Трапец гэдэг нь нэг хос тал нь параллель байх дөрвөлжингийн онцгой тохиолдол юм. "Трапец" гэсэн нэр томъёо нь "ширээ", "ширээ" гэсэн утгатай τράπεζα гэсэн грек үгнээс гаралтай. Энэ нийтлэлд бид трапецын төрлүүд, түүний шинж чанаруудыг авч үзэх болно. Нэмж дурдахад бид энэ геометрийн дүрсийн бие даасан элементүүдийг хэрхэн тооцоолохыг олж мэдэх болно. Жишээлбэл, ижил тэгш өнцөгт трапецын диагональ, дунд шугам, талбай гэх мэт. Материалыг энгийн түгээмэл геометрийн хэв маягаар, өөрөөр хэлбэл хялбар хүртээмжтэй хэлбэрээр үзүүлэв.
Ерөнхий мэдээлэл
Эхлээд дөрвөн өнцөгт гэж юу болохыг олж мэдье. Энэ зураг нь дөрвөн тал, дөрвөн орой агуулсан олон өнцөгтийн онцгой тохиолдол юм. Зэргэлдээгүй дөрвөн өнцөгтийн хоёр оройг эсрэг гэж нэрлэдэг. Зэргэлдээгүй хоёр талын талаар мөн адил зүйлийг хэлж болно. Дөрвөн өнцөгтийн үндсэн төрлүүд нь параллелограмм, тэгш өнцөгт, ромб, дөрвөлжин, трапец болондельтоид.
Тэгэхээр трапец руу буцъя. Өмнө дурьдсанчлан, энэ зураг зэрэгцээ хоёр талтай. Тэдгээрийг суурь гэж нэрлэдэг. Нөгөө хоёр (параллель бус) нь талууд юм. Шалгалт, янз бүрийн тестийн материалуудаас ихэвчлэн трапецтай холбоотой даалгавруудыг олох боломжтой бөгөөд үүний шийдэл нь оюутнуудаас хөтөлбөрт тусгаагүй мэдлэгтэй байхыг шаарддаг. Сургуулийн геометрийн хичээл нь оюутнуудад өнцөг ба диагональуудын шинж чанарууд, мөн адил тэгш өнцөгт трапецын дунд шугамын талаар танилцуулдаг. Гэхдээ үүнээс гадна дурдсан геометрийн дүрс нь бусад шинж чанартай байдаг. Гэхдээ тэдний талаар дараа дэлгэрэнгүй…
Трапецын төрлүүд
Энэ дүрсийн олон төрөл байдаг. Гэсэн хэдий ч ихэнхдээ тэдгээрийн хоёрыг авч үзэх нь заншилтай байдаг - тэгш өнцөгт ба тэгш өнцөгт.
1. Тэгш өнцөгт трапец гэдэг нь аль нэг тал нь сууринд перпендикуляр байрладаг дүрс юм. Түүний хоёр өнцөг нь үргэлж ерэн градус байна.
2. Талууд нь хоорондоо тэнцүү геометрийн дүрсийг ижил өнцөгт трапец гэнэ. Энэ нь суурийн өнцөг нь мөн хосоороо тэнцүү байна гэсэн үг.
Трапецын шинж чанарыг судлах техникийн үндсэн зарчим
Үндсэн зарчим нь даалгавар гэж нэрлэгддэг аргыг ашиглах явдал юм. Үнэн хэрэгтээ энэ дүрсийн шинэ шинж чанарыг геометрийн онолын хичээлд нэвтрүүлэх шаардлагагүй юм. Тэдгээрийг янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэх явцад олж, томъёолж болно (системийн асуудлаас илүү). Үүний зэрэгцээ багш ямар даалгавар хэрэгтэйг мэддэг байх нь маш чухал юм.боловсролын үйл явцын нэг эсвэл өөр цэг дээр сургуулийн сурагчдын өмнө тавих. Түүгээр ч зогсохгүй трапецын шинж чанар бүрийг даалгаврын системийн гол даалгавар болгон төлөөлж болно.
