглэлд тавигдсан бөгөөд мөн хувьсагчийг төлөөлөх тэнхлэгт ортогональ эгцтэй шугамууд бусадтай огтлолцох үед шүргэгчтэй байдаг.
Нэмэх аргууд
Хэрэв та нийлбэрийг хэрхэн ашиглах талаар асуудалтай байгаа болИнтеграцийг ялгах математик үйлдлүүдийн хувьд та үндсэн томьёотой сайтар танилцах хэрэгтэй. Эдгээр нь заахдаа аксиом учраас хаа сайгүй хэрэглэгддэг. Өөрийн жишээн дээр ашиглахдаа томьёо нь зөвхөн i=1-ээр эхэлсэн тохиолдолд зөв болохыг анхаарна уу.
Интегралуудын нийлбэрийн томъёо
Хэсэг тус бүрээр нь шийдэл
Заримдаа функц нь эцсийн үр дүнд хүрч, тэгш байдлын нөхцлийг хангахын тулд стандарт бус хандлагыг шаарддаг. Цувралын нэр томьёоны интеграл ба ялгалт нь ижил шинж чанарт суурилдаг бөгөөд үүнийг: ∫ f(x) g'(x) dx=f (x) g(x) - ∫ f'(x) g(x) dx
Болж буй техникийн алгоритм дараах байдалтай байна:
- Нэгдсэн функцийг хоёр илэрхийллийн үржвэр болгон илэрхийл. Нэгийг нь f (x), нөгөөг нь g' (x) гэж тэмдэглэе.
- Одоо эхний догол мөрөнд хэрэглэж болох өөр хоёр томьёог олж тогтооно уу. Шугам өөрчлөгдөнө. Ялгах замаар бид f(x)-г хувиргаж f(x) илэрхийлэлүүдийг олж авна. Нөгөө хэсэг рүү шилжье - g (x) нь g'(x) -д нэгдсэн байна. Энэ тохиолдолд dx анхны хэлбэрээрээ үлдэх бөгөөд ашиглагдахгүй.
- Хүлээн авсан илэрхийллийг томьёонд хэсэгчлэн оруулна. Энэ нь процедурыг дуусгаж, ойлгоход илүү хялбар болсон тул та одоо баруун талд байгаа шинэ интегралыг үнэлэхийг оролдож болно.
Өмнө нь энэ арга нь матриц ашиглан хэсгүүдээр интеграцчилдаг байсан. Энэ арга нь амжилттай болсон боловч маш их цаг хугацаа шаардсан, учир нь одоогоор энэ нь маш бага ашиглагддагшийдлийг олох бараг боломжгүй тохиолдолд. Үүнийг хийхийн тулд эхний мөрөнд f, g'-г оруулаад, хоёр дахь мөрөнд f, g-г тооцоолно уу.
Бидэнд яагаад хэсэг хэсгээр нь нэгтгэх хэрэгтэй байна вэ?
Нөхцөл байдал өөр болдог. Заримдаа шийдэл нь эхлээд харахад хамаагүй хэцүү байдаг. Тиймээс хүчин чадлын цувааг үе шаттайгаар нэгтгэх, ялгах үед ихэвчлэн тулгардаг гол асуудлуудыг тодруулах шаардлагатай байна. Хоёр үндсэн дүрмийг анхаарч үзээрэй.
Нэгдүгээрт, бидний нэгтгэх гэж буй хэсэг буюу g '(x)-д сонгосон хэсгийг бид хувиргах чадвартай байх ёстой. Үүнийг аль болох хурдан хийх нь чухал юм. Гол нь g-ийн цогц интеграл нь сайжруулсан интегралд хүргэх нь ховор бөгөөд нарийн төвөгтэй байдлыг нэмэгдүүлдэг. Энэ бүхэн нь шийдвэр гаргах явцад бидний үйл ажиллагааны эрх чөлөөнд сөргөөр нөлөөлж, мөн хүч, синус, косинусаас хамаардаг. Зөв хариултыг олоход цаг хугацаа шаардагдах ч төөрөгдүүлсэн хариултаас илүү зөв хариулт руу хөтөлж байгаарай.
Хоёрдугаарт, бусад бүх зүйл, өөрөөр хэлбэл F-г ялгаж, тэмдэглэх гэж буй хэсэг нь хувиргасны дараа мэдэгдэхүйц ялгарах ёстой. Энгийн процедурын дараа бид шинэ интеграл өмнөхөөсөө илүү хялбаршсан болохыг анзаарах болно.
Функцийн тооцоо ба вектор барих
Тиймээс бид хоёр дүрмийг нэгтгэж, үүнийг шийдвэрлэхэд ашиглах үед чадлын функцүүдийн ялгаа, интегралчлалыг ашиглах боломжийг олж авдаг бөгөөд үүнийг хэсэгчлэн авч үзэх нь зүйтэй юм.
Х-г арилгах арга бас байдаг бөгөөд энэ нь янз бүрийн хэлбэрт хувиргалтыг үр дүнтэй ашиглах боломжийг олгодог.нөхцөл байдал. Жишээлбэл, бид функцийг олон гишүүнтээр үржүүлснээр хялбархан интеграци хийх боломжтой бөгөөд үүнийг ялгаж салгаж болно.
∫ x2 sin(3x) dx
∫ x7 cos(x) dx
∫x4 e4x dx
F хувьд бид x-ийн хүчийг (илүү ерөнхий тохиолдолд олон гишүүнт) авахаас гадна g’-г ашигладаг. Мэдээжийн хэрэг, ялгаа бүр нь тооны зэрэглэлийг нэгээр бууруулдаг тул жишээн дээр энэ нь хангалттай өндөр байвал нэр томъёоны интеграцийг хэд хэдэн удаа хэрэглээрэй. Энэ нь цаг хэмнэхэд тусална.
