Орон зайн дүрсийн эзлэхүүнийг тодорхойлох чадвар нь геометрийн болон практик асуудлыг шийдвэрлэхэд чухал ач холбогдолтой. Эдгээр дүрсүүдийн нэг нь призм юм. Энэ нь юу болохыг бид нийтлэлд авч үзэх бөгөөд налуу призмийн эзэлхүүнийг хэрхэн тооцоолохыг харуулах болно.
Геометрийн призм гэж юу гэсэн үг вэ?
Энэ бол параллель хавтгайд байрлах ижил хоёр суурь ба тэмдэглэсэн сууриудыг холбосон хэд хэдэн параллелограммуудаас тогтсон энгийн олон өнцөгт (олон өнцөгт) юм.
Призмын суурь нь гурвалжин, дөрвөлжин, долоон өнцөгт гэх мэт дурын олон өнцөгт байж болно. Түүнчлэн, олон өнцөгтийн булангийн (тал) тоо нь зургийн нэрийг тодорхойлдог.
Н өнцөгт суурьтай аливаа призм (n нь талуудын тоо) нь n+2 нүүр, 2 × n орой, 3 × n ирмэгээс бүрдэнэ. Өгөгдсөн тоонуудаас харахад призмийн элементүүдийн тоо Эйлерийн теоремтой тохирч байна:
3 × n=2 × n + n + 2 - 2
Доорх зурган дээр шилээр хийсэн гурвалжин ба дөрвөлжин призм ямар байдгийг харуулж байна.
Зургийн төрлүүд. Налалттай призм
Призмийн нэрийг суурийн олон өнцөгтийн талуудын тоогоор тодорхойлно гэж дээр хэлсэн. Гэсэн хэдий ч түүний бүтцэд зургийн шинж чанарыг тодорхойлдог бусад шинж чанарууд байдаг. Хэрэв призмийн хажуугийн гадаргууг бүрдүүлдэг бүх параллелограммуудыг тэгш өнцөгт эсвэл квадратаар дүрсэлсэн бол ийм дүрсийг шулуун шугам гэж нэрлэдэг. Шулуун призмийн хувьд суурийн хоорондох зай нь аливаа тэгш өнцөгтийн хажуугийн ирмэгийн урттай тэнцүү байна.
Хэрэв зарим эсвэл бүх талууд параллелограмм бол налуу призмийн тухай ярьж байна. Түүний өндөр нь хажуугийн хавирганы уртаас аль хэдийн бага байх болно.
Үзэж буй дүрсүүдийг ангилах өөр нэг шалгуур бол талуудын урт ба суурийн олон өнцөгтийн өнцөг юм. Хэрэв тэдгээр нь хоорондоо тэнцүү бол олон өнцөгт зөв байх болно. Суурьдаа ердийн олон өнцөгт дүрс бүхий шулуун дүрсийг тогтмол гэж нэрлэдэг. Гадаргуугийн талбай, эзэлхүүнийг тодорхойлохдоо түүнтэй ажиллахад тохиромжтой. Үүнтэй холбоотой налуу призм нь зарим хүндрэл учруулдаг.
Доорх зурагт дөрвөлжин суурьтай хоёр призмийг харуулж байна. 90° өнцөг нь шулуун ба ташуу призмийн үндсэн ялгааг харуулдаг.
Зургийн эзлэхүүнийг тодорхойлох томьёо
Призмийн нүүрнүүдээр хүрээлэгдсэн орон зайн хэсгийг эзэлхүүн гэнэ. Ямар ч төрлийн авч үзсэн тоонуудын хувьд энэ утгыг дараах томъёогоор тодорхойлж болно:
V=h × So
Энд h тэмдэг нь призмийн өндрийг илэрхийлнэ. Энэ нь хоёр суурийн хоорондох зайны хэмжүүр юм. So тэмдэг - нэг суурь квадрат.
Суурийн хэсгийг олоход хялбар. Олон өнцөгт нь хэвийн эсэхээс үл хамааран талуудын тоог нь мэдэж байгаа тул тохирох томьёог хэрэглэж So авах хэрэгтэй. Жишээ нь, хажуугийн урт a-тай ердийн n-гононы хувьд талбай нь:
байх болно.
S=n / 4 × a2 × ctg (pi / n)
Одоо h өндөр рүү шилжье. Шулуун призмийн хувьд өндрийг тодорхойлох нь хэцүү биш боловч ташуу призмийн хувьд энэ нь тийм ч хялбар ажил биш юм. Үүнийг тодорхой анхны нөхцлөөс эхлээд янз бүрийн геометрийн аргаар шийдэж болно. Гэсэн хэдий ч зургийн өндрийг тодорхойлох бүх нийтийн арга байдаг. Үүнийг товч тайлбарлая.
Сансар огторгуйн цэгээс хавтгай хүртэлх зайг олох санаа юм. Хавтгайг тэгшитгэлээр өгсөн гэж үзье:
A × x+ B × y + C × z + D=0
Тэгвэл онгоц хол зайд байх болно:
h=|A × x1 + B × y1+ C × z1 +D| / √ (A2 + B2+ C2)
Хэрэв (0; 0; 0) цэг нь призмийн доод суурийн хавтгайд байхаар координатын тэнхлэгүүдийг байрлуулсан бол суурийн хавтгайн тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно:
z=0
Энэ нь өндрийн томьёог бичнэ гэсэн үгтэгэхээр:
h=z1
Зургийн өндрийг тодорхойлохын тулд дээд суурийн дурын цэгийн z-координатыг олоход хангалттай.
Асуудлыг шийдвэрлэх жишээ
Доорх зурагт дөрвөлжин призмийг харуулж байна. Налуу призмийн суурь нь 10 см талтай дөрвөлжин бөгөөд хажуугийн ирмэгийн урт нь 15 см, урд талын параллелограммын хурц өнцөг нь 70 ° гэдгийг мэддэг бол түүний эзэлхүүнийг тооцоолох шаардлагатай.
Зургийн өндөр h нь мөн параллелограммын өндөр тул h-ийг олохын тулд түүний талбайг томъёогоор тодорхойлно. Параллелограммын талуудыг дараах байдлаар тэмдэглэе:
a=10см;
b=15см
Дараа нь та Sp талбайг тодорхойлохын тулд дараах томьёог бичиж болно:
Sp=a × b × sin (α);
Sp=a × h
Бид хаанаас авдаг вэ:
h=b × нүгэл (α)
Энд α нь параллелограммын хурц өнцөг юм. Суурь нь дөрвөлжин хэлбэртэй тул налуу призмийн эзэлхүүний томъёо нь дараах хэлбэртэй байна:
V=a2 × b × sin (α)
Бид нөхцөлийн өгөгдлийг томъёонд орлуулж хариултыг авна: V ≈ 1410 см3.