Хоёр дахь зарчим бол трапецын "гайхалтай" шинж чанарыг судлах спираль зохион байгуулалт гэж нэрлэгддэг. Энэ нь сургалтын үйл явцад өгөгдсөн геометрийн дүрсийн бие даасан шинж чанарууд руу буцах гэсэн үг юм. Тиймээс оюутнууд үүнийг цээжлэхэд хялбар байдаг. Жишээлбэл, дөрвөн цэгийн өмч. Үүнийг ижил төстэй байдлын судалгаа, дараа нь векторуудын тусламжтайгаар нотолж болно. Зургийн талуудтай зэргэлдээх гурвалжнуудын ижил талбайг ижил шулуун дээр байрлах талууд руу татсан ижил өндөртэй гурвалжны шинж чанарыг төдийгүй S=1/ томъёог ашиглан баталж болно. 2(absinα). Нэмж дурдахад та синусын теоремыг бичээстэй трапец эсвэл тэгш өнцөгт гурвалжинг тойрсон трапецын гэх мэтээр боловсруулж болно.
Сургуулийн хичээлийн агуулгад геометр дүрсийн "хичээлээс гадуурх" шинж чанарыг ашиглах нь тэдгээрийг заах даалгаврын технологи юм. Бусад сэдвүүдийг дамжихдаа судлагдсан шинж чанаруудыг байнга татах нь оюутнуудад трапецын талаар гүнзгий мэдлэг олж авах боломжийг олгож, даалгавруудыг амжилттай шийдвэрлэх боломжийг олгодог. Ингээд энэ гайхалтай дүрийг судалж эхэлцгээе.
Адил талт трапецын элементүүд ба шинж чанарууд
Энэ геометрийн дүрсийн талууд тэнцүү байна гэж бид өмнө нь тэмдэглэсэн. Үүнийг мөн зөв трапец гэж нэрлэдэг. Яагаад ийм гайхалтай, яагаад ийм нэртэй болсон бэ?Энэ зургийн онцлог нь зөвхөн суурийн хажуу ба булангуудыг төдийгүй диагональууд нь тэнцүү байх явдал юм. Мөн адил тэгш өнцөгт трапецын өнцгийн нийлбэр нь 360 градус байна. Гэхдээ энэ нь бүгд биш юм! Мэдэгдэж байгаа бүх трапецын дотроос зөвхөн ижил өнцөгтийн эргэн тойронд нэг тойрог дүрслэгдэж болно. Энэ нь энэ зургийн эсрэг талын өнцгүүдийн нийлбэр нь 180 градус байгаатай холбоотой бөгөөд зөвхөн энэ нөхцөлд л дөрвөлжингийн эргэн тойронд тойргийг дүрсэлж болно. Гэж үзэж буй геометрийн дүрсийн дараагийн шинж чанар нь үндсэн оройноос энэ суурийг агуулсан шугамын эсрэг оройн проекц хүртэлх зай нь дунд шугамтай тэнцүү байх явдал юм.
Одоо ижил өнцөгт трапецын өнцгийг хэрхэн олохыг олж мэдье. Зургийн талуудын хэмжээсийг мэддэг бол энэ асуудлыг шийдэх арга замыг авч үзье.