Зарим тэгшитгэлийн нарийн төвөгтэй байдал
Энэ тохиолдолд бид чадлын цувааг ялгах, нэгтгэх тухай ярьж байна. Энэ функцийг x нь цэгүүдийн нийлэх интервалын талбай гэж үзэж болно. Үнэн бол энэ арга нь хүн бүрт тохиромжгүй байдаг. Аливаа функцийг шугаман бүтэц болгон хувиргах хүчний цуваа хэлбэрээр илэрхийлж болно.
Жишээ нь, ex өгөгдсөн. Бид үүнийг тэгшитгэл хэлбэрээр илэрхийлж болох бөгөөд энэ нь үнэхээр хязгааргүй олон гишүүнт юм. Эрчим хүчний цувааг тооцоолоход хялбархан харж болох ч үргэлж үр ашигтай байдаггүй.
Тодорхой интеграл нийлбэрийн хязгаар
Дараах график интеграцчлал ба ялгахыг харна уу.
Функцийн график
Нэг төвөгтэй функцийг хялбархан ойлгохын тулд үүнийг сайтар ойлгоход хангалттай. y=f (x) муруй, x тэнхлэг болон "x=a" ба "x=b" координатуудын хоорондох PRSQP талбайг тооцоолъё. Одоо [a, b] интервалыг 'n' тэнцүү дэд интервалуудад хувааж, дараах байдлаар тэмдэглэнэиймд:
[x0, x1], [x1, x 2], [x2, x3]…. [xn - 1, x].
Х0=a, x1=a + h, x2=a + 2 цаг, x3=a + 3 цаг….. xr=a + rh болон x =b=a + nh эсвэл n=(b - a) / h. (нэг).
n → ∞ h → 0 гэдгийг анхаарна уу.
Үзэж буй PRSQP орон зай нь бүх "n" дэд домайнуудын нийлбэр бөгөөд тус бүр нь тодорхой дундаж түвшинд тодорхойлогддог [xr-1, xr], r=1, 2, 3…n. Зөв арга барилаар эдгээр функцийг ялгаж, нэгтгэж, хурдан шийдвэрлэх боломжтой.
Одоо зураг дээрх ABDM-г хараарай. Үүний үндсэн дээр тухайн бүсүүдийн талаар дараах ажиглалтыг хийхийг зөвлөж байна: (ABLC) < (ABDCA) < (ABDM).
Мөн h → 0 эсвэл xr - xr-1 → 0 үед гурван талбар нь бараг тэнцүү болж байгааг анхаарна уу. найз. Тиймээс бидэнд: байна
s =h [f(x0) + f(x1) + f (x2) + …. f(xn – 1)]=h r=0∑n–1 f(x r) (2)
эсвэл S =h [f(x1) + f(x2) + f(x3) + …. f(x)]=h r=1∑ f(xr) (3)
Энэ тохиолдолд s ба S нь [х интервалаас дээш өргөгдсөн бүх доод ба дээд тэгш өнцөгтүүдийн талбайн нийлбэрийг илэрхийлнэ. r–1, xr] r=1, 2, 3, …, n-д тус тус. Үүнийг хэтийн төлөвтэй болгохын тулд (1) тэгшитгэлийг дахин бичиж болномаягт:
s < бүс нутаг (PRSQP) < S… (4)
Үүнээс гадна (2) ба (3) хязгаарын утгууд нь хоёр тохиолдолд ижил байх ба зөвхөн муруйн доорх талбай нийтлэг байна гэж үздэг. Үүний үр дүнд бид:
limn → ∞ S =limn → ∞ s=PRSQP хэсгүүд=∫ab f(x) dx … (5)
Талбай нь мөн муруйн доорх ба муруйн дээрх тэгш өнцөгтүүдийн хоорондох зайны хязгаар юм. Тохиромжтой болгохын тулд та дэд интервал бүрийн зүүн ирмэг дээрх муруйтай тэнцүү байгаа зургийн өндрийг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Тиймээс тэгшитгэлийг эцсийн хувилбар болгон дахин бичсэн болно:
∫ab f(x) dx=lim → ∞h [f(a) + f(a + h) + …. + f(a + {n - 1}ц)]
эсвэл ∫ab f(x) dx=(b – a) limn → ∞(1/n) [f(a) + f(a + h) + …. + f(a + {n - 1}ц)]
Дүгнэлт
Ялгарал ба интеграл нь хэд хэдэн шинж чанар, томьёо болон эсрэг тэсрэг өөрчлөлтүүдээрээ бие биенээсээ ялгаатай. Тусламжгүйгээр нэг нь нөгөөдөө хувирч чадахгүй. Хэрэв ялгах нь деривативыг олоход тусалдаг бол интеграл нь огт өөр үйлдлийг гүйцэтгэдэг. Тэр зарим хэсгийг нэмж, тэдгээрийг багасгах замаар зэрэг олгоход туслах эсвэл хялбарчлах замаар жишээг сайжруулах боломжтой.
Энэ нь мөн ялгаатай тэгшитгэлийг шалгахад хэрэглэгддэг. Өөрөөр хэлбэл, бие биенээ нөхөж байдаг тул тус тусад нь зэрэгцэн орших боломжгүй нэг нэгжийн үүрэг гүйцэтгэдэг. Дүрмүүдийг хэрэгжүүлж, олон арга техникийг мэддэг бол одоо та шийдэх баталгаатай болносорилттой даалгавар.