Шийдвэр
Дөрвөн өнцөгтийг ихэвчлэн A, B, C, D үсгээр тэмдэглэдэг бөгөөд энд BS болон AD нь суурь болдог. Хоёр талт трапецын хувьд талууд тэнцүү байна. Бид тэдгээрийн хэмжээ нь X, суурийн хэмжээ нь Y ба Z (тус тус бүр жижиг ба том) гэж таамаглах болно. Тооцооллыг хийхийн тулд B өнцгөөс H өндрийг зурах шаардлагатай. Үүний үр дүнд AB нь гипотенуз, BN ба AN нь хөл нь тэгш өнцөгт ABN гурвалжин үүснэ. Бид AN хөлний хэмжээг тооцоолно: бид том сууриас жижигийг нь хасаад үр дүнг 2-т хуваана. Бид үүнийг томъёогоор бичнэ: (Z-Y) / 2 \u003d F. Одоо тооцоолохын тулд гурвалжны хурц өнцөг, бид cos функцийг ашигладаг. Бид дараах бичлэгийг авна: cos(β)=Х/F. Одоо бид өнцгийг тооцоолно: β=arcos (Х/F). Цаашилбал, нэг өнцгийг мэдсэнээр бид тодорхойлж чаднахоёрдугаарт, үүний тулд бид энгийн арифметик үйлдлийг гүйцэтгэдэг: 180 - β. Бүх булангуудыг тодорхойлсон.
Энэ асуудлыг шийдэх хоёр дахь шийдэл бас бий. Эхэндээ бид B булангаас H өндрийг буулгана. Бид BN хөлний утгыг тооцоолно. Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенузын квадрат нь хөлийн квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү гэдгийг бид мэднэ. Бид дараахь зүйлийг авна: BN \u003d √ (X2-F2). Дараа нь бид tg тригонометрийн функцийг ашиглана. Үүний үр дүнд бид: β=arctg (BN / F). Хурц булан олдсон. Дараа нь бид эхний аргын адил мохоо өнцгийг тодорхойлно.
Адил талт трапецын диагональуудын шинж чанар
Эхлээд дөрвөн дүрмийг бичье. Хэрэв ижил өнцөгт трапецын диагональууд перпендикуляр байвал:
- зургийн өндөр нь суурийн нийлбэрийг хоёроор хуваасантай тэнцүү байх болно;
- түүний өндөр ба дунд шугам тэнцүү;
- трапецын талбай нь өндрийн квадраттай тэнцүү байх болно (дунд шугам, суурийн нийлбэрийн хагас);
- диагональ квадрат нь суурийн нийлбэрийн квадратын тал буюу дунд шугамын (өндөр) квадратаас хоёр дахин ихтэй тэнцүү байна.
Одоо адил тэгш өнцөгт трапецын диагональыг тодорхойлох томъёог авч үзье. Энэ мэдээллийн блокийг нөхцөлт дөрвөн хэсэгт хувааж болно:
1. Диагоналын уртыг талуудаар нь илэрхийлэх томьёо.
Бид A нь доод суурь, В нь дээд суурь, C нь тэнцүү талууд, D диагональ гэдгийг бид хүлээн зөвшөөрдөг. Энэ тохиолдолд уртыг дараах байдлаар тодорхойлж болно:
D=√(C2+AB).
2. Косинусын теоремын дагуу диагональ уртын томъёо.
Бид A нь доод суурь, B нь дээд суурь, C нь тэнцүү талууд, D нь диагональ, α (доод сууринд), β (дээд суурь) гэдгийг бид хүлээн зөвшөөрдөг.- трапецын өнцөг. Бид диагоналийн уртыг тооцоолох дараах томъёог олж авдаг:
- D=√(A2+C2-2ACcosα);
- D=√(A2+C2-2ACcosβ);
- D=√(B2+C2-2BCcosβ);
- D=√(B2+C2-2BCcosα).
3. Хоёр талт трапецын диагональуудын уртын томъёо.
Бид A нь доод суурь, B нь дээд суурь, D нь диагональ, M нь дунд шугам, H нь өндөр, P нь трапецын талбай, α ба β нь гэдгийг бид хүлээн зөвшөөрдөг. диагональ хоорондын өнцөг. Дараах томъёог ашиглан уртыг тодорхойлно уу:
- D=√(M2+H2);
- D=√(H2+(A+B)2/4);
- D=√(N(A+B)/sinα)=√(2P/sinα)=√(2MN/sinα).
Энэ тохиолдолд тэгш байдал үнэн: sinα=sinβ.
4. Диагоналын уртыг талууд болон өндрийн хувьд томьёо.
Бид A нь доод суурь, B нь дээд суурь, C нь талууд, D нь диагональ, H нь өндөр, α нь доод суурийн өнцөг гэдгийг бид хүлээн зөвшөөрдөг.
Дараах томьёог ашиглан уртыг тодорхойлно:
- D=√(Н2+(А-Рctgα)2);
- D=√(Н2+(В+Рctgα)2);
- D=√(A2+C2-2A√(C2-H2)).
Тэгш өнцөгт трапецын элементүүд ба шинж чанарууд
Энэ геометрийн дүрсийн юу сонирхолтой байгааг харцгаая. Бидний хэлсэнчлэн тэгш өнцөгт трапец хоёр тэгш өнцөгтэй.
Сонгодог тодорхойлолтоос гадна өөр бас бий. Жишээлбэл, тэгш өнцөгт трапец нь суурьтай перпендикуляр нэг талтай трапец юм. Эсвэл хажуу талдаа зөв өнцөгтэй дүрс. Энэтрапецын төрөл, өндөр нь суурьтай перпендикуляр байгаа талтай тэнцүү байна. Дундаж шугам нь хоёр талын дунд цэгүүдийг холбосон сегмент юм. Дээр дурдсан элементийн шинж чанар нь суурьтай параллель бөгөөд тэдгээрийн нийлбэрийн хагастай тэнцүү байна.
Одоо энэ геометрийн дүрсийг тодорхойлсон үндсэн томъёонуудыг харцгаая. Үүнийг хийхийн тулд бид A ба B нь суурь гэж үздэг; C (суурьтай перпендикуляр) ба D - тэгш өнцөгт трапецын талууд, M - дунд шугам, α - хурц өнцөг, P - талбай.
1. Суурийн перпендикуляр хажуу тал нь зургийн өндөртэй (C \u003d H) тэнцүү бөгөөд хоёрдахь талын D урт ба том суурьтай α өнцгийн синусын үржвэртэй тэнцүү байна (C \u003d Dнүгэл α). Үүнээс гадна хурц өнцгийн шүргэгч α ба суурийн зөрүүний үржвэртэй тэнцүү байна: С=(А-Б)tgα.
2. Хажуу тал D (суурьтай перпендикуляр биш) нь хурц өнцгийн косинус (α) ба A ба B хоёрын ялгааны коэффициент эсвэл H зургийн өндөр ба хурц өнцгийн синусын коэффициенттэй тэнцүү байна.: D \u003d (A-B) / cos α \u003d C / sin α.
3. Суурийн перпендикуляр хажуу тал нь D квадратын зөрүүний квадрат язгуур - хоёр дахь тал ба суурийн зөрүүний квадраттай тэнцүү байна:
C=√(D2-(A-B)2).
4. Тэгш өнцөгт трапецын D тал нь С талын квадратын нийлбэр ба геометрийн дүрсийн суурийн ялгааны квадратын квадрат язгууртай тэнцүү байна: D=√(C2+(A-B)2).
5. Хажуу талын C нь давхар талбайг суурийн нийлбэрт хуваах коэффициенттэй тэнцүү байна: C \u003d P / M \u003d 2P / (A + B).
6. Талбайг M (тэгш өнцөгт трапецын дунд шугам) ба өндрийн үржвэрээр тодорхойлно.тал, суурийн перпендикуляр: P \u003d MN \u003d MS.
7. C тал нь хурц өнцгийн синусын үржвэр ба түүний суурийн нийлбэрээр зургийн талбайг хоёр дахин хуваах коэффициенттэй тэнцүү байна: C \u003d P / Msinα \u003d 2P / ((A + B)sinα).
8. Тэгш өнцөгт трапецын хажуу талын диагональ ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн томьёо:
- sinα=sinβ;
- S=(D1D2/(A+B))sinα=(D1D2/(A+B))sinβ, энд D1 ба D2 нь трапецын диагональ; α ба β нь тэдгээрийн хоорондох өнцөг юм.
9. Доод суурь ба бусад талуудын өнцгөөр хажуугийн хажуугийн томьёо: D \u003d (A-B) / cosα \u003d C / sinα \u003d H / sinα.
Тэгш өнцөгтэй трапец нь трапецын онцгой тохиолдол тул эдгээр дүрсийг тодорхойлсон бусад томьёо нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй тохирно.
Бичсэн тойргийн шинж чанарууд
Хэрэв нөхцөл нь дугуйг тэгш өнцөгт трапец хэлбэрээр бичсэн бол дараах шинж чанаруудыг ашиглаж болно:
- суурийн нийлбэр нь талуудын нийлбэртэй тэнцүү;
- тэгш өнцөгт дүрсийн оройноос бичээстэй тойргийн хүрэх цэг хүртэлх зай үргэлж тэнцүү байна;
- трапецын өндөр нь хажуу талтай тэнцүү, суурийн перпендикуляр, тойргийн диаметртэй тэнцүү;
- тойргийн төв нь өнцгийн биссектрисын огтлолцох цэг юм;
- хэрэв хажуу талыг контактын цэгээр H ба M сегментүүдэд хуваасан бол тойргийн радиус нь эдгээр сегментүүдийн үржвэрийн квадрат язгууртай тэнцүү байна;
- шүргэгч цэгүүд, трапецын орой ба бичээстэй тойргийн төвөөс үүссэн дөрвөлжин.тал нь радиустай тэнцүү квадрат;
- зургийн талбай нь суурийн үржвэр ба суурийн нийлбэр ба түүний өндрийн хагасын үржвэртэй тэнцүү байна.
Ижил төстэй трапец
Энэ сэдэв нь энэхүү геометрийн дүрсийн шинж чанарыг судлахад маш тохиромжтой. Жишээлбэл, диагональууд нь трапецийг дөрвөн гурвалжинд хуваадаг бөгөөд суурьтай зэргэлдээх нь ижил төстэй, хажуу талуудтай зэргэлдээх нь тэнцүү байна. Энэ мэдэгдлийг трапецийг диагональаар нь хуваасан гурвалжны шинж чанар гэж нэрлэж болно. Энэхүү батламжийн эхний хэсгийг хоёр өнцгийн ижил төстэй байдлын шалгуураар нотолсон болно. Хоёр дахь хэсгийг батлахын тулд доорх аргыг ашиглах нь дээр.
Теоремын баталгаа
ABSD (AD ба BS нь трапецын суурь) дүрсийг VD ба AC диагональуудад хуваасан гэдгийг бид хүлээн зөвшөөрч байна. Тэдний огтлолцох цэг нь O. Бид дөрвөн гурвалжин авдаг: AOS - доод суурь дээр, BOS - дээд суурь дээр, ABO ба SOD хажуу талдаа. Хэрэв BO ба OD хэрчмүүд нь тэдгээрийн суурь бол SOD ба BOS гурвалжин нь нийтлэг өндөртэй байна. Бид тэдгээрийн талбайн хоорондох ялгаа (P) нь эдгээр сегментүүдийн хоорондох зөрүүтэй тэнцүү болохыг олж авдаг: PBOS / PSOD=BO / OD=K. Тиймээс PSOD=PBOS / K. Үүний нэгэн адил BOS болон AOB гурвалжин нь нийтлэг өндөртэй байдаг. Бид CO ба OA сегментүүдийг үндэс болгон авдаг. Бид PBOS / PAOB \u003d CO / OA \u003d K ба PAOB \u003d PBOS / K-ийг авдаг. Үүнээс үзэхэд PSOD=PAOB.
Материалыг нэгтгэхийн тулд трапецийг диагональаар нь хуваасан гурвалжны талбайн хоорондын уялдаа холбоог дараах асуудлыг шийдвэрлэх замаар олохыг оюутнуудад зөвлөж байна. Энэ нь мэдэгдэж байнагурвалжин BOS ба AOD талбайнууд тэнцүү бол та трапецын талбайг олох хэрэгтэй. PSOD \u003d PAOB учраас энэ нь PABSD \u003d PBOS + PAOD + 2PSOD гэсэн үг юм. BOS ба AOD гурвалжнуудын ижил төстэй байдлаас харахад BO / OD=√ (PBOS / PAOD) байна. Тиймээс PBOS/PSOD=BO/OD=√(PBOS/PAOD). Бид PSOD=√ (PBOSPAOD) авдаг. Дараа нь PABSD=PBOS+PAOD+2√(PBOSPAOD)=(√PBOS+√PAOD)2.
Ижил шинж чанарууд
Энэ сэдвийг үргэлжлүүлэн хөгжүүлснээр бид трапецын бусад сонирхолтой шинж чанаруудыг баталж чадна. Тиймээс ижил төстэй байдлыг ашиглан энэ геометрийн дүрсийн диагональуудын огтлолцолоос үүссэн цэгээр дамжин өнгөрөх сегментийн шинж чанарыг суурьтай параллель нотолж болно. Үүний тулд бид дараах асуудлыг шийднэ: О цэгийг дайран өнгөрөх RK хэрчмийн уртыг олох шаардлагатай. AOD ба BOS гурвалжнуудын ижил төстэй байдлаас AO/OS=AD/BS байна. AOP ба ASB гурвалжны ижил төстэй байдлаас харахад AO / AS \u003d RO / BS \u003d AD / (BS + AD) байна. Эндээс бид RO \u003d BSAD / (BS + AD) -ийг авна. Үүний нэгэн адил, DOK ба DBS гурвалжнуудын ижил төстэй байдлаас харахад OK \u003d BSAD / (BS + AD) гарч ирнэ. Эндээс бид RO=OK ба RK=2BSAD/(BS+AD) гэсэн утгыг авна. Суурьтай параллель, хоёр талыг холбосон диагональуудын огтлолцлын цэгээр дамжин өнгөрөх сегментийг огтлолцох цэгээр хагасаар хуваана. Түүний урт нь зургийн суурийн гармоник дундаж юм.
Дөрвөн цэгийн өмч гэж нэрлэгддэг трапецын дараах шинж чанарыг авч үзье. Диагональуудын огтлолцлын цэгүүд (O), талуудын үргэлжлэл (E) уулзварууд, түүнчлэн суурийн дунд цэгүүд (T ба W) үргэлж нэг шулуун дээр байрладаг. Энэ нь ижил төстэй байдлын аргаар амархан нотлогддог. Үүссэн гурвалжин BES ба AED нь ижил төстэй бөгөөд дотортус бүр нь ET ба EZH медианууд E орой дээрх өнцгийг тэнцүү хэсгүүдэд хуваана. Тиймээс E, T, W цэгүүд нэг шулуун дээр байрладаг. Үүний нэгэн адил T, O, G цэгүүд нэг шулуун дээр байрлана. Энэ бүхэн BOS ба AOD гурвалжнуудын ижил төстэй байдлаас үүдэлтэй. Эндээс бид E, T, O, W гэсэн дөрвөн цэг бүгд нэг шулуун дээр байх болно гэж дүгнэж байна.
Ижил төстэй трапецуудыг ашиглан тухайн зургийг ижил төстэй хоёр хэсэгт хуваах хэрчим (LF) уртыг олохыг сурагчдаас асууж болно. Энэ сегмент нь суурьтай зэрэгцээ байх ёстой. Олж авсан трапецын ALFD ба LBSF нь ижил төстэй тул BS/LF=LF/AD болно. Үүнээс үзэхэд LF=√(BSBP). Трапецийг ижил төстэй хоёр хэсэгт хуваах сегмент нь зургийн суурийн уртуудын геометрийн дундажтай тэнцэх урттай болохыг олж мэднэ.
Дараах ижил төстэй шинж чанарыг анхаарч үзээрэй. Энэ нь трапецийг хоёр тэнцүү хэмжээтэй дүрс болгон хуваасан сегмент дээр суурилдаг. ABSD трапецийг EN сегментээр ижил төстэй хоёр хэсэгт хуваасныг бид хүлээн зөвшөөрч байна. В оройноос өндрийг орхигдсон бөгөөд энэ нь EH сегментээр B1 ба B2 гэсэн хоёр хэсэгт хуваагдана. Бид дараахь зүйлийг авна: PABSD / 2 \u003d (BS + EH)B1 / 2 \u003d (AD + EH)B2 / 2 ба PABSD \u003d (BS + HELL)(B1 + B2) / 2. Дараа нь бид эхний тэгшитгэл нь (BS + EH)B1 \u003d (AD + EH)B2, хоёр дахь нь (BS + EH)B1 \u003d (BS + HELL)(B1 + B2) / гэсэн системийг зохиодог. 2. Үүнээс үзэхэд B2/ B1=(BS+EN)/(AD+EN) ба BS+EN=((BS+AD)/2)(1+B2/ B1). Трапецийг хоёр тэнцүү болгон хуваах сегментийн урт нь суурийн уртын язгуур квадраттай тэнцүү байна: √((BS2+AD2)/2).
Ижил төстэй байдлын дүгнэлт
Тиймээс бид үүнийг нотолсон:
1. Трапецын хажуу талуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегмент нь AD ба BS-тэй параллель бөгөөд тэнцүү байна. BS ба АД-ын арифметик дундаж (трапецын суурийн урт).
2. AD ба BS параллель диагональуудын огтлолцлын О цэгийг дайран өнгөрөх шулуун нь AD ба BS тоонуудын гармоник дундажтай тэнцүү байна (2BSAD/(BS+AD)).
3. Трапецийг ижил төстэй хэсгүүдэд хуваах сегмент нь BS ба AD суурийн геометрийн дундаж урттай байна.
4. Дүрсийг хоёр тэнцүү болгон хуваах элемент нь AD ба BS дундаж квадрат тоонуудын урттай байна.
Материалыг нэгтгэж, авч үзсэн сегментүүдийн хоорондын холбоог ойлгохын тулд оюутан тэдгээрийг тодорхой трапецын хувьд бүтээх хэрэгтэй. Зургийн диагональуудын огтлолцол - суурьтай параллель O цэгээр дамжин өнгөрч буй дунд шугам ба сегментийг хялбархан харуулж чадна. Гэхдээ гурав, дөрөв дэх нь хаана байх вэ? Энэ хариулт нь суралцагчийг дундаж үзүүлэлтүүдийн хоорондын хүссэн хамаарлыг олж мэдэхэд хүргэнэ.
Трапецын диагональуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегмент
Энэ зургийн дараах шинж чанарыг анхаарч үзээрэй. MH сегмент нь суурьтай параллель, диагональуудыг хоёр хуваасан гэдгийг бид хүлээн зөвшөөрч байна. W ба W огтлолцох цэгүүдийг гэж нэрлэе. Энэ сегмент нь суурийн хагасын зөрүүтэй тэнцүү байх болно. Үүнийг илүү нарийвчлан шинжилж үзье. MSH - ABS гурвалжны дунд шугам, энэ нь BS / 2-тэй тэнцүү байна. MS - ABD гурвалжны дунд шугам, энэ нь AD / 2-тэй тэнцүү байна. Дараа нь бид ShSh=MSh-MSh гэдгийг олж авна, тиймээс ShSh=AD/2-BS/2=(AD+VS)/2.
Таталцлын төв
Өгөгдсөн геометрийн дүрст энэ элемент хэрхэн тодорхойлогдсоныг харцгаая. Үүнийг хийхийн тулд суурийг эсрэг чиглэлд сунгах шаардлагатай. Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Доод суурийг дээд суурь дээр нэмэх шаардлагатайаль аль талдаа, жишээлбэл, баруун талд. Мөн доод хэсэг нь зүүн тийш дээд талын уртаар сунгасан байна. Дараа нь бид тэдгээрийг диагональтай холбодог. Энэ сегментийн зургийн дунд шугамтай огтлолцох цэг нь трапецын хүндийн төв юм.
Бичээстэй ба хүрээлэгдсэн трапецууд
Тийм тоонуудын онцлогийг жагсаацгаая:
1. Трапецийг зөвхөн ижил өнцөгт байвал тойрог дотор бичнэ.
2. Суурийн уртын нийлбэр нь талуудын уртын нийлбэртэй тэнцүү байх нөхцөлд трапецийг тойрог тойруулан дүрсэлж болно.
Бичсэн тойргийн үр дагавар:
1. Хязгаарлагдсан трапецын өндөр нь үргэлж хоёр радиустай тэнцүү байна.
2. Тойргийн төвөөс хүрээлэгдсэн трапецын хажуу тал нь зөв өнцгөөр ажиглагдаж байна.
Эхний үр дагавар нь ойлгомжтой боловч хоёр дахь нь SOD өнцөг нь зөв гэдгийг батлах шаардлагатай бөгөөд энэ нь үнэндээ тийм ч хэцүү биш юм. Гэхдээ энэ өмчийн талаарх мэдлэг нь асуудлыг шийдвэрлэхдээ тэгш өнцөгт гурвалжинг ашиглах боломжийг олгоно.
Одоо бид тойрог дотор бичээстэй ижил өнцөгт трапецын хувьд эдгээр үр дагаврыг тодорхойлж байна. Бид өндөр нь зургийн суурийн геометрийн дундаж болохыг олж мэдэв: H=2R=√(BSAD). Трапецын асуудлыг шийдвэрлэх үндсэн арга техникийг (хоёр өндрийг зурах зарчим) дадлага хийснээр оюутан дараахь даалгаврыг шийдвэрлэх ёстой. BT нь ABSD-ийн тэгш өнцөгт дүрсийн өндөр гэдгийг бид хүлээн зөвшөөрдөг. AT ба TD сегментүүдийг олох шаардлагатай. Дээрх томьёог ашиглавал энэ нь тийм ч хэцүү биш байх ёстой.
Одоо хүрээлэгдсэн трапецын талбайг ашиглан тойргийн радиусыг хэрхэн тодорхойлохыг олж мэдье. В оройноос унахцусны даралтын суурь хүртэл өндөр. Тойрог трапец хэлбэрээр бичсэн тул BS + AD \u003d 2AB эсвэл AB \u003d (BS + AD) / 2 байна. ABN гурвалжнаас бид sinα=BN / AB=2BN / (BS + AD) -ийг олно. PABSD \u003d (BS + AD)BN / 2, BN \u003d 2R. Бид PABSD \u003d (BS + AD)R-ийг авдаг бөгөөд энэ нь R \u003d PABSD / (BS + AD) гэсэн үг юм.
Трапецын дунд шугамын бүх томьёо
Одоо энэ геометрийн дүрсийн сүүлчийн элемент рүү шилжих цаг боллоо. Трапецын дунд шугам (M) нь юутай тэнцүү болохыг олж мэдье:
1. Суурь дамжуулан: M=(A+B)/2.
2. Өндөр, суурь болон өнцгөөр:
• M=A-H(ctgα+ctgβ)/2;
• M=B+N(ctgα+ctgβ)/2.
3. Өндөр, диагональ, тэдгээрийн хоорондох өнцгөөр дамжуулан. Жишээлбэл, D1 ба D2 нь трапецын диагональ; α, β - тэдгээрийн хоорондох өнцөг:
M=D1D2sinα/2N=D1D2sinβ/2N.
4. Талбай ба өндрөөр: M=P / N.
